Körperisomorphismus [ÜAB]

20.04.2011, 03:49

tigerbine

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Körperisomorphismus [ÜAB]

Zitat:

Man finde eine (hinreichende und notwendige) Bedingung, für welche $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Z \setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ die beiden Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ isomorph sind

Mir fällt da zunächst nur ein, dass die Körpererweiterung vom gleichen Grad sein muss. Betrachte die Köper als Vektorraume über Q, so ist der Grad die Dimension dieses Vektorraums. Um eine Bijektion zwischen diesen Vektorräumen zu formulieren, müssen die Basen gleiche Länge besitzen.

In diesem Fall ist der maximale Grad der Körpererweiterung 2. Als Einteilung fiel mir nur ein: m, und quadratfrei und m,n Quadrate. Dann gibt es einen Isomorphismus. Sonst nicht. verwirrt

verwirrt

20.04.2011, 06:39

juffo-wup

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Für Isomorphie als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Vektorräume stimmt, was du gesagt hast. Aber es geht ja um Isomorphie als Körper. Das ist deutlich stärker, da vom Isomorphismus ja auch verlangt wird, dass er kompatibel mit der Multiplikation von Körperelementen ist. Zum Beispiel können $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ nicht als Körper isomorph sein, da ein Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ das Element $\begin{eqnarray*} 0=\sqrt{2}^2-2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0=\varphi(\sqrt{2})^2-2 \end{eqnarray*}$ abbilden würde, aber es keine Wurzel aus 2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ gibt.

20.04.2011, 18:22

tigerbine

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Mmh, also was ist denn die Definition eines K-Homomorphismus. Betrachten wir mal - der Notation meiner Quelle angepasst - das erst mal allgemein. Ich sehe da vor lauter Buchstaben das Wesentliche nicht mehr.

Wir haben 2 Körpererweiterungen von K, L|K und M|K. Nun sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein (Ring)- Homomorphismus von L nach M. Dann muss gelten

$\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(ab)=f(a)f(b) \end{eqnarray*}$

für alle a,b aus L und des weiteren (!)

$\begin{eqnarray*} f(1_L)=1_M \end{eqnarray*}$

Für einen K-Homomorphismus muss dazu noch gelten:

$\begin{eqnarray*} f_{|K}=id_K \end{eqnarray*}$

Die Elemente in $\begin{eqnarray*} L=\mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M=\mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ bedeutet das nun ( $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} f(m)=f(\sqrt{m}\sqrt{m})=f(\sqrt{m})f(\sqrt{m})=m \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{m})=\pm \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ . Damit wären die Bilder der Basis $\begin{eqnarray*} 1, \sqrt{m} \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt. [Bislang 2 Mögliche Abbildungen] Und damit der K-Homomorphismus. Es ist dann

$\begin{eqnarray*} f_1(x+y\sqrt{m}) = f_1(x) + f(y)f(\sqrt{m}) = x + y\sqrt{m} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x+y\sqrt{m}) = f_1(x) + f(y)f(\sqrt{m}) = x + y(-\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

20.04.2011, 18:35

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Stimmt das soweit?

Ja, die Überlegung stimmt, wobei die Bedingung $\begin{eqnarray*} f|_{\mathbb{Q}}=id \end{eqnarray*}$ hier überflüssig ist, da ja $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ und daher auch alle Elemente, die sich aus Eins durch Anwenden der Grundrechenarten ergeben (also $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ), auf sich abgebildet werden.

Um den Widerspruch zu bekommen (es gibt keinen solchen Homomorphismus), ist es allerdings nicht nötig erst die Eindeutigkeit eines Homomorphismus zu beweisen, falls er existiert, siehe meinen ersten Post.

20.04.2011, 21:56

tigerbine

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Mmh, deinen letzten Beitrag verstehe ich nicht. Ich wollte mir ja nur besser klar machen, was ein K-Hom ist. Was meinst du nun mit Widerspruch?

Und ich sehe immer noch nicht, was ich über die Beziehung zwiscehn m und n aussagen kann.

Wenn m und n Quadrate in Q sind, dann sind $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ isomorph, denn es gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m})=\mathbb Q(\sqrt{n})=\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Wenn nur eins Quadrat in Q ist, dann sind sie nicht isomorph.

Wenn beide keine Quadrate sind, was muss dann gelten? Da man Vor der Wurzel das Vorzeichen nicht wählen darf, würde ich meinen (um auch auf deinen ersten Post zurückzukommen: m=n.

edit:
also was mich stört ist, dass die Körper hier ja nicht nur isomoprh, sondern gleich sind.. verwirrt

verwirrt

20.04.2011, 23:54

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Mmh, deinen letzten Beitrag verstehe ich nicht. Ich wollte mir ja nur besser klar machen, was ein K-Hom ist.

Ach so.

Zitat:

Was meinst du nun mit Widerspruch?

Unter der Annahme, dass es einen Iso. für $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ gibt, lässt sich ein Widerspruch folgern.

Zitat:

Und ich sehe immer noch nicht, was ich über die Beziehung zwiscehn m und n aussagen kann.

Hast du denn verstanden, warum es, falls es einen (Körper-)Homomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ gibt, auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ die Wurzel aus n enthalten sein muss?
Das mit dem $\begin{eqnarray*} x^2-n=0 \Rightarrow \varphi(x)^2-n=0 \end{eqnarray*}$

Wenn es einen Isomorphismus gibt, dann gilt das ja in beide Richtungen. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{k}) \end{eqnarray*}$ sind alle von der Form $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ für irgendwelche $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ Jetzt muss man nur mit den beiden Bedingungen $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\in\mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{m}\in\mathbb{Q}(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ ein bisschen rechnen.

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21.04.2011, 00:23

tigerbine

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Zitat:

Original von juffo-wup
Hast du denn verstanden, warum es, falls es einen (Körper-)Homomorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ gibt, auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ die Wurzel aus n enthalten sein muss?
Das mit dem $\begin{eqnarray*} x^2-n=0 \Rightarrow \varphi(x)^2-n=0 \end{eqnarray*}$

Nicht wirklich. Also in $\begin{eqnarray*} Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\cdot \sqrt{n} - n=0 \end{eqnarray*}$ . Was muss nun für $\begin{eqnarray*} \phi: Q(\sqrt{n}) \to Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ gelten?

$\begin{eqnarray*} 0 =\phi(0) = \phi(\sqrt{n}\cdot \sqrt{n} - n) = \phi(\sqrt{n})\cdot \phi(\sqrt{n})- \phi(\sqrt{n}) =\phi(\sqrt{n})^2-n \end{eqnarray*}$

Was ist nun $\begin{eqnarray*} \phi(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ ? Du sagtest ja, das ginge nur Eindeutig...?

21.04.2011, 00:39

juffo-wup

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Zitat:

Was ist nun $\begin{eqnarray*} \phi(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ ? Du sagtest ja, das ginge nur Eindeutig...?

Es ist eine Wurzel aus n in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ d.h. ein Element, das quadriert n ergibt. Damit ist über die algebraischen Eigenschaften/Bedeutung des Elements im Körper eigentlich schon alles gesagt.

Also ausführlich: Sei $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ und n,m sind keine Quadratzahlen. $\begin{eqnarray*} \varphi: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{n})\to \mathbb{Q}(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus.

Sei $\begin{eqnarray*} x=\varphi(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=a+b\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
Quadrieren der Gleichung ergibt $\begin{eqnarray*} n=a^2+b^2m+2ab\sqrt{m} \end{eqnarray*}$ da ja $\begin{eqnarray*} x^2=n \end{eqnarray*}$
Also wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt{m}=\frac{n-a^2-b^2m}{2ab} \end{eqnarray*}$ rational, falls nicht a=0 oder b=0. Da Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ irrational sind, wäre das ein Widerspruch. Wenn b=0, dann x=a, auch ein Widerspruch, da keine rationale Zahl quadriert n ergibt. Also a=0 und $\begin{eqnarray*} n=b^2m \end{eqnarray*}$
Die gleiche Argumentation andersherum ergibt $\begin{eqnarray*} m=c^2n \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} n=b^2c^2n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2=1 \end{eqnarray*}$ also n=m.

21.04.2011, 00:54

tigerbine

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Zitat:

Original von juffo-wup
...und damit $\begin{eqnarray*} n=b^2c^2n \end{eqnarray*}$

Bis hierhin verstehe ich es. Warum folgt da nun aber draus, b=1? b und c sind aus Q. Warum geht nicht z.B. b=2 und c=1/2?

21.04.2011, 01:02

juffo-wup

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b und c sind ganzzahlig, weil sonst wegen $\begin{eqnarray*} n=b^2m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=c^2n \end{eqnarray*}$ m oder n nicht ganzzahlig wären.

21.04.2011, 01:17

tigerbine

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Ah, stimmt. Finger1

Finger1

Im Falle von Nichtquadraten m und n, müssen die also gleich sein. Wenn es nun Quadrate sind, wie schaut es dann aus? Also ich komme nicht klar damit, dass doch der gleiche Körper und nicht nur ein bis auf Isomorphie gleicher Körper raus kommt...

Verstehst du, was ich meine?

21.04.2011, 01:44

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Im Falle von Nichtquadraten m und n, müssen die also gleich sein. Wenn es nun Quadrate sind, wie schaut es dann aus? Also ich komme nicht klar damit, dass doch der gleiche Körper und nicht nur ein bis auf Isomorphie gleicher Körper raus kommt...

