Übungsaufgabe Abelsche Gruppe

Neue Frage »

Roonex Auf diesen Beitrag antworten »
Übungsaufgabe Abelsche Gruppe
Meine Frage:
Hallo!
Hab grad mein Mathe-Studium begonnen und hocke vor einer kniffligen (oder doch einfachen??) Aufgabe:

Es sei (G;*) eine Gruppe mit neutralem Element e. Es gelte
x*x = e für alle x aus G
Zeigen Sie, dass G abelsch (kommutativ) ist.

Meine Ideen:
Und diese Denkschritte hab ich bis jetzt gemacht:

Wenn e ein neutrales Element ist, dann ist x*e = x
Laut Voraussetzung ist x*x = e

Wenn ich also das e oben einsetze, krieg ich raus:

x*x*x = x

Für x kann ich wieder x*e einsetzen, also:

x*x*x*e = x

Für e wieder x*x einsetzen:

x*x*x*x*x = x

Ok, d.h. das für eine ungerade Anzahl von x-en immer x rauskommt.

Wenn ich mal eine gerade Anzahl x-en nehme:

x*x*x*x = x*x*e = x*x = e

D.h. für eine gerade Anzahl x-en kommt e raus.

Und hier stecke ich fest: was kann ich noch daraus folgern? Was passiert wenn ich ein anderes Element aus G nehme, ich nenne es mal y, also:
x*y = ?

Das müsste ich wissen um dann die Kommutativität zu zeigen, vermute ich mal.
Hoffentlich macht sich jemand die Mühe zum Antworten! ^^
Wahrscheinlich ist die Lösung wohl 'trivial' ;-D
Vielen Dank auch schon im Voraus!

( * ist eine unbekannte Verknüpfung)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übungsaufgabe Abelsche Gruppe
Vielleicht hilft das, denk interne Link geht leider nicht mehr...
1.1 A 7 [Bosch]
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort! ^_^

Dort steht aber doch schon fest dass die Verknüpfung die Multiplikation ist und das neutrale Element damit 1.

Hier ist es doch irgendwie allgemeiner? Ausserdem steht ja nicht aus wievielen Elementen die Gruppe besteht :-(
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig ist doch, das jedes Element zu sich selbst invers ist. und ob du nun 1 oder e schreibst, mit der Gruppe besitzen wir auch ein eindeutiges neutrales Element...
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Für x,y aus G gilt:

x*x = e
y*y = e

x*y = y*x

Das letzte muss ich ja zeigen, aber ich weiß nicht wie ich das anstellen soll ._.

verwirrt Brauche wohl eine Erleuchtung...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch auch x*y in G. Was gilt dann für (x*y)(x*y)?
 
 
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Soll das zwischen den Klammern bei (x*y)(x*y) ein 'mal' sein? Also Multiplikation? Oder wieder die Verknüpfung also (x*y)*(x*y) ?

Bei Multiplikation bin ich mir nicht so sicher wie sich das mit der Verknüpfung kombinieren lassen sollte, weil diese ja unbekannt ist...

Und öhm...

(x*y)*(x*y) = x*y*x*y <-- sollte ja gehen laut Assoziativgesetz?

Wenn ich da jetzt umstellen darf, würde ich ja schreiben
x*x*y*y = e*e = e

Aber gerade das Kommutativgesetz muss man da ja beweisen ._.

Sry falls ich irgendwie zu doof bin, studiere auch erst seit einer Woche und das ist brandneuer Stoff für mich :-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hier gilt:

(x*y)*(x*y) =e

weil jedes Element zu sich selbst invers ist. Es gilt aber auch das Assozivativgesetz

x*(y*x)*y =e

Jedes Element war zu sich selbst invers. Und ich kann die Gleichung ja mal von Links mit x multiplizieren.

x*x*(y*x)*y =x*e

(y*x)*y = x

Kommst du weiter?

WebFritzis Weg war der Trick, ein e einzufügen.

x*y = x*(x*y)(x*y)*y = (x*x)*y*x*(y*y) = y*x
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

x*y = x*(x*y)*(x*y)*y = (x*x)*y*x*(y*y) = y*x

Ah, das finde ich jetzt einleuchtend Big Laugh

Vielen Dank, so schreib ich das auf...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »