Matrixgruppen / Vektorraum

20.04.2011, 15:44

Camery

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Matrixgruppen / Vektorraum

Meine Frage:
gegeben ist die Mengen der unitären 2x2 Matrizen mit der Eigenscheaft :

$\begin{eqnarray*} U(2)\in M(2,C) | U^{T}U =(U^{T})^{*} U= I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

( C: menge der Komplexe Zahlen)

a) ich muss zeigen, dass U(2)

- eine Gruppe unter Matrixmultiplikation

aber kein

- Komplex- oder reeller Vektorraum ist

b)ist die Gruppe Abelsch?

Meine Ideen:
Ich kenne zwar die Definitionen
--------------------------------------------------------------------
Eine Gruppe aus einer Menge M und 1 Verknüpfung besteht
Für die Verknüpfung muss gelten :
- Sie ist abgeschlossen in der Menge
- Assoziativität
außerdem
- Existenz eines Neutralen Elementes e
- Für jedes Element a aus M existiert ein Inverses Element -a sodass a + (-a)=e

(+ Kommutativgesetz >>> Abelsch)

Ein Vektorraum besteht aus einem Körper K, dazu kommt noch eine Menge V mit einer Verknüpfung .Und dann noch eine äußere Verknüpfung, sodass gilt : K x V -> V

-----------------------------------------------------------------------------

ich weiß aber nicht wie ich anfangen soll bzw. wie ich die o.g. Eigenschaften untersuchen kann

20.04.2011, 16:07

Rmn

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Die Definition einer Gruppe kennst du ja schon, dann muss du noch genauer schauen:
Wann ist eine Menge abgeschloßen?
Was heißt assoziativ?
Was ist die Definition von einem neutralen Element?
Die Definition von dem Inversen hast du geschrieben, aber bedenke, dass es hier um ein Produkt geht, nicht um eine Addition.
Wenn du jeweils diese Sachen klärst, wird dir auch sofort klar, wie du vorzugehen hast.

Ein Vektorraum ist auch eine Gruppe, allerdings mit ein Paar zusätzlichen Eigenschaften, welchen genau?

20.04.2011, 16:44

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Ok,

Eine Gruppe ist abgeschloßen, wenn Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge wiederum ein Element derselben Menge ist .
z.B. : $\begin{eqnarray*} a,b\in M , <br /> a\oplus b= c \Rightarrow c\in M \end{eqnarray*}$

assoziativität: (a x b)c = a(b x c)

Es gibt ein Element e in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt, also ein -neutrales Element: a x e =e x a = a

das mit dem inversen , ok verstanden smile

smile

Vektorraum Axiome :

1) (Assoziativgesetz) a(b*v) = (a*b) v , { a,b aus K und v aus V}
2)1xv=v neutrales elemnt
3)Distributivgesetz1 : (a+b)v=av+bv
4)Distributivgesetz2 : a(v+w)=av+aw , {v,w aus V}

-----------------------------------------------------------------------------

ich habe hier mit komplexe Matrizen zu tun, wie kann man sowas zeigen ?

20.04.2011, 17:23

Rmn

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Und jetzt einfach anwenden.

Assozivität: Ein Matrixprodukt ist allgemein assoziativ. Da Elemente aus U(2) Matrizen sind und die Verknüpfung ein Matrixprodukt ist, wird die Assozivität direkt vererbt.

Laut dem, was du geschrieben hast, ist U(2) dann abgeschloßen, wenn gilt, dass für beliebige A und B in U(2), liegt auch AB in U(2). Genauer, wenn
$\begin{eqnarray*} (AB)^T (AB) = I_2 \end{eqnarray*}$
wie in deiner Defintion von U(2) steht.
Nun beweise das.
Tipp: Verwenden allgemeine die Eigenschafft von Matrizen:
$\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$
und die Assoziativität.

Für neutrales Element soll gelten, dass für beliebige A in U(2) gilt:
$\begin{eqnarray*} AE=EA=A \end{eqnarray*}$
Für 2x2 Matrizen gibts da so eine besondere Matrix für die es erfüllt ist. Welche ist es? Und liegt sie in U(2), also
$\begin{eqnarray*} E^TE = I_2 \end{eqnarray*}$ ?

Für Inverses soll gelten
$\begin{eqnarray*} A^{-1}A=I_2 \end{eqnarray*}$
vergleiche das mit
$\begin{eqnarray*} A^TA=I_2 \end{eqnarray*}$

Was die komplexe Elemente angeht, so
$\begin{eqnarray*} U^TU=(U^T)^* U=(U^*)^T U \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} U=U^* \end{eqnarray*}$
damit sie Elemente der Matrizen doch gar nicht komplex. Korrigiert mich, wenn ich da falsch liege.

