Kern bestimmen

18.04.2011, 11:24

Kingi

Kern bestimmen

Hallo hab mal wieder eine Frage komm bei einer aufgabe nicht weiter steht da tottal aufem schlauch

hab das bild schon gebildetund schon die gauß matrix gebildet aber ab diesen punkt komme ich nicht weiter hab die lezte zeile gestrichen aber ich kann einfach nicht weiter rechnen

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & -7 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

18.04.2011, 11:43

klarsoweit

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RE: Kern bestimmen
Einfach das allseits bekannte Gauß-Verfahren anwenden. In diesem Fall setzt du die Variable z=1 und löst sukzessiv auf.

18.04.2011, 11:45

lgrizu

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RE: Kern bestimmen
Die Gleichung, die da steht ist falsch, auch ist deine Ausdrucksweise sehr ungenau, die meisten Informationen entnahme ich dem Titel, du sollst also den Kern der Abbildung bestimmen, die durch die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&1&3\\0&-7&5\\0&-7&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dargestellt wird.

Der letzte Schritt mit Gauß ist die Subtraktion der letzten beiden Zeilen voneinander, die Matrix hat also den Rang 2, damit hat der Kern die Dimension 1, parametrisieren einer Unbakannten sollte dir eine Basis des Kerns liefern.

Edit: @klarsoweit: Immer eine Nasenlänge voraus. Augenzwinkern

18.04.2011, 11:58

Kingi

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RE: Kern bestimmen
darf ich eigentlich eine zeile streichen ?

2a+1b+3*1 = 0
-7b+5*1 = 0

da wäre esja so

b= $\begin{eqnarray*} \frac{-7}{5} \end{eqnarray*}$

a= - $\begin{eqnarray*} \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

z=1

Stimmt das so?

18.04.2011, 12:04

klarsoweit

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RE: Kern bestimmen

Zitat:

Original von Kingi
darf ich eigentlich eine zeile streichen ?

Hallo,

, wach werden.
Du darfst das Gauß-Verfahren und nur dieses anwenden. Wenn du dabei eine Nullzeile erhältst, dann ist das eben so.

Im übrigen hast du b falsch berechnet.

18.04.2011, 12:15

Kingi

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ok hab bei B ein zahlen dreher

2a + 1b +3*1=0
- 7b +5*1=0
- 7b +5*1=0

b= 5/7

a=13/7

z=1

Stimmt das so?

18.04.2011, 12:26

lgrizu

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Jap, das ist eine Lösung, wie schaut der Kern nun aus?

18.04.2011, 12:34

Kingi

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kern(f) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{13}{7} \\ \frac{5}{7} \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.04.2011, 12:37

lgrizu

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Zuerst einmal ist z=1, das hast du doch so bestimmt, zum zweiten ist der Kern eine Menge von Vektoren und nicht ein einzelner Vektor.

18.04.2011, 12:47

Kingi

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dachte nur das man das so schreiben muss

hab es von hier
"matheboard.de/archive/384510/thread.html"

die habe es ja so geschrieben

$\begin{eqnarray*} {Ker(f)=span} \{\begin{pmatrix} \frac{13}{7} \\ \frac{5}{7}\\1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

18.04.2011, 12:49

lgrizu

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Das ist auch richtig, und etwas völlig anderes als deine erste Lösung, denn hier ist es ein von einem Vektor aufgespannter Raum und nicht ein Vektor, der zudem auch noch eine Variable enthält.

18.04.2011, 13:09

Kingi

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Oki Mathematik ist nun mal so das man auf jede kleinigkeit achten muss^^ das muss ich mir noch angewöhnen^^

würde so meine lösung stimmen

ich schreib mal noch mal alles von vorne

$\begin{eqnarray*} f:R^3->R^3<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> a,b,z)^T\Rightarrow (2a+b+3z,a+4b-z,-7b+5z)^T \end{eqnarray*}$

Hier das Bild:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \\ 0 & -7 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ z \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 2a+b+3z \\ a+4b-z \\ -7b+5z \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Gauß aumgeformmt / kern ausrechnen

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & -7 & 5\\0 &-7 & 5\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

2a + 1b +3*1=0
- 7b +5*1=0
- 7b +5*1=0

b= 5/7

a=13/7

z=1

dann ist das ergebnis ja

$\begin{eqnarray*} {Ker(f)=span} \{\begin{pmatrix} \frac{13}{7} \\ \frac{5}{7}\\1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

18.04.2011, 13:12

lgrizu

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Abgesehen davon, dass Teile deines Posts nur schwer interpretierbar sind, besser gesagt gar nicht, das Ergebnis stimmt.

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