Untersuchung Quadraturfehler

20.04.2011, 00:17	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchung Quadraturfehler Hallo an alle, ich habe eine aufgabe bei der ich überhaupt nicht klar komme und auch nicht weiss wie ich anfangen soll. die aufgabe lautet: Seien $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N ,a\geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b>a \end{eqnarray}$ gegeben und definiere $\begin{eqnarray} h=(b-a)/N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_j=a+jh,j=0,...,N,b_1=b_2=1/2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_1=0,c_2=1 (Trapezregel) \end{eqnarray}$ . In der Vorlesung wurde dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \int_a^b \! f(x) \, dx -\sum\limits_{j=1}^N h \sum\limits_{i=1}^2 b_i f(x_{j-1}+c_ih) \end{vmatrix} \leq \frac{1}{12} (b-a)h^2 max\|f^{(2)}(x)\| \end{eqnarray}$ (wobei bei max, $\begin{eqnarray} x\in [a,b] \end{eqnarray}$ . sei $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x+10^{-4}} \end{eqnarray}$ . wie klein dürfen wir $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ wählen, so dass der fehler kleiner als $\begin{eqnarray} 10^{-2} \end{eqnarray}$ wird, wenn a) $\begin{eqnarray} a=0,b=1/2 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} a=1/2,b=1? \end{eqnarray}$ ich brauche echt eure tipps wie man sowas berechnet danke schonmal im vorraus crazyy
20.04.2011, 00:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untersuchung Quadraturfehler Also irgendwie ist das nicht sehr lesbar. Den Stücken entnehme ich folgendes: Man bestimmt ein Näherung für das Integral von f auf [a,b] durch die summierte Trapezregel. Dabei möchte man die Anzahl der Teilintervalle [Auswertungsaufwand] gering halten, aber dennoch eine gewisse Genauigkeit beibehalten 0.01. Wenn N fest gegeben ist, so kann man doch mit der Fehlerformel eine Abschätzung gewinnen. Versuche es für ausgewählte N, vielleicht siehst du dann schon, wie du mit allgemeinem N rechnen kannst.

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