Gleichungssystem in Z15

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem in Z15
Hallo,

wie kann ich diese Aufgabe lösen:
[attach]19136[/attach]

Wenn ich es in den bekannten reellen Zahlen lösen sollte, wäre es mir klar:
Einsetzungsverfahren, Additions-/Subtraktionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, ...

Aber wie kann man dieses Gleichungssystem in Z15 lösen?

Leider habe ich nicht wirklich eine Idee.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem in Z15
Kannst du das Gleichungssystem mod 3 lösen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt: Wohl kaum (ohne Probieren).

Dieses Thema ist ganz neu für mich.

Ich kenne da keine Tricks, aber ich weiß, dass ein Vielfaches von 3 sein muss, weil in gleich ist.

müsste demzufolge ein Vielfaches von 3 vermehrt um 1 sein (weil dieses Ergebnis von 5x+2y modulo 3 genau 1 ist).

---

10x+20y ist ein Vielfaches von 3, wenn 10x ein Vielfaches ist und 20y eines ist.
Man kann also x=3 und y=3 setzen (es geht auch x=2 und y=3).

Bei der anderen Gleichung bin ich mir nicht sicher.
Man muss diese ja auch irgendwie kombinieren, (?)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest zuerst mal das Gleichungssystem mod 3 anschreiben... Wie sieht das aus?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Darf man dann schreiben:
3x+4y = 0
x+2/5y = 1


?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Gott, das wird eine sehr mühsame Sache, wenn es schon daran scheitert... unglücklich

Du musst einfach alle Koeffizienten mod 3 reduzieren, also aus 10 wird 1, aus 20 wird 2, aus 5 wird ebenfalls 2... Das Gleichungssystem mod 3 lautet somit



Kannst du versuchen es zu lösen? Dabei immer daran denken, dass 1/2 mod 3 nichts anderes ist als die mod 3 eindeutige Lösung der Kongruenz



und die kannst ja sogar erraten...
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic


x=1
y=1

(geraten)

x+2y=0
1+2=3=0

2x+2y=1
2+2=4=1


Zitat:
Original von Mystic





Edit:
Zitat:
Original von Mystic
Du musst einfach alle Koeffizienten mod 3 reduzieren.

Warum das?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Original von Mystic


x=1
y=1

(geraten)

Warum raten? Du bräuchtest ja nur die die erste Gleichung von der zweiten abziehen, das ergibt dann schon x=1 und einsetzen von x=1 dann auch schnell y=1...

Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Original von Mystic



Ja, aber verwendet hast das nicht, wie ich erhofft hatte, z.B. gilt



indem man die Gleichung mit 1/2 (=2 ) multipliziert...

Jetzt musst das Gleiche nochmals machen, aber nun alles mod 5 gerechnet (weil 15=3*5 ist)... Zum Schluss werden wir dann versuchen die Lösungen mod 3 und mod 5 zu Lösungen mod 15 zu "kombinieren"...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt versteh ich warum du mod3 reduziert hast.
Man kann die Gleichung dann ganz normal lösen wie normal gelernt (Additions/subtraktions, gleichsetzungs, einsetzungs - verfahren)

Was meinst du mit "Ja, aber verwendet hast das nicht, wie ich erhofft hatte"?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Was meinst du mit "Ja, aber verwendet hast das nicht, wie ich erhofft hatte"?

Das hab ich doch oben gesagt... Ich hätte gedacht, dass du beim Anblick von



sagst, "jetzt multiplizier ich die Gleichung mal mit 1/2, um sie zu vereinfachen... Aber hoppla, was ist eigentlich 1/2 mod 3 ? Ah, das habe ich ja eben ausgerechnet 1/2 = 2 mod 3... Also multiplizier ich die Gleichung mit 2 usw."
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »





10x+20y=0
5x+2y=1

mod5 reduzieren:

0x+0y=0
0x+2y=1
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Was jetzt?
Ist das soweit richtig?

Warum darf man das Gleichungssystem, das in Z15 zu lösen war in mod3 bzw. mod5 reduzieren und dann lösen?
Welche Technik steckt dahinter?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
0x+0y=0
0x+2y=1

Und? Wie schauen die Lösungen mod 5 davon aus? Kannst einmal einen Schritt mehr machen als immer nur den allernächsten und dann wieder Stopp... geschockt

Zitat:
Original von Pascal95
Warum darf man das Gleichungssystem, das in Z15 zu lösen war in mod3 bzw. mod5 reduzieren und dann lösen?
Welche Technik steckt dahinter?


Das sollte eigentlich klar sein: Wenn etwas mod 15 gilt, dann erst recht mod 3 und mod 5 und auch umgekehrt...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, warte...y=8

Dann gilt: 2y=16=1

Wie will man das jetzt kombinieren?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Ok, warte...y=8

Wenn man mod 5 rechnet, dann gibt es gewissermaßen nur 5 Zahlen und die sind 0,1,2,3,4...

