Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]

23.04.2011, 22:30

tigerbine

Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]

Als nicht Standard Beispiel für einen Ring mit nicht eindeutiger Primfaktorzerlegung ist angegeben $\begin{eqnarray*} \mathbb Z + \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ und als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}(2x) = \frac{1}{3}(3x) = ... \end{eqnarray*}$

Frage, wo spielt hier das "Z" rein? verwirrt

24.04.2011, 22:50

tigerbine

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
Wie sehen in dem Ring denn die irreduziblen Polynome aus? Angegeben ist +/-p prim und alle $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ mit f(0)=+/-1

Wie kommt man denn darauf? verwirrt

11.05.2011, 00:21

tigerbine

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
Fragen stelle ich mir immer noch. Augenzwinkern

11.05.2011, 18:28

Reksilat

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
Hi tigerbine, Wink

Ich habe keine Ahnung, was $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ sein soll. Für mich wäre das einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ , da dieser Ring bereits $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ enthält.
verwirrt

Ein Beispiel für eine nicht eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente ist häufig $\begin{eqnarray*} \mathbb Z(\sqrt {-3})=\{a+b\sqrt {-3}|a,b\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ , denn dort ist:
$\begin{eqnarray*} 4=2\cdot 2=(1+\sqrt{-3})\cdot (1-\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

11.05.2011, 18:33

Leopold

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]

Zitat:

Original von Reksilat
Ich habe keine Ahnung, was $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ sein soll.

Ein Schreibfehler? Vielleicht auch eine Ring-Konstruktion aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ ? Dann würde das $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ aber im Widerspruch zum üblichen Gebrauch stehen. verwirrt

11.05.2011, 18:46

Reksilat

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
Es könnte so was wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+\mathbb Q_1[X]=\{\sum a_ix^i|a_i\in \mathbb Q,a_0\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ sein.
Also rationale Polynome, deren Absolutglied eine ganze Zahl ist.

Dann ist das Beispiel oben aber falsch aufgeschrieben und es müsste eher $\begin{eqnarray*} 2\cdot (\frac{1}{2}x)=3\cdot (\frac{1}{3}x) \end{eqnarray*}$ heißen.
Die irreduziblen Polynome passen auch dazu.

11.05.2011, 19:05

tigerbine

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
So, in anderer Quelle sieht der Ring so aus. Da ist noch ein x mit drin.

$\begin{eqnarray*} R:=\mathbb Z + x\mathbb Q[x] \subseteq \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$

Dort ist nun die Faktorisierung auch wie bei Reksilat angegeben.

$\begin{eqnarray*} x = 2(\frac{1}{2}x) = 3(\frac{1}{3}x) = ... \end{eqnarray*}$

Das Beispiel zielt darauf ab, dass es unendliche viele Schreibweisen von x gibt. Daher würde ich es gerne nachvollziehen. Hier sollen die irreduziblen Elemente von R von der Gestalt +/-p für eine Primzahl und f aus Q[x] mit f(0)=+/-1 sein. Wieso?

Es ist $\begin{eqnarray*} E(\mathbb Q[x])=\mathbb Q^* \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} E(\mathbb Z)=\mathbb P_{+,-} \end{eqnarray*}$ ?

11.05.2011, 19:53

Reksilat

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
Ja, mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt das Sinn. Genau das meinte ich oben.

Na nimm doch mal ein beliebiges Element aus dem Ring her:
$\begin{eqnarray*} f=\sum_{i=0}^n a_ix^i \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} a_i\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Ist n=0 so ist $\begin{eqnarray*} f\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und eben genau dann prim, wenn es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bereits prim ist. (Polynome von höherem Grad kommen ja als Teiler nicht in Frage.

Ist n>1 und $\begin{eqnarray*} a_0\not\in\{0,1,-1\} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f=a_0\cdot \left(\sum_{i=0}^n \frac{a_i}{a_0}x^i\right) \end{eqnarray*}$ eine nichttriviale Zerlegung.

Ist $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ so ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f=2\cdot \left(\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{2}x^i\right) \end{eqnarray*}$ eine nichttriviale Zerlegung.

Ist $\begin{eqnarray*} a_0\in\{1,-1\} \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann irreduzibel, wenn es als Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ schon irreduzibel ist. (Eine Zerlegung, die nicht in $\begin{eqnarray*} Q[x] \end{eqnarray*}$ existiert, aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z+xQ[x] \end{eqnarray*}$ , müsste einen Faktor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ enthalten, aber das geht in diesem Fall wegen des Absolutglieds nicht.)

So kommt man auf:

Zitat:

Hier sollen die irreduziblen Elemente von R von der Gestalt +/-p für eine Primzahl und f aus Q[x] irreduzibel! mit f(0)=+/-1 sein.

11.05.2011, 20:00

tigerbine

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RE: Beispiel nichteindeutige Primfaktorzerlgegung [PAF]
Danke. Mit Zunge

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