Automorphismengruppe bestimmen

25.04.2011, 09:26

Jaycob

Automorphismengruppe bestimmen

Ich habe in der Algebra 1 eine Aufgabe, bei welcher mir einfach der passende Ansatz fehlt. Ist mein erster Beitrag und ich habe leider keine Ahnung, wie ich die Menge "K4" vernünftig formatiert aufschreibe. Es soll sich um 4 Elemente handeln, die jeweils eine Permutation darstellen.

Aufgabe: Es sei K4 die aus folgenden Permutationen bestehende Gruppe
K4 = {
1234
1234

1234
3412

1234
2143

1234
4321
}

Bestimmen Sie die Automorphismengruppe G von K4:
(Hinweis: Konstruieren Sie h, g aus G mit h² = g³ = id; fassen Sie f aus G als Permutation der Menge K4 auf, um |G| zu ermitteln, welches Element bleibt immer fest?)

-----------------------------------------------------------------

Also suche ich ja die Gruppe G=Aut(K4)={f: K4 -> K4 | f bijektiver homomorphismus}

Den Hinweis verstehe ich so, das h,g und id auf jedenfall in meiner Gruppe Aut(K4) sind, |<h>|=2 und |<g>|=3, also nach lagrange, meine Gruppe mindestens die Ordnung 6 haben muss. Ob es nicht auch z.B. 12 sein könnte, weiß ich noch nicht wie ich das zeigen kann.

Und dann fehlt mir im Moment auch noch die passende Idee, wie ich nun tatsächlich an Elemente aus Aut(K4) komme?

Ist der zweite Übungszettel in Algebra und ich fühle mich auf dem ganzen Gebiet noch ziemlich unsicher. Wenn mir jemand den Ansatz verraten könnte. Wie ich Elemente konstruiere und überprüfe, wäre das sehr nett. Das Element das immer festbleibt wird id sein, oder?

25.04.2011, 13:42

Math1986

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RE: Automorphismengruppe bestimmen
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Wie kann man Formeln schreiben?
Formeleditor

$\begin{eqnarray*} K_4 = \left\{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G=Aut(K_4)=\left\{f\colon K_4 \to K_4 \mid \text{f bijektiver Homomorphismus}\right\} \end{eqnarray*}$

Ein solcher Isomorphismus ist bspw schon gegeben durch $\begin{eqnarray*} id\colon K_4\to K_4 \end{eqnarray*}$ .
Konstruiere erstmal selbst beispielshaft Elemente von G.
Finde dann ein $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g^2=id \end{eqnarray*}$ , und ein $\begin{eqnarray*} h\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h^3=id \end{eqnarray*}$

Es ist auch sehr hilfreich, sich dabei die Gruppentafel vo n $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ nochmal aufzuzeichnen

Nachtrag: Zur Ordnung der Automorphismengruppe kannst du dir erstmal überlegen, wie viele verschiedene Abbildungen einer 4-elementigen Menge in sich selbst es überhaupt geben kann..
Wenn du dann noch die Isomorphie berücksichtigst kannst du die Ordnung der Automorphismengruppe weiter eingrenzen.

25.04.2011, 17:59

Jaycob

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Also Grundsätzlich habe ich bei 4 Elementen 4! = 24 Möglichkeiten. Da es sich allerdings um homomorphismen handelt, muss das neutrale Element auf sich selbst abgebildet werden, also nur noch 3! = 6 Möglichkeiten?

Ich habe mir nun einfach einmal folgendes definiert:

$\begin{eqnarray*} e := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} id\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ wäre dann das erste Element aus G?

$\begin{eqnarray*} h\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&b&a&c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&b&c&a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&c&a&b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&a&c&b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&c&b&a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann gilt doch auch:
für g: $\begin{eqnarray*} g^2=id \end{eqnarray*}$ und für h: $\begin{eqnarray*} h^3=id \end{eqnarray*}$ ?

Darf man das Formal so als Permutationen aufschreiben?
Dann wäre $\begin{eqnarray*} G=Aut(K_4)=\left\{id,h,g,j,k,m\right\} \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2011, 20:38

Math1986

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Zitat:

Original von Jaycob
Also Grundsätzlich habe ich bei 4 Elementen 4! = 24 Möglichkeiten.

Bei bijektiven Abbildungen stimmt das.

Zitat:

Original von JaycobDa es sich allerdings um homomorphismen handelt, muss das neutrale Element auf sich selbst abgebildet werden, also nur noch 3! = 6 Möglichkeiten?

Richtig (das lässt sich so auch auf andere endliche Gruppen übertragen)

Zitat:

Original von Jaycob
Ich habe mir nun einfach einmal folgendes definiert:

$\begin{eqnarray*} e := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c := \begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} id\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ wäre dann das erste Element aus G?

$\begin{eqnarray*} h\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&b&a&c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&b&c&a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&c&a&b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&a&c&b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&c&b&a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann gilt doch auch:
für g: $\begin{eqnarray*} g^2=id \end{eqnarray*}$ und für h: $\begin{eqnarray*} h^3=id \end{eqnarray*}$ ?

Darf man das Formal so als Permutationen aufschreiben?
Dann wäre $\begin{eqnarray*} G=Aut(K_4)=\left\{id,h,g,j,k,m\right\} \end{eqnarray*}$ ?

Die Schreibweise stimmt so, es ist aber $\begin{eqnarray*} g^3=h^2=id \end{eqnarray*}$
(die Isomorphie habe ich aber nicht für jede Abbildung überprüft, eine Gruppentafel wäre da, wie gesagt, hilfreich)

Zu welcher anderen Gruppe ist diese Automorphismengruppe nun isomorph?

26.04.2011, 11:51

Jaycob

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Ich habe die Isomorphie nur für g und h geprüft. Dort hatte ich mich nur vertippt. g und h erfüllen die Bedingung.

$\begin{eqnarray*} g^3=h^2=id \end{eqnarray*}$

Also es ist ja:
$\begin{eqnarray*} g\colon K_4\to K_4: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&b&c&a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} g^2:= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&c&a&b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und außerdem:
$\begin{eqnarray*} g^3:= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&a&b&c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Genauso ist:

$\begin{eqnarray*} h^2:= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e&a&b&c\\e&a&b&c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da aber g die Ordnung 3 hat und h die Ordnung 2, muss G nach lagrange ja bereits 6 Elemente haben. Und da es nur 6 Möglichkeiten für bijektive Abbildungen, bei denen das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet wird gibt, müssen diese doch bereits zwangsläufig alle isomorph sein?

Die Gruppentafel habe ich mir auf Papier einmal aufgemalt, habe mich aber noch nicht so weit mit latex beschäftigt, als das ich nun wüsste, wie ich eine Gruppentafel hier reinstelle.

Vielen dank für deine Hilfe! Denke ich habe es nun.

26.04.2011, 11:56

Math1986

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Soweit ist deine Lösung richtig.

Sofern du diese Aufgabe noch etwas vertiefen möchtest kannst du dich mit der Gruppentafel der Automorphismengruppe befassen und dir überlegen, zu welcher anderen Gruppe mit 6 Elementen diese isomorph ist

26.04.2011, 12:32

Mystic

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Zitat:

Original von Math1986
Soweit ist deine Lösung richtig.

Sofern du diese Aufgabe noch etwas vertiefen möchtest [...]

Eine weitere Möglichkeit der "Vertiefung" besteht darin, dass man die Elemente der Gruppe in naheliegender Weise mit den Elementen des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V:=\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ identifiziert, womit dann nur mehr die einfache Aufgabe zu lösen ist, diejenigen linearen Abbildungen von V in V zu bestimmen, welche bijektiv sind... Da jede solche lineare Abbildung nach Wahl einer festen Basis durch eine Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix}, \quad (a,b,c,d \in \mathbb Z_2) \end{eqnarray*}$

repräsentiert werden kann, muss man also letztlich nur die Matrizen obiger Bauart bestimmen, deren Determinante $\begin{eqnarray*} \ne 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ ist und diese bilden dann mit der Matrizenmultiplikation die Automorphismengruppe...

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