idempotentes Element

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Cinderella88 Auf diesen Beitrag antworten »
idempotentes Element
Hallo an Alle,
ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe!

Aufgabe:

Sei ein Ring und ein idempotentes Element, d.h. es gelte . Zeigen Sie, dass der isomorph zu dem .

Ich weis zwar was mit dieser Aufgabe gemeint ist, nur wie zeigt man denn so etwas? Für einen kleinen Ansatz wäre ich euch dankbar.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Dass sollte klar sein. Du musst noch zeigen, dass diese Summe direkt ist. Was kannst Du hierzu benutzen?
Cinderella88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dieser Schritt klingt einleuchtend, aber würde das dann schon völlig ausreichen um es zu beweisen? Das mit der direkten Summe ist mir eher aus Untervektorräumen bekannt, besagt ja so viel wie der Schnitt beider Mengen besteht nur aus dem Null-Element.
Aber wieso muss ich denn überhaupt zeigen, dass die Summe direkt ist?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bei Vektorräumen ist auch bei Moduln das endliche direkte Produkt isomorph zur direkten Summe. Wenn du also hast, dann auch .

Wenn Du gezeigt hast, bist Du also fertig.
Cinderella88 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank mal für deine tollen Antworten bis hierhin. Ich verstehe das nun soweit nur ist mir nicht klar wie man den Schnitt 2er Module bzw das hier gerade nur die 0 als Schnitt in Frage kommt zeigen kann. Denn wie gesagt ist mir die direkte Summe in der Modulrechnung noch nicht begegnet.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte doch mal ein Element .

Edit: Hier noch ein Link zum Thema (innere) direkte Summe von Moduln. Wie bei Vektorräumen sind direkte Summe und direktes Produkt für endlich viele Moduln isomorph.
 
 
Cinderella88 Auf diesen Beitrag antworten »

dies besagt ja nur, dass x in beiden Mengen enthalten sein muss, aber woher weiss man denn, dass nur die 0 in Frage kommt und nicht irgendwas anderes?
ich steh da total aufm schlauch, da ich nicht weiss wie man so etwas zeigt unglücklich
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Verfolge doch mal meinen Ansatz. Auf welche Arten kann man so ein Element schreiben?
Cinderella88 Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn doch R mein R-Modul ist, kann ich doch einfach sagen (wenn e mein idempotentes element ist) dass und Untermoduln vor R sind, oder? wobei natürlich hier auch wieder gilt,
dann gilt doch für ein :



und für ein gibt es dann z.b. ein mit und weiter dann .....so un daraus folgt doch dann dass also sein muss
darf ich das so sagen oder ist das falsch bzw. geht es auch einfacher?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst Du mit der Schreibweise andeuten? Soll das die Wirkung von auf sich durch Multiplikation mit sein?

Wenn ich das so interpretiere, dann stimmt Deine Begründung für . Wesentlich einfacher würde ich das auch nicht aufschreiben. Du solltest bei der Niederschrift für eine Übungsaufgabe allerdings jede Identität mit Hinweis auf die jeweils genutzte Eigenschaft begründen.

Warum Du gerade einleitend als direkte Summe der beiden Untermoduln geschrieben hast, ist mir unklar. Erstens wollen wir das doch gerade zeigen und können es noch nicht zeigen, und zweitens hast Du in dem Argument danach auch nur eine "herkömmliche", nicht direkte Summenzerlegung benutzt. Augenzwinkern
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