linerare Abb. inj/surj/bij => dim V, dim f(V), dim W

20.04.2011, 15:16

inverno

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linerare Abb. inj/surj/bij => dim V, dim f(V), dim W

Sei $\begin{eqnarray*} dim V<\infty \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} dim W<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\in L(V,W) \end{eqnarray*}$ dann gilt:

Zeigen Sie:
(a) f inj <=> dim V=dim f(V)
(b) f surj <=> dim f(V)=dim W
(c) f bij <=> dim V=dim f(V)=dim W

ohne Rangformel.
(c) folgt ja aus (a)&(b) das ist ja klar...

aber sonst hab ich leider keinen plan wie ich das angehen soll.... ?!
ich denke fast dass ich mir das aus nem anderen satz u.U. basteln kann...
f inj <=> f(B) l.u. in W
f surj <=> f(B) Erzeugsys. von W

mit B Basis von V

vielen dank sollte sich jemand finden...um mir zu helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 15:22

Mazze

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Fang doch bei a) ganz sachte an. Welche Fälle gibt es denn bezüglich

$\begin{eqnarray*} \dim f(V) \end{eqnarray*}$

?

20.04.2011, 15:27

inverno

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hmm...
hmm...ja genau das is ja das problem...

weil ich weiß (aus vorhergehenden sätzen):

f inj <=> (f(bi)) l.u. in W UND (f(bi)) Erzeug.sys von f(V) also ist (f(bi)) Basis von f(V) aber wieso haben die jt. gleiche dimension???

folgt das nur aus der injektivitätseigenschaft f(x)=f(y) => x=y ???

20.04.2011, 15:31

invenro

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RE: hmm...
ich mein f(V) Teilraum von W ist klar...und dass damit dim f(V) <= W aber genau = ???

geht das schon alles aus der injektivität hervor ?! ich würds so begründen, aber das heißt nat. nicht dass das auch richtig ist smile

smile

20.04.2011, 15:32

Mazze

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Das meinte ich gar nicht. Aber egal.

Hinrichtung :

Zitat:

f inj <=> (f(bi)) l.u. in W UND (f(bi)) Erzeug.sys von f(V) also ist (f(bi)) Basis von f(V) aber wieso haben die jt. gleiche dimension???

Die Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren des Unterraums. Klingelts?

Rückrichtung : Eine lineare Abbildung ist injektiv, wenn nur die 0 auf 0 abgebildet wird. Zeige also dass $\begin{eqnarray*} f(x) = 0\Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(f(V)) \end{eqnarray*}$ ist.

20.04.2011, 15:42

invenro

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achso ...ja nat. damit ist die hinrichtung klar

Rückrichtung:
dim V =dim (f(V)): Sei f(x)=0
V und f(V) haben gleich viele Basisvektoren. Ich weiß
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(\sum_{i/in I}x_ib_i)=0\Leftrightarrow \sum_{i\in I}x_ib_i\in\ker f \end{eqnarray*}$

f injektiv d.h. ker f = 0 also muss $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I}x_ib_i=0\Leftrightarrow x_i=0\forall i\in I \end{eqnarray*}$ da ja b_i eine Basis ist geht nur die triviale Darstellung des Nullvektors

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20.04.2011, 15:47

invenro

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ach blödsinn...da benutze ich ja dass f inj. ist..aber auf das soll ich ja kommen...hm?!
verzwickt!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 15:58

Mazze

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Du kannst hier nicht mit der Basisdarstellung argumentieren, da Du potentiell unendlichdimensionale Vektorräume hast, und dort kann man den Basisbegriff nicht so einfach wie im endlichdimensionalen Betrachten. Besser :

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , was wäre wenn f nicht injektiv wäre?

p.s. Kannst Du die Aufgabe vollständig posten. Mir fällt nämlich für sofort ein Gegenbeispiel für die (i) ein, wenn $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(W) = \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Wähle etwa $\begin{eqnarray*} V = W = l^1(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f(a)_n = \begin{cases} a_{n} & \text{ n gerade} \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung ist linear und es gilt $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(f(V)) = \infty \end{eqnarray*}$ , injektiv ist sie aber nicht.

