Beweis kgV

24.04.2011, 15:12

Pustefix91

Beweis kgV

Hallo Leute,

sitze an der folgenden Aufgabe fest: Seien $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ohne Null. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} k \in kgV(a,b) \Leftarrow \Rightarrow (a)\cap (b) = (k) \end{eqnarray*}$
Nun habe folgendes versucht:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} k \in kgV(a,b) \end{eqnarray*}$ d.h es gilt:
1. $\begin{eqnarray*} a|k \wedge b|k \end{eqnarray*}$
2. ist $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a|c \wedge b|c \Rightarrow k|c \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} y \in (a) \cap (b) = \left\{z | z = ax = bx, x \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ d.h $\begin{eqnarray*} y = ax = bx \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} y \in (k) \end{eqnarray*}$ d.h y = k*x.

Bevor ich mich weiter daran versuche... Stimmen meine Überlegungen überhaupt? Bin mir da gerade sehr unsicher. Vorallem der Durchschnitt, also $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) \end{eqnarray*}$ verwirrt mich irgendwie. Wäre echt klasse, wenn jemand mal ein Blick drauf werfen könnte.

Schönen Gruß Pustefix91

24.04.2011, 16:59

dr.morrison

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Hi Pustefix,

zu deiner $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ -Richtung. Für $\begin{eqnarray*} y \in \left(a\right) \cap \left(b\right) \end{eqnarray*}$ musst du theoretisch erst mal zeigen, dass der Schnitt auf der rechten Seite nichtleer ist. Meines Erachtens ist der Schnitt, so wie du ihn definiert hast, falsch. Wenn $\begin{eqnarray*} y \in \left(a\right) \cap \left(b\right) \end{eqnarray*}$ , dann heißt das nur, dass $\begin{eqnarray*} \exists x,x'\in \mathbb{Z}\colon xa = x'b = y \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} x,x' \end{eqnarray*}$ müssen nicht gleich sein. Ansonsten ist der Ansatz mit $\begin{eqnarray*} zz.: y \in \left(a\right) \cap \left(b\right) \Rightarrow y \in \left(k\right) \end{eqnarray*}$ gut, hierzu kannst Du die 2. Eigenschaft des kgVs, die du genannt hast, verwenden. Es ist aber dann noch für $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} k \in \left(a\right) \cap \left(b\right) \end{eqnarray*}$ , damit du rechts das Gleichheitszeichen zeigst.

mfG, dr.morrison

24.04.2011, 22:06

Roman Oira-Oira

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RE: Beweis kgV

Zitat:

Original von Pustefix91
$\begin{eqnarray*} k \in kgV(a,b) \Leftarrow \Rightarrow (a)\cap (b) = (k) \end{eqnarray*}$

Darf ich mal fragen, wie die Mengenschreibweise hier überhaupt zu verstehen ist?

$\begin{eqnarray*} kgV(a,b) \end{eqnarray*}$ ist nach meinem Verständnis eine Zahl $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und nicht eine Menge. Was soll dann die Schreibweise $\begin{eqnarray*} k \in kgV(a,b) \end{eqnarray*}$ ?

Ebenso sind $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zwei ganze Zahlen und keine Mengen. Was soll dann hier die Schnittmengenbildung? Bzw. was sollen überhaupt die Formulierungen $\begin{eqnarray*} (a) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (b) \end{eqnarray*}$ bedeuten?

Vielleicht habe ich ja etwas komplett falsch verstanden. Aber so verstehe ich Deine gesamte Fragestellung nicht!

24.04.2011, 23:06

dr.morrison

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@ roman: In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist das kgV genau eine Zahl, also eindeutig. Allgemein definiert man aber für beliebige Ringe R das kgV zweier Ringelemente als Menge, da das kgV nicht (!) eindeutig sein muss. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist das allerdings unnötig, da hast du recht, man könnte kgv(a,b)=k schreiben.
$\begin{eqnarray*} \left(a\right),a\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bedeutet das von a erzeugte Hauptideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Hat also alles so seine Richtigkeit.

mfG, dr.morrison

24.04.2011, 23:11

Roman Oira-Oira

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thanks!

25.04.2011, 00:05

tigerbine

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@Pustefix: pns anschauen.

