Gleichungssystem in Z15 |
18.04.2011, 18:16 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gleichungssystem in Z15 wie kann ich diese Aufgabe lösen: [attach]19136[/attach] Wenn ich es in den bekannten reellen Zahlen lösen sollte, wäre es mir klar: Einsetzungsverfahren, Additions-/Subtraktionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, ... Aber wie kann man dieses Gleichungssystem in Z15 lösen? Leider habe ich nicht wirklich eine Idee. |
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18.04.2011, 19:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Gleichungssystem in Z15 Kannst du das Gleichungssystem mod 3 lösen? |
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18.04.2011, 19:33 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ehrlich gesagt: Wohl kaum (ohne Probieren). Dieses Thema ist ganz neu für mich. Ich kenne da keine Tricks, aber ich weiß, dass ein Vielfaches von 3 sein muss, weil in gleich ist. müsste demzufolge ein Vielfaches von 3 vermehrt um 1 sein (weil dieses Ergebnis von 5x+2y modulo 3 genau 1 ist). --- 10x+20y ist ein Vielfaches von 3, wenn 10x ein Vielfaches ist und 20y eines ist. Man kann also x=3 und y=3 setzen (es geht auch x=2 und y=3). Bei der anderen Gleichung bin ich mir nicht sicher. Man muss diese ja auch irgendwie kombinieren, (?) |
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18.04.2011, 19:43 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du solltest zuerst mal das Gleichungssystem mod 3 anschreiben... Wie sieht das aus? |
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18.04.2011, 20:06 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Darf man dann schreiben: 3x+4y = 0 x+2/5y = 1 ? |
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18.04.2011, 20:15 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh Gott, das wird eine sehr mühsame Sache, wenn es schon daran scheitert... Du musst einfach alle Koeffizienten mod 3 reduzieren, also aus 10 wird 1, aus 20 wird 2, aus 5 wird ebenfalls 2... Das Gleichungssystem mod 3 lautet somit Kannst du versuchen es zu lösen? Dabei immer daran denken, dass 1/2 mod 3 nichts anderes ist als die mod 3 eindeutige Lösung der Kongruenz und die kannst ja sogar erraten... |
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18.04.2011, 20:25 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
x=1 y=1 (geraten) x+2y=0 1+2=3=0 2x+2y=1 2+2=4=1
Edit:
Warum das? |
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18.04.2011, 20:39 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Warum raten? Du bräuchtest ja nur die die erste Gleichung von der zweiten abziehen, das ergibt dann schon x=1 und einsetzen von x=1 dann auch schnell y=1...
Ja, aber verwendet hast das nicht, wie ich erhofft hatte, z.B. gilt indem man die Gleichung mit 1/2 (=2 ) multipliziert... Jetzt musst das Gleiche nochmals machen, aber nun alles mod 5 gerechnet (weil 15=3*5 ist)... Zum Schluss werden wir dann versuchen die Lösungen mod 3 und mod 5 zu Lösungen mod 15 zu "kombinieren"... |
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18.04.2011, 20:48 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Jetzt versteh ich warum du mod3 reduziert hast. Man kann die Gleichung dann ganz normal lösen wie normal gelernt (Additions/subtraktions, gleichsetzungs, einsetzungs - verfahren) Was meinst du mit "Ja, aber verwendet hast das nicht, wie ich erhofft hatte"? |
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18.04.2011, 20:54 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das hab ich doch oben gesagt... Ich hätte gedacht, dass du beim Anblick von sagst, "jetzt multiplizier ich die Gleichung mal mit 1/2, um sie zu vereinfachen... Aber hoppla, was ist eigentlich 1/2 mod 3 ? Ah, das habe ich ja eben ausgerechnet 1/2 = 2 mod 3... Also multiplizier ich die Gleichung mit 2 usw." |
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18.04.2011, 21:02 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
10x+20y=0 5x+2y=1 mod5 reduzieren: 0x+0y=0 0x+2y=1 |
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18.04.2011, 21:29 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was jetzt? Ist das soweit richtig? Warum darf man das Gleichungssystem, das in Z15 zu lösen war in mod3 bzw. mod5 reduzieren und dann lösen? Welche Technik steckt dahinter? |
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18.04.2011, 21:42 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und? Wie schauen die Lösungen mod 5 davon aus? Kannst einmal einen Schritt mehr machen als immer nur den allernächsten und dann wieder Stopp...
