Lineare Unabhängigkeit

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit
hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Sei V ein reeller Vektorraum, , und .
Für welche gelten die Aussagen:

a) Aus der linearen Unabhängigkeit von folgt die lineare Unabhängigkeit von
b) Aus der linearen Unabhängigkeit von folgt die lineare Unabhängigkeit von

Ich denke, dass die Aussage a) für alle gilt, und ich würde das so beweisen:

nach Voraussetzung sind linear unabhängigkeit, also für

Dann ist











und daraus folgt ja dann wieder, dass ist.

hier bin ich mir aber nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe.

zur b)

nach Vor. ist wieder linear unabhängig, also



jetzt kann ich erstmal umschreiben zu





jetzt ist mir aber nicht klar, wie ich weiter machen kann.

Kann mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann ist







An dieser Stelle ignorierst du zwei Sonderfälle für t.

Ich würde jedoch etwas anders vorgehen und nicht t ausklammern sondern alles wie gewohnt auf die Form bringen und dann an dieser Stelle die lineare Unabhängigkeit von v1 und v2 ausnutzen um damit letztendlich bestimmte Rückschlüsse beim Lösen des entstehenden LGS zu machen.

Dasselbe würde ich auch bei b) versuchen und hier auch nicht unbedingt die Summenschreibweise benutzen, da sich das explizite Aufschreiben von ein paar Summanden im Hinblick auf das folgende LGS evtl mehr lohnt.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den hinweis. Dann versuche ich das mal:







Da linear unabhängig sind, muss dann und gelten.

Und wenn ich dieses LGS dann löse, erhalte ich .

Damit müsste dann teil a) gelöst sein.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und wenn ich dieses LGS dann löse, erhalte ich .


Wirklich für alle t's ? Augenzwinkern

Wie bist du denn vorgegangen beim Lösen des LGS ?
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das LGS als Matrix geschrieben und Gauß angewendet:





Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du von Matrix 2 zu Matrix 3 dann II-t*I gerechnet haben solltest, dann fehlt da noch was am Ende.
Zudem müsste man den Fall t=0 an dieser Stelle auch nochmal separat betrachten, da du ja sonst eine Zeile mit null multiplizieren würdest.
 
 
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

ja, da hast du natürlich recht. Ich bin wohl noch nicht so ganz wach, und habe den Gauß Algorithmus falsch angewendet.

also nochmal neu:







und hier sieht man schon, dass definitiv gelten muss, und falls oder ist das Gleichungssystem unterbestimmt, und somit handelt es sich dann um lineare Abhängigkeit.

Also muss gelten.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




Durch welche Umformung kamst du auf die zweite Matrix ?
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

das - fache der ersten Zeile zur Zweiten hinzuaddiert.

diese Umformung müsste eigentlich erlaubt sein, da ich hier von einem reellen Vektorraum ausgehe.

edit: hierbei gehe ich natürlich direkt schon davon aus, dass ist.

Dann stimmt die antwort natürlich nicht, und ich muss den Fall noch gesondert betrachten.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, nagut bisschen kompliziert aber natürlich möglich (t*II-I hätts ja auch getan).

Zitat:
Dann stimmt die antwort natürlich nicht, und ich muss den Fall noch gesondert betrachten.


Richtig, es wäre also noch zu prüfen ob sich dadurch noch andere Lösungen für t folgen oder auszuschließen sind smile
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

für ist die lineare Unabhängigkeit aber direkt schon klar nach Voraussetzung.

also handelt es sich um lineare Abhängigkeit bei
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

dann danke ich dir schonmal für die hilfe bei teil a) smile

nun zur b)

Ich versuche, es so zu lösen, wie bei teil a)







Somit erhalte ich wieder n Gleichungen, die alle 0 ergeben müssen.

Dann habe ich mir das ganze wieder als Matrix überlegt, allerdings weiß ich nicht, wie ich sie hier posten kann.

als Ergebnis habe ich aber rausbekommen, dass es davon abhängt, ob n gerade oder ungerade ist.

Falls n gerade, handelt es sich um lineare Abhängigkeit im Falle .
Falls n ungerade, handelt es sich um lineare Abhängigkeit im Falle
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