faires Würfeln

21.04.2011, 15:18

Gast11022013

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faires Würfeln

Meine Frage:
Ein fairer Würfel wird so lange gewürfelt, bis eine 4 erscheint.

1.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man genau viermal? Geben Sie auch eine Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass genau n Würfe benötigt werden.

2.) Wenn man den Würfel k-mal wirft: Bei welchem k hat man wenigstens eine 4 geworfen?

Meine Ideen:

Zu 1.)

Wahrscheinlichkeit, dass genau viermal gewürfelt wird:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot \frac{1}{6}=0,096451 \end{eqnarray*}$

Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass n Würfe benötigt werden:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Zu 2.)

Das ist mir unklar.
Was soll man hier machen?

Ich verstehe das so, dass man eine Anzahl an Würfen angeben soll, sodass man mindestens 1 Mal die 4 wirft.

Oder wie ist das gemeint?

21.04.2011, 15:25

Mystic

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RE: faires Würfeln
1) stimmt... Wink

Wink

Ich stell die Frage zu 2) noch einmal etwas anders, vielleicht kannst du ja dann mehr damit anfangen: Bei welcher Anzahl k von Würfen kann man zu 100% sicher sein, dass dabei mindestens einmal die 4 gekommen ist?...

21.04.2011, 15:31

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Okay, die Frage habe ich dann verstanden.
Jetzt muss ich nur noch heraus finden, wie man das lösen kann.

Also zu 100 % bedeutet schonmal, dass die Wahrscheinlichkeit 1 herauskommen soll.

verwirrt

verwirrt

21.04.2011, 15:43

Mystic

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Dennis2010
Also zu 100 % bedeutet schonmal, dass die Wahrscheinlichkeit 1 herauskommen soll.
verwirrt

verwirrt

Richtig... Freude

Freude

Alles was du also machen musst ist die in 1) berechneten Wahrscheinlichkeiten von n=1 bis n=k aufzusummieren und jenen Wert k zu ermitteln, für den 1 dabei rauskommt...

21.04.2011, 15:48

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Dazu braucht man dann wohl einen Taschenrechner resp. PC - oder wie soll man das handschriftlich machen?

Bei 79 Würfen zeigt mein Taschenrechner 0,999999 an und bei 80 Würfen dann 1.

Ich würde daher sagen, dass man 80 Mal werfen muss, damit man mit Sicherheit mindestens eine 4 gewürfelt hat.

21.04.2011, 15:52

Math1986

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Dennis2010
2.) Wenn man den Würfel k-mal wirft: Bei welchem k hat man wenigstens eine 4 geworfen?

Die Frage verstehe ich auch nicht... es ist nicht garantiert, dass man überhaupt irgendwann eine 4 geworfen hat, daher gibt es kein solches k

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21.04.2011, 16:01

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Ich würde die Frage dann jetzt einfach so verstehen, wie Mystic sie umformuliert hat.
Diese Frage gibt ohnehin "nur" 2 Punkte, darum ist es nicht so schlimm.

Stimmt denn (in dieser Intepretation der Frage) das Ergebnis, dass man 80 Mal würfeln muss?

Kann man $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{6}=1 \end{eqnarray*}$ irgendwie nach k umformen, um k zu bestimmen - oder bleibt einem tatsächlich nichts Anderes, als es mit dem PC oder TR auszuloten, wann die Wahrscheinlichkeit von 1 erreicht ist?

21.04.2011, 16:11

Math1986

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Dennis2010
Stimmt denn (in dieser Intepretation der Frage) das Ergebnis, dass man 80 Mal würfeln muss?

Kann man $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{6}=1 \end{eqnarray*}$ irgendwie nach k umformen, um k zu bestimmen - oder bleibt einem tatsächlich nichts Anderes, als es mit dem PC oder TR auszuloten, wann die Wahrscheinlichkeit von 1 erreicht ist?

Nein, die Wahrscheinlichkeit wird (für endliches k) niemals exakt 1 (auch wenn PC und TR rundungsbedingt eine Eins ausgeben), du kannst dich beliebig nahe an die 1 annhären, aber sie niemals exakt erreichen

21.04.2011, 16:23

Gast11022013

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Mystic
Alles was du also machen musst ist die in 1) berechneten Wahrscheinlichkeiten von n=1 bis n=k aufzusummieren und jenen Wert k zu ermitteln, für den 1 dabei rauskommt...

Das stimmt also nicht?

Das ist mir - ehrlich gesagt - nicht klar, wieso das nicht gelten soll.
Bei 1.) hat man doch eine Formel, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit man nach n Würfen das erste Mal eine 4 wirft.

