Determinanten von Endomorphismen eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V.

Neue Frage »

Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten von Endomorphismen eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V.
Meine Frage:
Also folgende Aufgabe versuch ich an diesem schönen Freitag zu lösen und mir fehlt schon seid 2h ein wirklicher Ansatz:

Zeigen Sie, dass für jede Zahl a (alpha) element von K ein Endomorphismus des Vektorraumes V ungleich 0 existiert, dessen Determinante a (alpha) ist.

Meine Ideen:
falls ich das bis hierhin richtig verstanden habe ist zu zeigen, jede Determinante eine ein Endomorphismus des Vektorraumes sein kann. (es ist auch erstädlich warum die Null ausgeschlossen wird)
Dennoch weiß ich nich wie ich anfangen soll.
wäre für jede Hilfestellung dankbar.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Denke zuerst einmal an Matrizen. Sei gegeben. Kannst du eine Matrix angeben so, dass ?
Hinweis: Einheitsmatrix ändern.
Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort

also:

alpha = das Produkt von der diagonalen der Matrix nach Anwendung von Gaus

aber in wiefern hilft mir das hierbei weiter,und was hat das mit dem endomorphismus zu tun?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo hast du nun eine Matrix hingeschrieben die gerade Determinante hat?
Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »

ja also eine mögliche Matrix wäre:



trotzdem sehe ich keinen Zsammenhang.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, obwohl das nur für einen Vektorraum der Dimension 3 geht und falls 12, 13 und 23 Elemente des Körpers sind.
Allgemeiner könnte man eine Einheitsmatrix nehmen und eine der Einsen durch ersetzen.

Nehmen wir an dass wir in eine Basis gewählt haben.
Nun weisst du sicher dass es dann eine Bijektion gibt zwischen der Menge der Endomorphismen und der Menge der quadratischen Matrizen.
Anders gesagt: Ein Endomorphismus liefert genau eine Matrix [bzgl der gewählten Basis] und jede Matrix liefert genau einen Endomorphismus.

Das heisst die ausgedachte Matrix entspricht genau einem Endomorphismus.
Wegen der Definition hat dieser dann die geforderte Determinante.
 
 
Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »

alsoich weiß nicht vllt. ist es schon einfach zu spät aber ich versteh immer noch nicht wie ich das beweisen soll. Könntest du vllt. anhand einer Matrix mir das erklären?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du weisst doch dass man in jedem Vektorraum [endlichdimensional] eine Basis wählen kann und bzgl dieser Basis wird jeder Endomorphismus durch eine quadratische Matrix beschrieben. Umgekehrt definiert jede Matrix ein Endomorphismus.

Ausserdem ist die Determinante eines Endomorphismus gerade als die Determinante der Matrix definiert, die den Endomorphismus bzgl eine Basis beschreibt.

Nun hast du eine Matrix angegeben die die geforderte Determinante besitzt - und diese beschreibt eben auch einen Endomorphismus mit genau dieser Determinante. Dh du bist fertig.
Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »

Also formal lautet die Aufgabe:

z.z.:
für V ,ein Vektorraum

jetzt verstehe ich nich wie ich das Formal aufschreiben kann.
also
Jede Matrix hat einen Endomorphismus bzgl. V mit der entsprechenden Basis
.

Sei

Jetzt verstehe ich nicht warum:



und jetzt nach einem zwischen schritt muss kommen:


mir fehlt der zwischen schritt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Hier steht ziemlich viel Unsinn.

Nehmen wir lieber . Dann hat eine Basis [natürlich ].

Nach dieser Basiswahl wird jeder Endomorphismus durch genau eine quadratische Matrix beschrieben und umgekehrt, jede quadratische Matrix liefert genau einen Endomorphismus.

Ausserdem ist nach Definition [und hier muss man natürlich mal gezeigt haben, dass diese Definition unabhängig von der Basis ist].

Wegen den obigen Eigenschaften reicht als Beweis der Existenz eines solchen Endomorphismus wenn du eine Matrix mit den genannten Eigenschaften angeben kannst.
Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »

und wie hängt das von ab?
Ich seh nicht das irgendetwas gezegt wurde mit einem Beispiel.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tetrishu
und wie hängt das von ab?


Die Matrix die du angeben sollst soll doch die Determinante haben.

Zitat:
Original von Tetrishu
Ich seh nicht das irgendetwas gezegt wurde mit einem Beispiel.


Du sollst die Existenz von einem gewissen Ding zeigen. Wenn du solch ein Ding konkret angeben kannst hast du natürlich die Existenz gezeigt.
Tetrishu Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »