Isomorphimus induzieren

22.04.2011, 18:32

someone[ger]

Isomorphimus induzieren

Guten Abend,

meine Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U_1, U_2 \end{eqnarray*}$ Unterräume.

Sei $\begin{eqnarray*} i:U_1 \rightarrow U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ die Inklusion und sei $\begin{eqnarray*} p: U_1 + U_2 \rightarrow (U_1 + U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ die kanonische Abbildung.

Zeige Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \phi := p \circ i : U_1 \rightarrow (U_1 + U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} U_1 / (U_1 \cap U_2) \cong (U_1 + U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ induziert.

Meine Ideen:

Wir führen ja zuerst die Inklusion aus. Also $\begin{eqnarray*} u \mapsto (u) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt bildet $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ ab. Da wir aber mit Elemten aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ "angekommen" sind und für Elemente aus $\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 = (w_1 + w_2 | w_1 \in U_1, w_2 \in U_2) \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ nur das neutrale Element sein. Richtige Folgerung?

Was anderes ist mir bisher nicht eingefallen und ich habe auch keine Ideen wie ich obiges benutzen soll.

Kann mir jemand helfen? verwirrt

22.04.2011, 18:36

kiste

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Berechne den Kern von Phi und benutze den Homomorphiesatz

22.04.2011, 18:37

someone[ger]

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Nachtrag:

Wir hatten die Isomorphiesätze bisher noch nicht in der Vorlesung.

Aber ich vermute, dass ich die benutzen muss.

Ist das korrekt?

22.04.2011, 18:47

someone[ger]

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Zitat:

Original von kiste
Berechne den Kern von Phi und benutze den Homomorphiesatz

Aber wie mache ich das verwirrt

Wir haben gelernt:

$\begin{eqnarray*} ker(\phi)= \left\{ x\in G | \phi(x)=e \right\} \end{eqnarray*}$

Also was muss ich hiermit abilden:

$\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)/U_2 = (a * U_2 | a \in (U_1 + U_2)) \end{eqnarray*}$ .

damit daraus das neutrale Element wird.

Ich hatte ja oben schonmal gepostet, warum ich glaube, dass ich in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ nur das neutrale Element drin sein kann. Stimmte das denn?

Dann wäre also $\begin{eqnarray*} a * U_2 \end{eqnarray*}$ der Kern für alle $\begin{eqnarray*} a \in U_1 \end{eqnarray*}$ .

Kommt mir irgendwie komisch vor... unglücklich

22.04.2011, 19:05

someone[ger]

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Nochmal neu:

$\begin{eqnarray*} \phi: U \rightarrow (U_1 + U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$

Jedes $\begin{eqnarray*} u \in U_1 \end{eqnarray*}$ wird ja abgebildet auf sich selbst plus irgendeinem Element aus $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ weil das ja quasi die Äquivalenzklasse bildet.

Also

$\begin{eqnarray*} u \mapsto u + U_2 \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt meine Annahme stimmt und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} (U_1 + U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} u \mapsto U_2 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} u + U_2 = U_2 \end{eqnarray*}$ und das gilt wenn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ebenfalls das neutrale Element ist, also $\begin{eqnarray*} u \in U_2 \end{eqnarray*}$ .

Also ist jedes $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ ein Element des Kerns, wenn auch $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegt. Also ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ der Kern.

Hmm hört sich irgendwie nich so schlecht an wie die ersten Versuche.

Basiert aber alles auf der Idee, dass $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} (U_1 + U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ ist...

22.04.2011, 20:14

kiste

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Joar passt modulo sauberem Aufschreiben.

Jetzt musst du eben noch zeigen, dass die Abbildung surjektiv ist, das ist aber sehr einfach.

22.04.2011, 20:23

someone[ger]

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Super, vielen Dank schonmal! smile

Zur Surjektivität: Ich hab ja:

$\begin{eqnarray*} (U_1+U_2)/U_2 = \left\{ a * U_2 | a \in (U_1 + U_2)\right\} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \left\{ a * U_2 | a \in (U_1 + U_2)\right\}=\left\{ a * e | a \in (U_1)\right\} \end{eqnarray*}$ .

Wobei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist.

Offensichtlich treffe ich mit jedem $\begin{eqnarray*} a \in U_1 \end{eqnarray*}$ ein anderes Element und zwar insbesondere alle.

22.04.2011, 22:44

kiste

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Der einzige für mich erkennbare Beweisschritt ist die Umbennung des neutralen Elements. Ein richtiges Argument fehlt dir.

23.04.2011, 12:28

someone[ger]

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Wir suchen ja die Äquivalenzklassen bezüglich des neutralen Elements.

Und das wäre meiner Meinung nach gerade die Eigenschaft des neutralen Elements, das zwei verschiedene Elemente auch zwei verschiedene Äquivalenzklassen haben.

Also hab ich für jedes $\begin{eqnarray*} u \in U_1 \end{eqnarray*}$ genau eine Äquivalenzklasse.

Und die Zielmenge besteht eben aus einer Äquivalenzklasse pro Element aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ .

Ist irgendwie schwammig.. hast du einen Tipp? Ich komm nicht drauf, auch wenn du sagst es wäre sehr leicht...

23.04.2011, 13:14

kiste

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Sei $\begin{eqnarray*} x + U_2 \in (U_1+U_2)/U_2 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} x = y + z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\in U_1, z\in U_2 \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist klar.

Deine Behauptung dass es für jedes u eine Äquivalenzklasse gibt ist falsch, betrachte bspw. den Fall dass U2 ein Unterraum von U1 ist.

24.04.2011, 19:56

someone[ger]

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Hab's jetzt hingekriegt.

Vielen Dank für die Geduld und die guten Tipps!

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