Was ist übrigens mit den x-Werten bei der Rechnung mod 5 ? Warum erwähnst du die nicht? verwirrt
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nennt man das Restklassenring oder so?

Resklassenring

Lösungen
(1)
(2)

Gleichung 2 - Gleichung 1:

ist erfüllt für , weil .

Also denn:
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Also denn:


Falsch! Wie in aller Welt kommst du auf die Bedingung x=0? unglücklich

Modulo 5 gerechnet ist x vollkommen beliebig, y=3 ...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, da hab ich falsch gedacht - natürlich: x ist beliebig.

Wie gehts weiter und

Zitat:
Original von Pascal95
Nennt man das Restklassenring oder so?

Resklassenring
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wir haben nun z.B. für y zwei Bedingungen, nämlich



Diese Kongruenzensystem musst du eben jetzt lösen... Und bitte jetzt nicht sagen, du weisst nicht wie das geht... Dann musst du eben erfinderisch sein und etwas ausprobieren...

Edit: Ja die Elemente des Restklassenrings mod n kann man z.B. so repräsentieren...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »



13 ist (eine/die) Lösung.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95


13 ist (eine/die) Lösung.

Vermutlich wieder durch Probieren, stimmts? Ist jetzt nicht ganz der Sinnn der Sache, aber immerhin...

Nimm lieber den Vetreter y=-2 statt y=13, setzte ihn in die erste Gleichung ein (vorher alles mod 15 reduzieren!) und rechne dann x dazu aus...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Gleichung mod15 reduziert:



einsetzen:

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären, wie du von 10x=10 auf x=1 kommst... Das würde mich jetzt brennend interessieren...

Edit: Und bitte bei allem nicht vergessen: Wir rechnen jetzt mod 15 ...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

durch 10 teilen (?)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wie geht durch 10 teilen? Versteh nur Bahnhof... Meinst du mit 1/10 multiplizieren? Aber 1/10 mod 15 gibt es nicht, probier einfach alle Möglichkeiten durch...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

10 = 10
20 = 5
30 = 0
40 = 10
50 = 5
60 = 0
70 = 10
80 = 5
90 = 0
100 = 10
110 = 5
120 = 0
130 = 10
140 = 5
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Eben, die Kongruenz



ist unlösbar, d.h., 1/10 mod 15 gibt es nicht... Ergo dessen macht auch dein Multiplizieren mit 1/10 keinen Sinn...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir noch folgendes notiert:
[attach]19156[/attach]
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Eben, die Kongruenz



ist unlösbar, d.h., 1/10 mod 15 gibt es nicht... Ergo dessen macht auch dein Multiplizieren mit 1/10 keinen Sinn...


Hieß es nicht 10x=10 (mod 15)?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

1/10 ist die Lösung von



Und da hast du oben schon durch Durchprobieren aller Möglichkeiten gesehen, dass es die nicht gibt, also 1/10 mod 15 gibt es nicht... Um den Schluss



durchführen zu können, den du oben gemacht hast, muss man die linke Kongruenz mit 1/10 multiplizieren, das es aber wie gesagt gar nicht gibt... Klar?

Die Kongruenz



kann aber auch als Gleichung, nämlich



für ein ganzes k geschrieben werden, und das sollte dich eigentlich auf eine Idee bringen...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
1/10 ist die Lösung von


weil man für z=1/10 einsetzen würde und dann steht da 1 = 1 (?)

Zitat:
Original von Mystic
Und da hast du oben schon durch Durchprobieren aller Möglichkeiten gesehen, dass es die nicht gibt, also 1/10 mod 15 gibt es nicht

weil nie der Rest 1 bleibt ?

Zitat:
Original von Mystic
... Um den Schluss


durchführen zu können, den du oben gemacht hast, muss man die linke Kongruenz mit 1/10 multiplizieren, das es aber wie gesagt gar nicht gibt... Klar?


Ja.


Zitat:
Original von Mystic
Die Kongruenz



kann aber auch als Gleichung, nämlich



für ein ganzes k geschrieben werden, und das sollte dich eigentlich auf eine Idee bringen...

Diese Restklasse sollte ein gemeinsames Element mit der anderen Restklasse haben.
Man kann also gleichsetzen ?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Was würdest also mit der letzten Gleichung anfangen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

2. Gleichung mod15 reduzieren ?

5x+2y=1

y=-2 einsetzen

5x-4=1
5x=5

(darf man mal 1/5 rechnen ?)

x=1

-----

5x=5 mod 15

5 = 5
10 = 10
15 = 0
20 = 5
25 = 10
...
???
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst einfach viel zu kompliziert und ständig in die falsche Richtung... unglücklich



Für x ergeben sich somit mod 15 die Lösungen x=1,4,7,10,13... Gute Nacht... Wink

Edit: Aber eigentlich wußten wir ja schon, dass und x bel. mod 5 gilt, so gesehen waren die letzten Rechnungen das x betreffend eigentlich überflüssig...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Nacht und hoffentlich bis morgen Augenzwinkern
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