Wieso soll man diese Wahrscheinlichkeiten nicht addieren können, sodass ein sicheres Ereignis eintritt?

21.04.2011, 16:24

Mystic

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von Dennis2010
2.) Wenn man den Würfel k-mal wirft: Bei welchem k hat man wenigstens eine 4 geworfen?

Die Frage verstehe ich auch nicht... es ist nicht garantiert, dass man überhaupt irgendwann eine 4 geworfen hat, daher gibt es kein solches k

Wieso, ist doch eine vernünftige Frage, eben genau die Frage, die in der Aufgabe auch gestellt wird... Dass Dennis das approximativ mit dem Taschenrechner ausrechnet, statt sich die Formel einfach mal genau anzusehen und zu überlegen, ob sie je 1 sein kann, das konnte ich ja nicht ahnen... unglücklich

unglücklich

21.04.2011, 16:32

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Okay, da habe ich einfach zu kurz gedacht.
Mein Fehler, Entschuldigung!

Mit anderen Worten:
Man kann die einzelnen Wahrscheinlichkeiten nach so und so viel Würfen erstmalig eine Vier zu Würfeln addieren, aber die Summe ergibt nie 1, also gibt es auch keine Anzahl an Würfen, nach der man sicher mindestens eine 4 würfelt.

Also ist die Antwort: So ein k gibts nicht.

Wäre ja auch intuitiv irgendwie komisch, wenn man wüsste:
Werfe einfach 80 Mal und dann hast Du mindestens eine 4 gewürfelt.

21.04.2011, 16:41

Mystic

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RE: faires Würfeln
Ok,...Was mir aber jetzt noch nicht klar ist, hast du Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^k \frac 16 \left( \frac 56 \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

nun aufsummiert und bist so zu diesem Ergebnis gekommen oder sagst du das nur jetzt "aus dem Gefühl" aufgrund der Ergebnisse am TR verwirrt

verwirrt

21.04.2011, 16:49

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Ich verstehe nicht ganz, was Du meinst.

Wie ich darauf nun gekommen bin?

Ich habe mir Konvergenzkriterien für Reihen angeguckt und herausgefunden, dass diese Reihe für $\begin{eqnarray*} k\to \infty \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert. Das bedeutet ja, dass es so ein "endliches" k nicht geben kann.

Kann man das so begründen?

21.04.2011, 16:56

Mystic

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RE: faires Würfeln
Meiner Frage war eigentlich, ob du eine explizite Formel für den den Reihenwert erstellt hast und dann aufgund dieser Formel dann geschlossen hast, dass diese Reihe nie den Wert 1 annehmen kann... verwirrt

verwirrt

21.04.2011, 16:58

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Nein, ich habe es nur dadurch begründet, dass diese Reihe für k gegen Unendlich gegen 1 konvergiert, es also kein k geben kann, für das die Wahrscheinlichkeit 1 sein kann.

Kann man so einen expliziten Reihenwert denn errechnen?

21.04.2011, 17:16

Mystic

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RE: faires Würfeln
Ok, ich sehe schon, du hast die Aufgabe anscheinend nicht so gelöst, wie sie von mir (und vermutlich auch vom Aufgabensteller) gedacht war... Dazu hättest du die Reihe nämlich wirklich aufsummieren müssen (und zwar nicht am TR, sondern mithilfe der Formel für endliche geometrische Reihen)...

21.04.2011, 17:30

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Nochmal eine Frage.

Es gilt doch, dass $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n}|<1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right) \end{eqnarray*}$ eine geometrische Reihe, oder?

Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n})} \end{eqnarray*}$

Und das ist doch für n gegen unendlich 1.

[Im Grunde suche ich nur einen Weg um zu zeigen, dass der Wert 1 nicht angenommen wird.]

Edit:

Ah, Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} z^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}, z\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

21.04.2011, 17:43

Mystic

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Dennis2010
Edit:

Ah, Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} z^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}, z\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Genau, was kommt also durch Einsetzen dabei raus?

Edit: Es geht übrigens um die Summenformel für

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^k \frac 16 \left( \frac 56 \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Hatte mich oben mal vertippt...

21.04.2011, 17:50

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Ich weiß nicht genau, was hier das z ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ ?

Oder $\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{5}{6}\right)^n}{6} \end{eqnarray*}$ ?

21.04.2011, 17:59

Mystic

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RE: faires Würfeln
Weder das eine, noch das andere, z=5/6... geschockt

geschockt

21.04.2011, 18:08

Gast11022013

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RE: faires Würfeln
Achso, das 1/6 kann man ja vor das Summenzeichen ziehen.

