Restklassenringe

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassenringe
Dazu mal eine Frage in einem konkreten Beispiel (lange her). Ich habe einen Ring R, ein Ideal I und eine Äquivalenzrelation ~ gegeben. ~ ist dabei die durch I und



definierte Äquivalenzrelation. Nun möchte ich die Restklassen von R/~ bestimmen, und zwar einmal für I als das Nullideal und einmal für I als das Einsideal.

Mein Problem ist, dass ich hier jetzt Schwierigkeiten habe, zu durchblicken, was in diesem Fall überhaupt eine Restklasse ist. Für das Nullideal ist also x~y, wenn x-y=0 ist. In einer Restklasse liegen also alle x,y die bei Subtraktion voneinander gerade 0 ergeben? Geht ja nur, wenn x=y ist.

Merkwürdig ist es auch beim Einsideal, wenn nur x-y€R sein soll, dann ist ja irgendwie



Was soll es da für Restklassen geben? Gibt's da nur eine einzige, und die ist gleich ganz R? Wenn mich da jemand in die richtige Richtung schubsen könnte, wäre das prima. Augenzwinkern

Da wäre mir schon sehr geholfen, wenn jemand ein bisschen "visualisieren" kann, was eigentlich die Restklassen sein sollen. Ich habe versucht, das ein bisschen mit der Kongruenz im Falle von Z/nZ zu vergleichen, da sind die Restklassen ja sehr simpel anzugeben. Da ergeben sich dann ja andere Restklassenmengen, wenn man das Ideal verändert (Beispielsweise 3Z oder 5Z). Ich kann das aber nicht so wirklich hierher übertragen, solange die Restklassen nicht klar sind.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe
Zitat:
Original von Mulder
Merkwürdig ist es auch beim Einsideal, wenn nur x-y€R sein soll, dann ist ja irgendwie



Was soll es da für Restklassen geben? Gibt's da nur eine einzige, und die ist gleich ganz R?

Ganz genau. Der Restklassenring ist also der Nullring.

Was passiert nun bei ? Auch hier kommst Du auf die Restklassen, wenn Du einfach die von Dir zitierte Definition anwendest.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Was passiert nun bei ? Auch hier kommst Du auf die Restklassen, wenn Du einfach die von Dir zitierte Definition anwendest.

Also ich hätte jetzt überlegt, dass, wenn ich mir zum Beispiel ein hernehme, auch nur dieses in der zugehörigen Äquivalenzklasse liegt. Ich habe also "einelementige" Äquivalenzklassen und damit . Macht das irgendwie Sinn?

Oder ist die Schreibweise da jetzt mit dem Gleichheitszeichen etwas ungünstig? Ist da was anderes üblich?

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ganz genau. Der Restklassenring ist also der Nullring.

Ich glaube, hier fehlt mir jetzt ein Denkschritt. Warum ist der Restklassenring der Nullring?

Oder muss ich das so auffassen, dass es (rein theoretisch) nur dann einen Rest geben könnte, wenn wäre? Kann ja nicht passieren, weil ja ein Ring ist, aber nur mal so angenommen, um in diesem Fall den Begriff der Restklasse etwas mehr zu visualisieren?

Wenn das so ungefähr zutrifft, ist es klar, warum das der Nullring ist.

Das wäre dann also, um diesen Vergleich, den ich vorher schon probiert hatte, genau wie bei dem Konstrukt und der Kongruenz, weil jede Zahl bei Division durch 1 den Rest null lassen würde? Daher wäre da dann der Restklassenring ebenfalls der Nullring, weil alle Zahlen in dieser Restklasse {0} liegen würde?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe
Zitat:
Original von Mulder
Also ich hätte jetzt überlegt, dass, wenn ich mir zum Beispiel ein hernehme, auch nur dieses in der zugehörigen Äquivalenzklasse liegt. Ich habe also "einelementige" Äquivalenzklassen und damit . Macht das irgendwie Sinn?

Ja, das ist richtig. Das bekommst Du direkt geliefert wegen .

Zitat:
Original von Mulder
Oder ist die Schreibweise da jetzt mit dem Gleichheitszeichen etwas ungünstig? Ist da was anderes üblich?

Man könnte das als Isomorphismus schreiben, aber ich sehe die Identifikation mit dem Gleichheitszeichen als unverfänglich.

Zitat:
Original von Mulder
Oder muss ich das so auffassen, dass es (rein theoretisch) nur dann einen Rest geben könnte, wenn wäre? Kann ja nicht passieren, weil ja ein Ring ist, aber nur mal so angenommen, um in diesem Fall den Begriff der Restklasse etwas mehr zu visualisieren?


Kann man so sagen. Aber auch das kannst Du formal noch etwas direkter begründen: Die rechte Seite ist für alle Paare erfüllt, also sind alle Elemente zueinander äquivalent.

Es gibt daher nur eine Äquivalenzklasse und damit .

Zitat:
Original von Mulder
Das wäre dann also, um diesen Vergleich, den ich vorher schon probiert hatte, genau wie bei dem Konstrukt und der Kongruenz, weil jede Zahl bei Division durch 1 den Rest null lassen würde? Daher wäre da dann der Restklassenring ebenfalls der Nullring, weil alle Zahlen in dieser Restklasse {0} liegen würde?


Ja, das ist ein Spezialfall des ganzen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe
Prima, dann ist das jetzt verständlich geworden.

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Man könnte das als Isomorphismus schreiben, aber ich sehe die Identifikation mit dem Gleichheitszeichen als unverfänglich.

Aha, diese Randfrage zielte nämlich schon auf Aufgabenteil b) ab, wo folgendes verlangt ist:



Kann ich da einfach ganz konkret den Isomorphismus



angeben und bin dann fertig? Da ja nur x in [x] liegt, kann ich das ja einfach umkehren und die Isomorphie ist gezeigt.

Edit: Wobei ich wohl sicher erst noch irgendwie zeigen müsste, dass das überhaupt ein Homomorphismus ist. Darüber habe ich mir jetzt in meinem überschwänglichen Eifer noch keine Gedanken gemacht, aber das wird ja wohl so sein. Augenzwinkern
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe
Zitat:
Original von Mulder


Hier ist mir nicht ganz klar, was die Aufgabe ist, da ich (a) nicht kenne und Du bei der Formle ggf. etwas anderes meintest?

Zitat:
Original von Mulder
Kann ich da einfach ganz konkret den Isomorphismus



angeben und bin dann fertig?

Diese Abbildung ist jedenfalls ein Isomorphismus. Der Quotientenring enthält genau die Einermengen aller Elemente aus .
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Mulder


Hier ist mir nicht ganz klar, was die Aufgabe ist, da ich (a) nicht kenne und Du bei der Formle ggf. etwas anderes meintest?

Ja, da hatte ich mich etwas vertippt, inzwischen habe ich das editiert.

Bei der a) hatte ich jetzt den genauen Wortlaut nicht abgetippt, stimmt. Der sah so aus (steht eigentlich oben mit eigenen Worten, aber zur Sicherheit):

zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmt deine Lösung zur Aufgabe. smile

Rein konzeptionell kann man sich die beiden Fälle auch klarmachen: wenn wir aus einem Objekt nichts herausfaktorisieren, verändern wir nichts. Wenn wir aus einem Objekt alles herausfaktorisieren, dann bleibt nur das Triviale übrig.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, dann vielen Dank für die tolle Hilfe. Wink
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Wink
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