Isomorphismen von Restklassen

24.04.2011, 13:35

dreikommadrei

Isomorphismen von Restklassen

1)
a)
Stellen sie die Verknüpfungstafeln der folgenden Gruppen auf: $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z^{x}_{8},*) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ( \mathbb Z^{x}_{12},*) \end{eqnarray*}$

b)
Geben sie zwei verschiedene Isomorphismen an.

a)
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z^{x}_{8},*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} * & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 &1 & 3& 5 & 7 \\ 3 & 3 & 1 & 7 & 5 \\ 5 & 5 & 7 & 1 & 3 \\ 7 & 7 & 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z^{x}_{12},*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} * & 1 & 5 & 7 & 11 \\ 1 &1 & 5& 7 & 11 \\ 5 & 5 & 1 & 11 & 7 \\ 7 & 7 & 11 & 1 & 5 \\ 11 & 11 & 7 & 5 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

b)

1 auf 1
3 auf 5
5 auf 7
7 auf 11

und
1 auf 11
3 auf 7
5 auf 5
7 auf 1

24.04.2011, 18:30

juffo-wup

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Die Verknüpfungstabellen stimmen. Ein Homomorphismus bildet immer das neutrale Element der einen Gruppe auf das neutrale Element der anderen ab, daher kann deine 2. Abbildung in b) kein Isomorphismus sein. Wie würdest du denn bei der ersten Abbildung beweisen, dass es einer ist?

24.04.2011, 19:16

dreikommadrei

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Zitat:

Original von juffo-wupWie würdest du denn bei der ersten Abbildung beweisen, dass es einer ist?

Gute Frage... Einen Beweis dazu haben wir nicht gemacht (GHR Mathe).

Aber man könnte sowohl Die Elemente der Restklasse Modulo 8 sowie die der Modulo 12 auf Buchstaben abbilden

also die 1 jeweis auf A
die 3 und 5 auf B
die 5 und 7 auf c
...

Die Verknüpfungstafeln würden dann ja identisch aussehen...

"Ein Homomorphismus bildet immer das neutrale Element der einen Gruppe auf das neutrale Element der anderen ab"

das ist interessant und war mit vorher vollkommen unbekannt

aber dies
1 auf 1
5 auf 7
3 auf 5
7 auf 11

wäre ein isomorohismus oder?

24.04.2011, 19:36

Mulder

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Zitat:

Original von dreikommadrei
das ist interessant und war mit vorher vollkommen unbekannt

Dabei ist das doch eine unmittelbare Folgerung aus der Definition eines Gruppenhomomorphismus'. Schau mal hier, da steht es unter der Definition dabei, warum das so sein muss.

Und ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.

24.04.2011, 19:48

dreikommadrei

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Danke! Das hatten wir so tatsächlich nicht in der Vorlesung besprochen (Wir hatten nur den Isomorphismus kurz besprochen und gesagt das dies eine bijektive abbildung ist...)

mein zuletzt genanntes beispiel stimmt also?

denn da wird ja das NE auf das NE abgebildet und es ist eine bijektive abbildung

25.04.2011, 00:04

juffo-wup

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Dein letztes Beispiel stimmt, aber ich glaube du hast noch nicht verstanden warum. Augenzwinkern

Ein Isomorphismus ist nicht eine beliebige bijektive Abbildung, die das neutrale Element richtig abbildet, sondern muss auch kompatibel mit den Gruppenverknüpfungen sein, d.h. ein Homomorphismus sein. Das heißt genauer: Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:G_1\to G_2 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b) \end{eqnarray*}$ für alle Elemente a,b von $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ erfüllen.
Das müsstest du für einen Beweis also überprüfen.

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