Verstehst du, was ich meine?

Um ehrlich zu sein, nein. Wenn man zu Q ein Element in Q adjungiert, hat man wieder Q. Und Q kann nicht isomorph zu einem echten Erweiterungskörper von Q sein, z.B. weil ein Isomorphismus in den Erweiterungskörper Q invariant lassen müsste und dann nicht surjektiv wäre. Also keine Isomorphie wenn eine der Zahlen Quadratzahl ist und die andere nicht.

Ich mache für heute Schluss, gute Nacht.

21.04.2011, 01:48

tigerbine

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So meinte ich das nicht. Ich meinte: es kommt entweder Q raus, oder ein echter Erweiterungskörper. Aber in jedem Fall der Fallunterscheidung sind die beiden Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ doch nicht nur isomorph, sondern gleich.

Gute Nacht. Wink

Wink

21.04.2011, 16:07

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
So meinte ich das nicht. Ich meinte: es kommt entweder Q raus, oder ein echter Erweiterungskörper. Aber in jedem Fall der Fallunterscheidung sind die beiden Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ doch nicht nur isomorph, sondern gleich.

Ja, das stimmt. Aber warum ist das ein Problem?

21.04.2011, 16:18

tigerbine

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Weil ich dachte, ich müsste verschiedene finden, die "strukturgleich" sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.04.2011, 22:37

turbojunge

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Die Aussage, dass aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{n}) \cong \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ folgt, sofern $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keine Quadrate sind, stimmt nicht:

Es ist z.B: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{12}) = \mathbb Q(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ (also sogar Gleichheit!), denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Der richtige Begriff ist hier meiner Meinung nach die Quadratfreiheit (vielleicht meintet Ihr das ja auch, und ich habe es irgendwo überlesen):

Aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{n}) \cong \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray*}$ folgt die Gleichheit $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ quadratfrei sind.

21.04.2011, 22:43

tigerbine

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Hallo,
imho hatten wir nur Quadratzahlen ausgeschlossen. Hier ist die Stelle, wo wir dann weiter gemacht haben. Wo stimmt die Argumentation nicht, denn es kam ja n=m raus.

Wink

Wink

22.04.2011, 00:19

juffo-wup

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Danke für die Berichtigung, turbojunge. In meinem Beweis ist der Fehler an der Stelle, bei der aus $\begin{eqnarray*} n=b^2m \end{eqnarray*}$ geschlossen wird, dass b ganzzahlig ist, also genau die Stelle, die tigerbine gleich komisch vorkam. b ist rational und Wurzel aus n/m, und Wurzeln aus rationalen Zahlen sind, wenn rational, Brüche bei denen Zähler und Nenner Quadratzahlen sind. Ich hatte stattdessen fälschlicherweise geschlossen, dass b bereits eine Quadratzahl in Z sein müsste.

Man kann also erstmal $\begin{eqnarray*} b=c^{-1} \end{eqnarray*}$ schließen und $\begin{eqnarray*} b=\frac{r^2}{s^2} \end{eqnarray*}$ mit r,s ganzzahlig und teilerfremd. Damit $\begin{eqnarray*} n=\frac{r^2}{s^2}m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=\frac{s^2}{r^2}n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ teilt m und $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ teilt n.

Damit hat man als Bedingung: Es existieren r,s ganzzahlig, sodass $\begin{eqnarray*} r^2\mid n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s^2\mid m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{n}{r^2}=\frac{m}{s^2} \end{eqnarray*}$

22.04.2011, 00:43

juffo-wup

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Die Bedingung ist, wie man sieht, sogar äquivalent zur Isomorphie der beiden Körper.
Man kann die Bedingung auch so formulieren: "man kann aus m,n teilweise ganzzahlig die Wurzel ziehen (eventuell trivial), sodass dann das gleiche unter der Wurzel übrigbleibt"

Sie ist nicht äquvalent zur Quadratfreiheit von n oder m, aber Quadratfreiheit von n oder m impliziert Nicht-Isomorphie wenn $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$
Für n und m prim wäre die Bedingung z.B. auch nicht erfüllbar.

22.04.2011, 01:10

juffo-wup

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Mir ist noch aufgefallen, dass die genannte Bedingung auch äquivalent zu "n und m haben das gleiche Vorzeichen und die Mengen der Primteiler mit ungeradem Exponenten von n und m sind gleich" ist.
Das ist vielleicht noch schöner, dafür hat die erstgenannte Version den Vorteil, dass man sie unmittelbar auf n-te Wurzeln statt Quadratwurzeln verallgemeinern kann.

22.04.2011, 01:28

tigerbine

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Danke für die turbo Nachbearbeitung, jungs. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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