20.04.2011, 16:00

invenro

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so...hab jt mal a bissl herumgerechnet..und doch auf was glaubwürdiges gekommen:

dim V=dim f(V)
f(x)=0 => x=0 dann hätt ichs:
$\begin{eqnarray*} 0=f(x)=f(\sum_{i\in I}x_ib_i=\sum_{i\in I}x_if(b_i)=0\Leftrightarrow (f(b_i))_{i\in I} l.u. \Leftrightarrow x_i=0\forall i\in I\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$

20.04.2011, 16:03

Mazze

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Nach dieser Argumentation wäre jede lineare Abbildung injektiv. Du musst die Bedingung $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(f(V)) \end{eqnarray*}$ schon irgendwie verwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Und beachte meinen letzten Post.

20.04.2011, 16:03

invenro

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in der Angabe steht eh: dim V ODER dim W < oo

und ich hab leider schon wieder die injekt. von f benutzt die sichert dass (f(b_i)) l.u. in W ist....argh?!

20.04.2011, 16:04

Mazze

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Das logische Oder erlaubt , dass auch beides wahr ist.

20.04.2011, 16:07

invenro

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nunja...mind. einer von den räumen muss endlichdim. sein... also passt eh alles...

bzw. wenn beide wahr sind also dim V endlich und dim W endlich stimmt der satz ja hoffentlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

demnach geht $\begin{eqnarray*} \dim V=\dim W=\infty \end{eqnarray*}$ NICHT

20.04.2011, 16:12

Mazze

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Damit $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \dim(f(V)) \end{eqnarray*}$ gelten kann, muss aber

$\begin{eqnarray*} \dim(V) < \infty \end{eqnarray*}$

sein, denn falls $\begin{eqnarray*} \dim(V) = \infty, \dim(W) < \infty \end{eqnarray*}$ kann keine lineare Abbildung von V nach W injektiv sein. Also gilt wohl

$\begin{eqnarray*} \dim(V) < \infty, \dim(W) \leq \infty \end{eqnarray*}$

In diesem Fall kann man die Basisdarstellung verwenden. Du kannst also jeden Vektor

$\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination einer Basis von $\begin{eqnarray*} f(V) \end{eqnarray*}$ darstellen.

Sei also $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ , was wäre, wenn f nicht injektiv wäre ?

20.04.2011, 16:17

invenro

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okay...dann änder ich mal die angabe auf UND....

f(v)=0, f nicht injektiv d.h. $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=w \Rightarrow f(x)\neq f(w) \end{eqnarray*}$ aber in wieweit hilft mir das.. ?!

20.04.2011, 16:21

Mazze

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Naja, wenn f(v) = 0, aber f nicht injektiv ist, dann gibt es einen nicht trivialen Kern. Sprich, mindestens ein ein Basisvektor von V wird auf 0 abgebildet. Ist also

$\begin{eqnarray*} B \subset V \end{eqnarray*}$ eine Basis, wie verhalten sich dann $\begin{eqnarray*} \dim\langle B\rangle, \dim\langle f(B)\rangle \end{eqnarray*}$ , und welcher Eigenschaft widerspricht das?

20.04.2011, 16:28

invenro

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hmm...hab jt. mal nen anderen ansatz versucht...

da (f(bi)) Erzeug.sys. von f(V)c W gilt doch
dim f(V) <= dim V < oo
dim f(V) <= dim W < oo

also ist dim f(V) < oo da f(V)cW gilt dim f(V) <= dim W dann folgt (f(bi)) spannt ganz W auf und dass stimmt genau dann wenn f surjektiv ist (anderer Satz)

(f(bi)) Basis von f(V) wenn (f(bi)) l.u. ist d.h. dim V=dim f(V) dass stimmt genau dann wenn f injektiv ist...

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