20.04.2011, 19:06

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum

Zitat:

Original von Rmn

Laut dem, was du geschrieben hast, ist U(2) dann abgeschloßen, wenn gilt, dass für beliebige A und B in U(2), liegt auch AB in U(2). Genauer, wenn
$\begin{eqnarray*} (AB)^T (AB) = I_2 \end{eqnarray*}$
wie in deiner Defintion von U(2) steht.
Nun beweise das.
Tipp: Verwenden allgemeine die Eigenschafft von Matrizen:
$\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$
und die Assoziativität.

hhmm, so : ?

$\begin{eqnarray*} U^{T} \cdot U= I \end{eqnarray*}$

zZ.:

$\begin{eqnarray*} (AB)^{T} \cdot (AB)=I_{2} \end{eqnarray*}$

Bew.: mit

$\begin{eqnarray*} AB^{T}= A^{T} \cdot B^{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A^{T} \cdot B^{T} \cdot (AB)=I_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (Assoz)\Rightarrow A^{T} \cdot A\cdot (B^{T} \cdot B)= I_{2} <br /> <br /> \Rightarrow I\cdot I=I_{2} \end{eqnarray*}$

kann ich das einfach so schreiben ?

20.04.2011, 19:13

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum

Zitat:

Original von Rmn

Für neutrales Element soll gelten, dass für beliebige A in U(2) gilt:
$\begin{eqnarray*} AE=EA=A \end{eqnarray*}$
Für 2x2 Matrizen gibts da so eine besondere Matrix für die es erfüllt ist. Welche ist es? Und liegt sie in U(2), also
$\begin{eqnarray*} E^TE = I_2 \end{eqnarray*}$ ?

Einheitsmatrix ?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{2} \end{eqnarray*}$

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20.04.2011, 19:29

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum

Zitat:

Original von Rmn

Für Inverses soll gelten
$\begin{eqnarray*} A^{-1}A=I_2 \end{eqnarray*}$
vergleiche das mit
$\begin{eqnarray*} A^TA=I_2 \end{eqnarray*}$

laut Wikipedia gilt für unitäre Matrix :

$\begin{eqnarray*} U^{-1} = U^{*} \end{eqnarray*}$

damit kann ich zeigen (?), dass

$\begin{eqnarray*} A^{-1} \cdot A= I_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A^{*} \cdot A= I_{2} \end{eqnarray*}$

ok so ?

20.04.2011, 20:17

Rmn

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Zitat:

zZ.:

$\begin{eqnarray*} (AB)^{T} \cdot (AB)=I_{2} \end{eqnarray*}$

Bew.: mit

$\begin{eqnarray*} AB^{T}= A^{T} \cdot B^{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A^{T} \cdot B^{T} \cdot (AB)=I_{2} \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht, beachte, die Reihenfolge in der ich das geschrieben habe. Wenn man ein Produkt Transponiert, dann ist die Reihenfolge der Matrizen vertauscht.
$\begin{eqnarray*} (AB)^T AB = I_2 \Leftrightarrow (B^T A^T) A B = I_2 \end{eqnarray*}$
Assozivität ausnutzen:
$\begin{eqnarray*} (B^T A^T) A B = B^T (A^T A) B = B^T B = B^T B = I_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch was, * ist bei dir transponiert UND komplex konjugiert oder nur komplex konjuguiert? Schau mal bitte im Skript nach.

20.04.2011, 21:07

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum

Zitat:

Original von Rmn

Was die komplexe Elemente angeht, so
$\begin{eqnarray*} U^TU=(U^T)^* U=(U^*)^T U \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} U=U^* \end{eqnarray*}$
damit sie Elemente der Matrizen doch gar nicht komplex. Korrigiert mich, wenn ich da falsch liege.

aha, ok ! ich dachte nur

stimmen die bewesie für inversen und neutral element ?
und warum ist die Menge kein Vektorraum ? welche Axiom(e) wird (werden) verletzt ?

20.04.2011, 21:10

Rmn(nicht eingelogt)

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Das hängt davon ab, was mit * gemeint ist.

