Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck

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Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck
Meine Frage:
Ermitteln Sie die Maße eines Rechtecks von größtmöglicher Fläche, das in einem Halbkreis mit dem Radius a eingezeichnet werden kann, wenn zwei Eckpunkte auf dem Durchmesser liegen.

(Skizze siehe Anhang)

Meine Ideen:
Ideen habe ich leider keine. Verstehe die allgemeine Herangehensweise schon nicht und hier ist ja rein gar nichts an Werten gegeben! Brauche unbedingt Hilfe!

Edit lgrizu: Hilferuf aus dem Titel entfernt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck - HILFE
Die Hauptbedingung ist die Fläche des Rechtecks, welche Fläche hat es?

Die Nebenbedingung erhält man unter Zuhilfenahme von Pythagoras, ich hab dir dazu den Radius einmal "neu eingezeichnet":

[attach]19162[/attach]
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck - HILFE
Hilfreich ist auch, sich ein geeignetes Koordinatensystem zu machen, beispielsweise hier mit dem Kreismittelpunkt als Koordinatenursprung. Dann kann man mal die Koordinaten der Rechteckpunkte bestimmen.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja allgemein: A=a*b
Nur ist in dieser Skizze, die ich vom Lehrer bekommen habe, nicht ersichtlich, ob die "untere" Kathete a/2 ist, bzw. wie sie überhaupt definiert ist...
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck - HILFE
Zitat:
Original von klarsoweit
Hilfreich ist auch, sich ein geeignetes Koordinatensystem zu machen, beispielsweise hier mit dem Kreismittelpunkt als Koordinatenursprung. Dann kann man mal die Koordinaten der Rechteckpunkte bestimmen.



Ich stell mich bestimmt wie der erste Mensch an .. aber ich weiß nicht, mit welcher Funktion man einen Halbkreis darstellen kann. Wie lautet die denn allgemein?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a bereits für den Radius belegt ist, so solltest du deinen Rechtecksseiten andere bezeichnungen geben, zum Beispiel b und c, dann wäre die Fläche des Rechtecks A=bc.

Das ist unsere Hauptbedingung, nun die Nebenbedingung formulieren.

Zitat:

Nur ist in dieser Skizze, die ich vom Lehrer bekommen habe, nicht ersichtlich, ob die "untere" Kathete a/2 ist


Was meinst du hier, ob die untere Kathete die Hälfte des Radius a ist oder die Hälfte der Seite des Rechtecks?

Wie gesagt, bei solchen Doppelbelegungen kommt man nur durcheinander.

Edit: Wir sollten uns erst einmal auf einen Lösungsweg einigen, den zweiten kann man danach noch besprechen, welchen Weg möchtest du gehen?
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu

Zitat:

Nur ist in dieser Skizze, die ich vom Lehrer bekommen habe, nicht ersichtlich, ob die "untere" Kathete a/2 ist


Was meinst du hier, ob die untere Kathete die Hälfte des Radius a ist oder die Hälfte der Seite des Rechtecks?

Edit: Wir sollten uns erst einmal auf einen Lösungsweg einigen, den zweiten kann man danach noch besprechen, welchen Weg möchtest du gehen?



Ich meine, dass die untere Kathete die Hälfte des Radius a ist. Wäre das festgelegt, wäre der Lösungsansatz wesentlich einfacher zu verstehen ...

Ähm und wegen dem Lösungsweg ... ich versteht nicht ganz, was du damit meinst. Dachte, es gibt nur einen Lösungsweg für solche Aufgaben ... Erstaunt2



Edit: Ich hab wirklich keinen Plan von solchen Aufgaben unglücklich
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt (fast) immer unterschiedliche Lösungsansätze.

Wir haben ein Rechteck, dieses hat die Seitenlängen b und c, die Fläche des Rechtecks ist A=b*c.

Nun haben wir ein Dreieck dort eingezeichnet, eine Kathete des Dreiecks hat die Länge c, klar, die andere Kathete hat welche Länge?

Hierzu überlege dir, wie der Mittelpunkt des Kreises die Seite b teilt.

[attach]19163[/attach]
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die HB A=bc
und die NB a^2=(b^2/4)+c^2 ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, genau so ist es.

Wir haben also die Bedingungen:



.

Nun kann man die Nebenbedingung nach b oder c auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

A=b*(a^2-b^2/4)^(1/2)

und das muss ich differenzieren und null setzen...??

A'=0 ... kann das stimmen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, so ist es.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Jap, so ist es.


Und was nun? Ups
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Leite die Funktion nach b ab und setze die Ableitung gleich null, also A'(b)=0.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

man könnte auch die funktion

untersuchen Augenzwinkern
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
man könnte auch die funktion

untersuchen Augenzwinkern


Das ist jetzt b ersetzt??

Also nach b ableiten, und nullsetzen??
oder nach a ableiten?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn, warum du diese Funktion untersuchen darfst?

Das ist eigentlich genau das, auf das ich hinaus wollte, wir beginnen aber jetzt nicht einfach so, eine Funktion zu untersuchen, die für uns vom Himmel gefallen ist, auch wenn riwe damit recht hat.

Wir leiten das erst noch her, dazu kann man b als positiv vorraussetzen, also ist .

Nuin kann man die Wurzelgesetze anwenden und du kannst dir überlegen, warum man das auf die von Riwe genannte Funktion reduzieren kann.

Differenziert wird nach b, denn a ist der Radius, der als gegeben angenommen werden kann.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach b differenziert ist meine Gleichung:
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Schaut gut aus, nun die Nullstellen der Ableitung berechnen.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

da bekomm ich zwei

b1,2=
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht ganz richtig, ein kleiner formeller Fehler, entweder setzen wir voraus, dass a nur positiv sein kann, dann stimmt die Lösung.

Oder wir haben: , da gilt: .
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Ist nicht ganz richtig, ein kleiner formeller Fehler, entweder setzen wir voraus, dass a nur positiv sein kann, dann stimmt die Lösung.

Oder wir haben: , da gilt: .



okay .. und wie soll ich weiter rechnen? Erstaunt1
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Man darf ja wohl ohne weiteres voraussetzen, daß der Radius a positiv ist. Augenzwinkern
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja und wie bestimme ich nun das optimale a, durch das das Rechteck so groß wie möglich wird??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

a ist doch der Radius des Halbkreises und somit als Konstante fest vorgegeben.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
a ist doch der Radius des Halbkreises und somit als Konstante fest vorgegeben.


Naja versteh aber nicht, wie ich durch das bereits errechnete auf das Ergebnis meiner Aufgabe komme. Wie gesagt .. ich komm mit Extremwertaufgaben nicht besonders gut klar unglücklich

Also hab jetzt:
HB
NB

Zusammengefügt HB und NB (für c)

Differenziert

Nullstellen sind bei

a ist ja positiv, logisch ..


und wie nun weiter?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun müßtest du schauen, daß für dieses b die 2. Ableitung A''(b) negativ ist.
Wenn wir das mal annehmen, dann ist der maximale Wert für die Rechteckfläche.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Nun müßtest du schauen, daß für dieses b die 2. Ableitung A''(b) negativ ist.


ja, sie ist negativ. sehr komplex, aber negativ Augenzwinkern

Zitat:
Original von klarsoweit
Wenn wir das mal annehmen, dann ist der maximale Wert für die Rechteckfläche.


Also soll ich in die Zusammengesetzte Gleichung einsetzen oder versteh ich was falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja in diese:
Zitat:
Original von Kaschmujatsi
Zusammengefügt HB und NB (für c)
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ... da bekomm ich als Ergebnis
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn das? verwirrt
Du mußt jedes b in durch ersetzen.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay .. hab mich irgendwie total vertan Big Laugh

Mein Taschenrechner sagt jetzt also kann man ja auch sagen oder?

Edit:
Also ist das besagte Rechteck ein Quadrat ... ?
Aber wie errechne ich jetzt die Maße von dem?
Oder hab ich das schon?? Erstaunt2
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaschmujatsi
Mein Taschenrechner sagt jetzt also kann man ja auch sagen oder?

Ja, wobei das auch ohne Taschenrechner geht. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Kaschmujatsi
Also ist das besagte Rechteck ein Quadrat ... ?

Nein.

Zitat:
Original von Kaschmujatsi
Aber wie errechne ich jetzt die Maße von dem?

Rechne das c aus. Dafür hattest du ja eine Formel.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Kaschmujatsi
Aber wie errechne ich jetzt die Maße von dem?

Rechne das c aus. Dafür hattest du ja eine Formel.


Welche Formel meinst du?? Pythagoras?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese:
Zitat:
Original von Kaschmujatsi
und die NB a^2=(b^2/4)+c^2 ?
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Bin etwas verwirrt ...
Also muss ich nach umstellen ...
>>

Und jetzt für die einsetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. smile
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

und bleibt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. a ist und bleibt eine Konstante.
Kaschmujatsi Auf diesen Beitrag antworten »

Somit kommt raus
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