Körpererweiterung [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterung [ÜAB]
Zitat:
Man finde drei verschiedene Nullstellen von in , sodass die beiden Körper und nicht isomorph sind.


Die Nullstellen sind

Wenn ich zu Q a1 adjungiere, dann liegt a2 bereits in Q. Denn die Basis ist 1,a1. Es gilt also



und

Wenn ich nun a1 und a3 adjungiere ergibt sich:



Nun weiß ich aber nicht, wie ich mir diesen Körper - oder eine Basis dieser Körpererweiterung - allgemein herleiten kann. Mit "Kleinster Körper der a1 und a3 enthält komme ich da nicht weiter. Darf ich die Elemente nach einander adjungieren? Der Grad dieser Körpererweiterung müsste ein Vielfaches von 4 sein, aufgrund der Gradformel. Was passiert also, wenn ich a3 zu adjungiere?

Es ist irreduzibel und mit Nullstelle a3. Daher würde ich sagen:



und

Mit der Gradformel dann . Daher können die beiden Körpererweiterungen nicht isomorph sein.

Zitat:
Man zeige, dass ein Zerfällungskörper von über Q ist.


Also mit dem vorherigen, würde ich nun behaupten .

Damit müßte ich zeigen, dass jede der eingangs erwähnten Nullstellen sich entsprechend darstellen lassen und somit das Polynom über L in Linearfaktoren zerfällt. Dies ist der Fall.

Zitat:
Man gebe 3 Teilkörper von L an, die quadratisch über sind




Mit Minimalpolynomem x²-2, x²+2,x^2-2x-1.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Also

, da bereits

Man sieht, dass , da irreduzibel nach Eisenstein.

Da , ist eine echte quadratische Erweiterung (), also vom Grad 2. Mit der Gradformel ergibt sich dann Grad 8 für das Gesamte.

Mit dem Zerfällungskörper ist richtig. Er wird durch Adjunktion der Nullstellen von f erzeugt.

edit: Verlesen, ja das letzte ist auch korrekt, wobei natürlich der letzte gleich dem ersten ist. Vielleicht war nach drei verschiedenen gefragt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

auf was hast du denn jetzt geantwortet? verwirrt Ich sollte doch in ersten Teil jeweils 2 Nullstellen adjungieren. i ist doch keine Nullstelle? verwirrt

Bei den letzten drei Teilkörpern, so sollen die wohl verschieden sein. Dann stimmt der dritte nicht.

Vielleicht kannst du mit zitieren kennzeichnen, was passt und wo ich was falsch gemacht habe.

Danke. Wink
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst doch zeigen, dass

ist. Und ich habe es einfach umgeschrieben:



Was ja das selbe ist und dann daraus gefolgert, dass der Grad 8 ist mit der Gradformel,

da



Das ist halt eine einfache Lösung und man braucht keine Basis anzugeben o.ä. Damit ist ja gezeigt, dass diese Körpererweiterung nicht isomorph ist zu der anderen, die ja Grad 4 hatte.

und sind ja nur zwei Schreibweisen für den selben Körper, im Endeffekt hat man also immer noch zwei Nullstellen adjungiert. Ich habe es nur umgeschrieben, weil man dann leichter die Argumentation über die Gradformel sieht. Mit der letzten Schreibweise sieht man z.B. auch einfacher, dass etwa ein Teilkörper ist. Der könnte z.B. im letzten Teil ins Spiel kommen.

Es ist halt eine Standardvorgehensweise für viele Aufgaben, dass man eine Körpererweiterung über einen Zwischenkörper in zwei Erweiterungen aufteilt, von denen eine ganz in liegt und die andere nicht, und man dann etwas über den Grad der gesamten Erweiterung mit der Gradformel schließen kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer ersten Aufgabe bin ich weit von "Standard" entfernt. Augenzwinkern

Zitat:
Mit der letzten Schreibweise sieht man z.B. auch einfacher, dass etwa ein Teilkörper ist. Der könnte z.B. im letzten Teil ins Spiel kommen.