20.04.2011, 21:12

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum

Zitat:

Original von Rmn(nicht eingelogt)
Das hängt davon ab, was mit * gemeint ist.

soweit ich verstanden habe bei unitäre matrizen gilt :

$\begin{eqnarray*} U^{-1} = U^{*} =\vec{U} ^{T} \end{eqnarray*}$ also konjugiert transponiert

oder meinst du was anderes ? verwirrt

verwirrt

20.04.2011, 21:36

Rmn

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Normalerweis meint man mit U*:
$\begin{eqnarray*} U^*=\overline U^T \end{eqnarray*}$
Dann ist für unitäre Matrizen:
$\begin{eqnarray*} U^{-1} = U^* \end{eqnarray*}$

Manchmal jedoch, besonders im physikalischen Kontext bedeutet U*:
$\begin{eqnarray*} U^*=\overline U \end{eqnarray*}$

Da bei dir steht:
$\begin{eqnarray*} U^{T}U =(U^{T})^{*} U= I_{2} \end{eqnarray*}$
bin ich unsicher, was genau von beidem gemein ist.

20.04.2011, 21:48

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
die Aufgaben sollen später für Quantenmechanik gut sein

k.A. :-/

20.04.2011, 22:34

Rmn

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Sowas muss eigentlich im Skript stehen. verwirrt

verwirrt

Welche Vorlesung? Mathematik oder Quantenmechanik?

20.04.2011, 23:07

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
QM

20.04.2011, 23:11

Rmn

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Ok, dann gehen wir davon aus, dass * nur komplexe Konjugarion bedeutet.
Sicher dass da
$\begin{eqnarray*} U^{T}U =(U^{T})^{*} U= I_{2} \end{eqnarray*}$
und nicht
$\begin{eqnarray*} U^{\dagger}U =(U^{T})^{*} U= I_{2} \end{eqnarray*}$
steht? Das würde einiges erklären.

20.04.2011, 23:25

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
oh, genau das zweite , ich habe diese komische kreutzzeichen (transponierzeichen?) nicht gefunden, habe aber nicht gedacht, dass das was anderes als T ist. SORRY

21.04.2011, 00:53

Rmn

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
Ok, hier verwendet man eine von Mathemaik abweichende Notation.

komplex konjugierte von U
Mathematik: $\begin{eqnarray*} \overline U \end{eqnarray*}$
Physik: $\begin{eqnarray*} U^* \end{eqnarray*}$

adjungierte von U
Mathematik: $\begin{eqnarray*} U^* \end{eqnarray*}$
Physik: $\begin{eqnarray*} U^\dagger \end{eqnarray*}$

versuche das nicht durcheinander zu bekommen. Das Symbol $\begin{eqnarray*} \dagger \end{eqnarray*}$ kannst du mit \dagger in LaTeX darstellen.
Wir benutzen dann die physikalische Notation, wie es in deiner Aufgabe der Fall ist.
Dann ist
$\begin{eqnarray*} U^\dagger = (U^*)^T=(U^T)^* \end{eqnarray*}$

1) Assozivität ist klar, wird von dem Matrixprodukt vererbt.

2) U(2) ist abgeschloßen, weil für jede A und B in U(2) folgt:
$\begin{eqnarray*} (AB)^\dagger (AB)=B^\dagger (A^\dagger A) B = B^\dagger B = I_2 \end{eqnarray*}$

3) Neutrales Element für Matrixmultiplikation ist klar $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ , allerdings muss dieser auch in U(2) liegen. Das sehen wir mit:
$\begin{eqnarray*} I_2^\dagger I_2 = (I_2^T)^* I_2 = I_2^* I_2= I_2 I_2 = I_2 \end{eqnarray*}$

4) Das Inverse ist definiert als:
$\begin{eqnarray*} U^{-1} U = I_2 \end{eqnarray*}$
wir haben jedoch
$\begin{eqnarray*} U^\dagger U= I_2 \end{eqnarray*}$
damit ist
$\begin{eqnarray*} U^\dagger = U^{-1} \end{eqnarray*}$
das Inverse zu U.
$\begin{eqnarray*} U^\dagger \end{eqnarray*}$ ist jedoch per Definition von U(2) drin, da U(2) nur solche Matrizen enhält für die gilt $\begin{eqnarray*} U^\dagger U = I_2 \end{eqnarray*}$ .

Was das Vektorraum angeht, so muss du ein Gegenbeispielt finden. Das ist nicht gerade schwer, übleg die, ob eine Matrix immernoch in U(2) ist, wenn du sie mit z.B. 2 multiplizierst.

b) Für Matrizen gilt im allgemienen nicht:
$\begin{eqnarray*} AB = BA \end{eqnarray*}$
Gilt das wenn man sich nur auf für U(2) einschränkt?
Nimm zwei U(2) Matrizen
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und prüfs nach.

21.04.2011, 20:31

Camery

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RE: Matrixgruppen / Vektorraum
vielen dank für deine mühe, hab alles verstanden Freude

Freude

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