Das sollte eigentlich klar sein: Wenn etwas mod 15 gilt, dann erst recht mod 3 und mod 5 und auch umgekehrt... |
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18.04.2011, 21:45 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, warte...y=8 Dann gilt: 2y=16=1 Wie will man das jetzt kombinieren? |
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18.04.2011, 22:00 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn man mod 5 rechnet, dann gibt es gewissermaßen nur 5 Zahlen und die sind 0,1,2,3,4... Was ist übrigens mit den x-Werten bei der Rechnung mod 5 ? Warum erwähnst du die nicht? |
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18.04.2011, 22:03 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nennt man das Restklassenring oder so? Resklassenring Lösungen (1) (2) Gleichung 2 - Gleichung 1: ist erfüllt für , weil . Also denn: |
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18.04.2011, 22:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Falsch! Wie in aller Welt kommst du auf die Bedingung x=0? Modulo 5 gerechnet ist x vollkommen beliebig, y=3 ... |
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18.04.2011, 22:19 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, da hab ich falsch gedacht - natürlich: x ist beliebig. Wie gehts weiter und
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18.04.2011, 22:38 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Naja, wir haben nun z.B. für y zwei Bedingungen, nämlich Diese Kongruenzensystem musst du eben jetzt lösen... Und bitte jetzt nicht sagen, du weisst nicht wie das geht... Dann musst du eben erfinderisch sein und etwas ausprobieren... Edit: Ja die Elemente des Restklassenrings mod n kann man z.B. so repräsentieren... |
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18.04.2011, 22:48 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
13 ist (eine/die) Lösung. |
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18.04.2011, 22:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vermutlich wieder durch Probieren, stimmts? Ist jetzt nicht ganz der Sinnn der Sache, aber immerhin... Nimm lieber den Vetreter y=-2 statt y=13, setzte ihn in die erste Gleichung ein (vorher alles mod 15 reduzieren!) und rechne dann x dazu aus... |
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18.04.2011, 23:00 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1. Gleichung mod15 reduziert: einsetzen: |
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18.04.2011, 23:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kannst du mir erklären, wie du von 10x=10 auf x=1 kommst... Das würde mich jetzt brennend interessieren... Edit: Und bitte bei allem nicht vergessen: Wir rechnen jetzt mod 15 ... |
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18.04.2011, 23:05 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
durch 10 teilen (?) |
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18.04.2011, 23:07 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie geht durch 10 teilen? Versteh nur Bahnhof... Meinst du mit 1/10 multiplizieren? Aber 1/10 mod 15 gibt es nicht, probier einfach alle Möglichkeiten durch... |
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18.04.2011, 23:11 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
10 = 10 20 = 5 30 = 0 40 = 10 50 = 5 60 = 0 70 = 10 80 = 5 90 = 0 100 = 10 110 = 5 120 = 0 130 = 10 140 = 5 |
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18.04.2011, 23:16 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eben, die Kongruenz ist unlösbar, d.h., 1/10 mod 15 gibt es nicht... Ergo dessen macht auch dein Multiplizieren mit 1/10 keinen Sinn... |
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18.04.2011, 23:20 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe mir noch folgendes notiert: [attach]19156[/attach] |
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18.04.2011, 23:23 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hieß es nicht 10x=10 (mod 15)? |
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18.04.2011, 23:34 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1/10 ist die Lösung von Und da hast du oben schon durch Durchprobieren aller Möglichkeiten gesehen, dass es die nicht gibt, also 1/10 mod 15 gibt es nicht... Um den Schluss durchführen zu können, den du oben gemacht hast, muss man die linke Kongruenz mit 1/10 multiplizieren, das es aber wie gesagt gar nicht gibt... Klar? Die Kongruenz kann aber auch als Gleichung, nämlich für ein ganzes k geschrieben werden, und das sollte dich eigentlich auf eine Idee bringen... |
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18.04.2011, 23:38 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
weil man für z=1/10 einsetzen würde und dann steht da 1 = 1 (?)
weil nie der Rest 1 bleibt ?
Ja.
Diese Restklasse sollte ein gemeinsames Element mit der anderen Restklasse haben. Man kann also gleichsetzen ? |
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18.04.2011, 23:46 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was würdest also mit der letzten Gleichung anfangen? |
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18.04.2011, 23:51 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
2. Gleichung mod15 reduzieren ? 5x+2y=1 y=-2 einsetzen 5x-4=1 5x=5 (darf man mal 1/5 rechnen ?) x=1 ----- 5x=5 mod 15 5 = 5 10 = 10 15 = 0 20 = 5 25 = 10 ... ??? |
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19.04.2011, 00:15 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du denkst einfach viel zu kompliziert und ständig in die falsche Richtung... Für x ergeben sich somit mod 15 die Lösungen x=1,4,7,10,13... Gute Nacht... Edit: Aber eigentlich wußten wir ja schon, dass und x bel. mod 5 gilt, so gesehen waren die letzten Rechnungen das x betreffend eigentlich überflüssig... |
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19.04.2011, 00:20 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gute Nacht und hoffentlich bis morgen |
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