Das wäre dann also der dritte?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke.

Nicht böse sein, wenn ich das schöne im kurzen nicht gleich sehe. Ich muss noch die Grundbegriffe einprägen. Wenn es sitmmt, bin ich froh, versuche aber aus den einfacheren Methoden (so schnell wie möglich) zu lernen.

Wenn wir schon bei Methoden sind:

Wie findest man ein "erzeugendes" Element der Körpererweiterung. Also L=Q(a)? Gibt es da auch Tricks?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du eine Basis? In welcher Form ist die Körpererweiterung denn angegeben?

Also nicht jede Körpererweiterung ist einfach, d.h. nicht jede lässt sich durch Adjunktion eines einzelnen Elements schreiben.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine für diese konkrete Aufgabe soll man schauen, ob es ein a in L gibt mit L=Q(a). Glaube a nennt man dann primitives Element? verwirrt
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich meine für diese konkrete Aufgabe soll man schauen, ob es ein a in L gibt mit L=Q(a). Glaube a nennt man dann primitives Element? verwirrt


Achso, ja genau. Jede endliche Körpererweiterung (edit: eines Körpers mit Charakteristik 0) ist einfach. Also in den meisten einfachen Beispielen findet man so ein erzeugendes Element, indem man die adjungierten Elemente sinnvoll addiert:

.

Dann muss man halt zeigen, dass tatsächlich in dem Körper liegen. Was in diesem Fall recht leicht ist.

In deinem Fall würde ich mal das selbe versuchen mit oder auch , wenn Du bei der ursprünglichen Schreibweise bleiben willst.

Sorry, da ich wieder das Wort leicht benutzt hab: Man kennt ja die Eigenschaften eines Körpers, z.B. weiß man, dass Inversen, Produkte etc. aus Elementen des Körpers wieder darin liegen, also könnte man im Beispiel vorgehen:

, stellt dies nach um und weiß, dass also im Körper ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Generell: Es gibt ein hier solches Element. Es zu finden, kann auch mal kompliziert sein. [Ist der Beweis der Aussage eigentlich konstruktiv?]
------------------------------------------------------------------------------

Also du meinst, man sollte mal die Summe probieren? Um noch mal auf meine Darstellung zu kommen



Da ist ja in die und die 0 drin, so dass "ich" auch sehe, dass am Ende "i" drin ist. Augenzwinkern .

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Nun soll ich prüfen, ob und in liegen, wobei gilt.



Daraus folgt:









x ist ungleich 0 und stammte ja aus dem Körper



Somit liegt auch i im Körper. Meintest du das so?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, i liegt also drin, dann muss man noch zeigen, dass drin liegt. Mit i liegt aber auch -i drin.





Somit wäre das auch gezeigt.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Jup.

Zitat:
Original von tigerbine
Generell: Es gibt ein hier solches Element. Es zu finden, kann auch mal kompliziert sein. [Ist der Beweis der Aussage eigentlich konstruktiv?]


War das eine Frage oder Teil der Aufgabe? In ersterem Fall: Das ist wohl ein konstruktiver Beweis gewesen. Nicht konstruktiv kann man wie gesagt einfach argumentieren, dass die Körpererweiterung endlich ist, wie oben gezeigt, und da Q die Charakteristik 0 hat, muss es solch ein primitives Element geben. (Wenn man den Satz bereits kennt.)

Ich bin jetzt erstmal für ein paar Stunden weg.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das war eine Frage von mir. Ich werde mal schauen, ob ich den Satz in meinen Unterlagen habe.

Danke Wink
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Generell: Es gibt ein hier solches Element. Es zu finden, kann auch mal kompliziert sein. [Ist der Beweis der Aussage eigentlich konstruktiv?]

Der Beweis, den ich kenne, zeigt, dass für K en Körper, in einem Erweiterungskörper von K, separabel, gilt, wenn für ein gilt: für alle Nullstellen des Minimalpolynoms von und alle Nullstellen des Mnmalpolynoms von mit

Also z.B. falls und
was für alle c>0 erfüllt ist.
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