diskrekte Bewertung auf K [ÜAB]

19.04.2011, 02:58

tigerbine

diskrekte Bewertung auf K [ÜAB]

Zitat:

K sei ein Körper. Ein diskrete Bewertung auf K ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \nu: K \to \mathbb Z \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \nu(x)=\infty~\Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nu(xy)=\nu(x) + \nu(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nu(x+y) \geq \min\{\nu(x) ,\nu(y) \} \end{eqnarray*}$

Zu Zeigen:

(i) $\begin{eqnarray*} R:=\{x \in K ~| \nu(x) \geq 0\} \end{eqnarray*}$ ist ein Teilring von K.
(ii) $\begin{eqnarray*} I:=\{x \in K ~| \nu(x) > 0\} \end{eqnarray*}$ ist ein Ideal von R.
(iii) Für jede Primzahl p lässt sich die Abbildung $\begin{eqnarray*} \nu: \mathbb Z \to \mathbb N_0 \cup \{infty\},~z \mapsto \max\{n \in \mathbb N_0~|~p^n \text{ teilt } z\} \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise zu einer diskreten Bewertung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ fortsetzen.

Fangen wir bei (i) an. Zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} 0,1 \in R, x-x' \in R, xx' \in R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,x' \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} \nu(0)=\infty \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 0 \in R \end{eqnarray*}$ . Die Begründung für die 1 sehe ich gerade nicht. Die letzten beiden Forderungen ergeben sich sofort aus der Definition.

19.04.2011, 08:33

jester.

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Ich denke mal $\begin{eqnarray*} \nu(1)=\nu(1\cdot 1) = \nu(1)+\nu(1) \Rightarrow \nu(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

19.04.2011, 15:49

tigerbine

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(ii)
Ok, dann sollten wir den Teilring ja haben. Es geht mit dem Ideal weiter. Zunächst gilt es zu zeigen, dass I eine additive Untergruppe von R ist.

Es ist $\begin{eqnarray*} 0 \in I \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \nu(0)=\infty>0 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} x,y \in I \end{eqnarray*}$ , liegt auch $\begin{eqnarray*} x+y \in I \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \nu(x+y) \geq \min\{\nu(x),\nu(v)\} >0 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ liegt auch $\begin{eqnarray*} -x \in I \end{eqnarray*}$ , denn es ist

$\begin{eqnarray*} 0=\nu(1)=\nu((-1)(-1))=\nu(-1)+\nu(-1) \Rightarrow \nu(-1)=0 \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} \nu(-x)=\nu((-1)x) = \nu(-1)+\nu(x) > 0 \end{eqnarray*}$ .

Als nächstes müssen wir prüfen, dass für alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} r \in R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ri \in I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ir\in I \end{eqnarray*}$ . Wegen der Kommutativität (Körper) reicht es $\begin{eqnarray*} ri \in I \end{eqnarray*}$ , dh. $\begin{eqnarray*} RI \subseteq I \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Es ist dabei

$\begin{eqnarray*} \nu(ri)=\underbrace{\nu(r)}_{\geq 0}+\underbrace{\nu(i)}_{>0} >0 \end{eqnarray*}$

Und somit gilt $\begin{eqnarray*} I \trianglelefteq R \end{eqnarray*}$ .

19.04.2011, 18:40

tigerbine

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(iii)
Jede ganze Zahl außer 0 [neutral +] und -1,1 [Einheiten] hat, bis auf Reihenfolge und Vorzeichen, eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Betrachten wir nun eine Primzahl p und [ich packe das in den Index]

$\begin{eqnarray*} \nu_p: \mathbb Z \to \mathbb N_0 \cup \{\infty\},~z \mapsto \max\{n \in \mathbb N_0~|~p^n \text{ teilt } z\} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q= Q(\mathbb Z) \end{eqnarray*}$ der Quotientenkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Wir können $\begin{eqnarray*} q:=\frac{r}{s} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r,s \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \neq 0 \end{eqnarray*}$ als vollständig gekürzt annehmen. r und s besitzen wieder eine Primfaktorzerlegung in obigem Sinne. Für q bedeutet dies, dass die Exponenten der Primfaktoren nun allerdings aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ stammen. Entsprechend der Einbettung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z \mapsto \frac{z}{1} \end{eqnarray*}$ (injektiv), läßt sich auch $\begin{eqnarray*} \nu_p \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ fortsetzen.

$\begin{eqnarray*} \hat \nu_p: \mathbb Q \to \mathbb Z \cup \{\infty\},~q \mapsto \begin{cases} \max\{n \in \mathbb N~|~p^n \text{ teilt }r\} & p | r \\ - \max\{n \in \mathbb N~|~p^n \text{ teilt }s\} & p | s \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

verwirrt

20.04.2011, 21:53

jester.

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Das ist die richtige Fortsetzung, wobei man diese auch aus $\begin{eqnarray*} \nu_p(xy)=\nu_p(x)+\nu_p(y) \end{eqnarray*}$ erhält - man hat $\begin{eqnarray*} 0=\nu_p(1)=\nu_p(x \cdot x^{-1})=\nu_p(x)+\nu_p(x^{-1}) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \nu_p(x^{-1})=-\nu_p(x) \end{eqnarray*}$ . Somit haben wir für jede rationale Zahl eindeutig $\begin{eqnarray*} \nu_p(\frac a b)=\nu_p(a)-\nu_p(b) \end{eqnarray*}$ (auch bei nicht vollständig gekürzter Darstellung).

20.04.2011, 21:57

tigerbine

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Prima. Kannst du zu (ii) noch was sagen?

20.04.2011, 22:13

jester.

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Die (ii) ist richtig bearbeitet. Man kann auch noch erkennen, dass $\begin{eqnarray*} R^*=\{x \in K ~|~ \nu(x)=0\} \end{eqnarray*}$ . Aus (ii) folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein lokaler Ring ist.

Weißt du, was ein lokaler Ring ist?

20.04.2011, 22:17

tigerbine

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Nein, das sagt mir leider nichts. traurig

20.04.2011, 22:22

jester.

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Ok, sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein kommutativer Ring mit 1. Zeige, dass der Ring genau ein maximales Ideal besitzt, genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} R-R^* \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist. Dazu braucht man als Hilfsaussage, dass in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ jede Nichteinheit in einem maximalen Ideal liegt. U.U. möchtest du das als Übungsaufgabe in einen neuen Thread auslagern. Augenzwinkern

Aus meiner eigenen Laufbahn wäre das dann eine Aufgabe von einem Algebra-Übungsblatt.

20.04.2011, 22:28

tigerbine

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Ok, danke. Wenn, dann lagere ich das aus. Nun muss ich erst die restlichen Aufgaben bearbeiten. Wink

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