Hat man dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}=\frac{1}{6}\cdot \sum_{n=0}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^n=\frac{1}{6}\cdot (\frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{k+1}}{1-\frac{5}{6}})=\underbrace{\frac{1}{6}\cdot (1-\frac{5^{k+1}}{6\cdot 2^k\cdot 3^k})}_{=\frac{1}{6}-\frac{5^{k+1}}{36\cdot 2^k\cdot 3^k}}<1 \end{eqnarray*}$ ?

21.04.2011, 18:21

Mystic

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RE: faires Würfeln

Zitat:

Original von Dennis2010
Achso, das 1/6 kann man ja vor das Summenzeichen ziehen.

Hat man dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}=\frac{1}{6}\cdot \sum_{n=0}^{k} \left(\frac{5}{6}\right)^n=\frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{k+1}}{1-\frac{5}{6}}=1-\frac{5^{k+1}}{6\cdot 2^k\cdot 3^k}<1 \end{eqnarray*}$ ?

Au weia, da ist jetzt so ziemlich alles falsch, was man überhaupt nur falsch machen kann.... Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \frac 16 \sum_{n=0}^{k-1} \left( \frac 56 \right)^n=\frac 16 \ \frac {1-\left( \frac 56 \right)^k}{1-\frac 56}=1-\underbrace{\left( \frac 56 \right)^k}_{>0}<1 \end{eqnarray*}$

21.04.2011, 18:35

Gast11022013

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Ja, ich schließe mich an: Au weia!

Vielen Dank für die Geduld.

Dann habe ich jetzt die Begründung, wieso es ein solches k nicht gibt.

Gott

Gott

16.08.2011, 14:32

Gast11022013

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Anscheinend ist es wohl falsch, die Aufgabe so umzuformulieren,

diese Teilaufgabe ergab 0 Punkte.

Mit der Begründung: "falsche Aufgabe"

verwirrt

verwirrt

Wie könnte die Aufgabe denn dann gemeint sein?!

16.08.2011, 15:40

René Gruber

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Da es schon ein paar Monate her ist: Redest du von

Zitat:

Original von Dennis2010
2.) Wenn man den Würfel k-mal wirft: Bei welchem k hat man wenigstens eine 4 geworfen?

verwirrt

Das solltest du ja doch wohl den Aufgabensteller fragen!!!

16.08.2011, 15:49

Gast11022013

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Ja, das hatte ich gemeint.

Der Aufgabensteller ist ein Buch. Big Laugh

Big Laugh

16.08.2011, 16:08

Huggy

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Weshalb sollte die Aufgabe nicht so gemeint sein, wie sie gestellt wurde? Die korrekte Antwort ist, es gibt kein solches k. Das wurde in dem Thread auch schon gesagt.

Die Anmerkungen von Mystic zielen meiner Meinung nach darauf ab, dass man aus der Tatsache, dass eine Folge fn gegen einen Grenzwert g konvergiert, nicht schließen darf, dass sie für kein endliches n diesen Grenzwert annimmt. Wenn die Folge allerdings monoton steigend (oder fallend) ist, wie bei dieser Aufgabe, dann kann man das schließen.

16.08.2011, 16:12

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Der Aufgabensteller ist ein Buch. Big Laugh

Big Laugh

Dann frag den Buchautor. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2011, 16:12

Gast11022013

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Ich widerspreche nicht und finde es schon rein intuitiv ganz einsichtig, daß es ein solches k nicht gibt.

Ich hatte nur, wie gesagt, diese Lösung abgegeben und dafür keine Punkte erhalten (Begründung: "falsche Aufgabe"), daher hab ich mich gewundert. Ich dachte, vielleicht würde einem Anderen spontan auffallen, daß man die Aufgabe auch anders verstehen kann.

Wenn jedoch so klar ist, wie die Aufgabe gemeint ist, dann kann ich mir die 0 Punkte nicht erklären.

16.08.2011, 16:16

Huggy

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Bei wem hast du deine Lösung abgegeben?
Den musst du fragen, weshalb er dir für eine korrekte Antwort 0 Punkte gibt.

16.08.2011, 16:18

Gast11022013

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Okay, werde ich.

Dann entschuldige ich mich, daß ich hier nochmal unnötigen Staub aufgewirbelt habe.

Wink

Wink

16.08.2011, 16:20

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Dann entschuldige ich mich, daß ich hier nochmal unnötigen Staub aufgewirbelt habe.

Man sollte sich nicht unnötig entschuldigen, auch wenn das keinen Schaden anrichtet.

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