Integralsatz von Gauß - "Rechenaufgabe"

22.04.2011, 12:27

Gast11022013

Integralsatz von Gauß - "Rechenaufgabe"

Meine Frage:
Hallo!

Sei $\begin{eqnarray*} A:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3:\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R^3\to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} F(x,y,z):=(3x^2z,y^2-2x,z^3) \end{eqnarray*}$ .

Man berechne das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} <F,v>dS \end{eqnarray*}$ .

Diese Aufgabe ist mit 4 Punkten bewertet.

Meine Ideen:
Meine Idee ist es, den Gauß'schen Integralsatz anzuwenden.
[Die Voraussetzungen dafür sind m.E. alle erfüllt. Das schreibe ich später noch ausführlicher auf.]

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial A} <F,v> dS=\int_{A} div F(x) d^nx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} div F=6xz+2y+3z^2 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_A 6xz+2y+3z^2 d^nx \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts jetzt weiter?

[Bei anderen Beispielaufgaben habe ich manchmal gesehen, dass man irgendwelche Parametrisierungen verwendet. Braucht man hier auch sowas?]

Edit:

Kann man A als Ellipsoid auffassen und dann den Transformationssatz für Integrale verwenden?

Edit: Leider reagiert niemand. Daher schreibe ich meine Idee einfach mal auf!

1. Anwenden des Gaußschen Integralsatzes

Wieso kann man den Satz anwenden?
Meine Antwort:
a)
E ist kompakte Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und hat glatten Rand, da es zu jedem Randpunkt $\begin{eqnarray*} e\in \partial E \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung (nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ) und eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} \lambda : \mathbb R^3\to \mathbb R^3, \lambda(x):=\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}-1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E\cap \mathbb R^3=\left\{x\in \mathbb R^3 :\lambda(x)\leq 0\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad\lambda(x)\neq 0 \forall x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gibt.
b) $\begin{eqnarray*} v:\partial E\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei das äußere Einheits-Normalenfeld.
c) $\begin{eqnarray*} E\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Dann gilt für das stetig differenzierbare Vektorfeld $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R^3\to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial E} <F(x),v(x)>dS(x)=\int_{E} divF(x) d^3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} div F(x)=\sum_{i=1}^3 \frac{\partial F_i}{\partial x_i}=6xz+2y+3z^2 \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist also:
$\begin{eqnarray*} \int_{E} 6xz+2y+3z^2 d^3x \end{eqnarray*}$ .

Anwenden des Transformationssatzes für Integrale:

Ich habe mir nun gedacht:
E ist doch Ellipsoid (oder?) und dann könnte man E ja auch folgendermaßen darstellen:

$\begin{eqnarray*} E=\left\{(r,\phi,\alpha): 0\leq r\leq 1, \phi\in [0,2\pi], \alpha \in [0,\pi], \begin{pmatrix} 2r\cos(\phi)\sin(\alpha) \\ r\sin(\phi)\sin(\alpha) \\ 3r\cos(\alpha) \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} g(r,\phi,\alpha):=\begin{pmatrix} 2r\cos(\phi)\sin(\alpha) \\ r\sin(\phi)\sin(\alpha) \\ 3r\cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

[Ich bin mir nicht ganz sicher, aber das müsste ein Diffeomorphismus sein: bijektiv ists, stetig auch, bei der Umkehrfunktion weiß ich nicht, ob sie stetig ist...]

Naja, jedenfalls käme ich dann letztlich mithilfe des Transformationssatzes für Integrale auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{E} div F(g(r,\phi,\alpha))\cdot |det (\nabla g)| \end{eqnarray*}$ , d.h. z.B.

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^1 div F\left(\begin{pmatrix} 2r\cos(\phi)\sin(\alpha) \\ r\sin(\phi)\sin(\alpha) \\ 3r\cos(\alpha) \end{pmatrix}\right)\cdot \underbrace{|det(\nabla g)|}_{=6\cdot \sin(\alpha)\cdot r^2} dr d\phi d\alpha \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Integral für Integral - von innen nach außen- berechne, so komme ich auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{216\cdot \pi}{5}\approx 135,717 \end{eqnarray*}$ .

Wer kann mir sagen, ob mans so machen kann?

22.04.2011, 17:11

Gast11022013

Integralsatz von Gauß - "Rechenaufgabe"

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