25.04.2011, 00:14

Pustefix91

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Vielen lieben Dank für die Hilfe. Habe es nun auf ein neues probiert. Also:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} k \in kgV(a,b) \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) = (k) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ : Wähle $\begin{eqnarray*} y \in (a)\cap (b) \Rightarrow \exists x, x' \in \mathbb Z: ax = bx' = y \end{eqnarray*}$ . Also gilt: $\begin{eqnarray*} a | y \wedge b | y \Rightarrow k | y \end{eqnarray*}$ d.h es existiert ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = k*c \Rightarrow y \in (k) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$ : Wähle $\begin{eqnarray*} y \in (k) \Rightarrow \exists c \in \mathbb Z: y = k*c \Rightarrow k = y*c^{-1} \end{eqnarray*}$ . (*)
Es gilt: $\begin{eqnarray*} a | k \wedge b | k \end{eqnarray*}$ d.h es existieren $\begin{eqnarray*} x,x' \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k = ax \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = bx' \end{eqnarray*}$ . Einsetzen von (*) liefert:
$\begin{eqnarray*} y = a(xc) = b(x'c) \end{eqnarray*}$ d.h $\begin{eqnarray*} k \in (a) \cap (b) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ : Es gelte $\begin{eqnarray*} (a) \cap (b) = (k) \end{eqnarray*}$ d.h es existieren $\begin{eqnarray*} x,x' \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} yc = ax \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} yc =bx' \Rightarrow y = a(xc^{-1}) \wedge y =b(x'c^{-1}) \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} a | k \wedge b | k \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a | c \wedge b | c \end{eqnarray*}$ d.h $\begin{eqnarray*} ax = bx' = c \Rightarrow \exists p \in \mathbb Z: c = kp \Rightarrow k | c \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt? Falls nein, was ist falsch?

Schönen Gruß Pustefix91

Edit: Danke tigerbine. Habe dein Post gerade erst gelesen.

25.04.2011, 00:43

dr.morrison

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Wiedermal hallo,

nachdem ich einen Blick darauf geworfen habe sind mir ein paar Sachen aufgefallen:

Zu $\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$ : Die (richtige!) Annahme $\begin{eqnarray*} \exists c \end{eqnarray*}$ impliziert nicht, wie weiter hinten verwendet $\begin{eqnarray*} \exists c^{-1} \end{eqnarray*}$ . Damit ist dieser Teil des Beweis für die entsprechende Inklusionsrichtung falsch. Überlege Dir, wie du das Inverse von c vermeiden kannst.

In der Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ist mir nicht so ganz klar, was das c leisten soll, da du es verwendest, bevor das berühmtberüchtigte "Sei..." kommt.

mfG, dr.morrison

25.04.2011, 08:41

Pustefix91

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Zitat:

Original von dr.morrison
Wiedermal hallo,

nachdem ich einen Blick darauf geworfen habe sind mir ein paar Sachen aufgefallen:

Zu $\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$ : Die (richtige!) Annahme $\begin{eqnarray*} \exists c \end{eqnarray*}$ impliziert nicht, wie weiter hinten verwendet $\begin{eqnarray*} \exists c^{-1} \end{eqnarray*}$ . Damit ist dieser Teil des Beweis für die entsprechende Inklusionsrichtung falsch. Überlege Dir, wie du das Inverse von c vermeiden kannst.

Man kann in $\begin{eqnarray*} y = k*c \end{eqnarray*}$ für k jeweils $\begin{eqnarray*} ax \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} bx' \end{eqnarray*}$ einsetzen. Das mit dem inversen von c war Blödsinn. Bei den ganzen Zahlen handelt es sich um keinen Körper. Danke.

Zitat:

In der Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ist mir nicht so ganz klar, was das c leisten soll, da du es verwendest, bevor das berühmtberüchtigte "Sei..." kommt.

mfG, dr.morrison

Ja, das macht auch nicht wirklich Sinn. Wie siehts hiermit aus: Es gilt $\begin{eqnarray*} k \in (k) \Rightarrow k = ax = bx' \Rightarrow a | k \wedge b | k \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für deine Hilfe.

Schönen Gruß Pustefix91

25.04.2011, 08:52

dr.morrison

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Guten Morgen,

Zitat:

Ja, das macht auch nicht wirklich Sinn. Wie siehts hiermit aus: Es gilt $\begin{eqnarray*} k \in (k) \Rightarrow k = ax = bx' \Rightarrow a | k \wedge b | k \end{eqnarray*}$ ?

Ich denke, du meintest $\begin{eqnarray*} k \in \left(a\right) \cap \left(b\right) \end{eqnarray*}$ . Dann stimmt es auch so weit. Jetzt nur noch zeigen, dass k das kleinste der gemeinsamen Vielfachen ist.

lg, dr.morrison

25.04.2011, 09:01

Pustefix91

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Ich dachte, dass hätte ich nun gezeigt. Wir hatten den kgV so definiert, dass man nur die Eigenschaft 1. und 2. aus meinem ersten Beitrag nachweisen muss. Das habe ich doch nun getan dachte ich. verwirrt

25.04.2011, 09:39

dr.morrison

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Ist eigentlich bloß eine formale Sache: Wenn Du sagst, $\begin{eqnarray*} k \in \left(k\right) \end{eqnarray*}$ , so bringt dir das ja noch nicht viel, weil a und b nicht mitreinspielen. Aber da nach Voraussetzung ja $\begin{eqnarray*} \left(k\right)=\left(a\right) \cap \left(b\right) \end{eqnarray*}$ hast du eigentlich recht - wie gesagt, eine Formsache.

lg, dr.morrison

25.04.2011, 09:58

Pustefix91

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Ok. Wäre denn der Beweis damit vollständig?

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