Orthogonales Komplement

25.04.2011, 16:32

LoBi

Orthogonales Komplement

Sei $\begin{eqnarray*} A \in (m \times n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ linear
i) $\begin{eqnarray*} ker A = (im A^T)^\perp \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} im A = (ker A^T)^\perp \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie die Aussage bzgl. des kanonischen Skalarproduktes!

Ich hab bei den obigen Aufgaben so meine Probleme.
Ich fang mal mit i) an
Sei $\begin{eqnarray*} x \in ker A \Rightarrow Ax=0 \end{eqnarray*}$
Was ich weiss ist: x ist orthogonal zu den Zeilenvektoren von A,
also ist x orthogonal zu den Spaltenvektoren von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ .
Die Spaltenvektoren von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ bilden ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} im A^T \end{eqnarray*}$ D.h für $\begin{eqnarray*} x \in ker A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in im A^T \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} <x,y>=0 \end{eqnarray*}$
Es gilt aber auch für $\begin{eqnarray*} z \in (im A^T)^\perp \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <z,y>=0 \end{eqnarray*}$
Folgt daraus schon das $\begin{eqnarray*} ker A = (im A^T)^\perp \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

25.04.2011, 17:37

Reksilat

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RE: Orthogonales Komplement
Hi LoBi,

Du solltest Deine Variablen immer nur mit Quantoren wie "es gibt" und "für alle" verwenden.

Zitat:

Original von LoBi
...D.h für $\begin{eqnarray*} x \in ker A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in im A^T \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} <x,y>=0 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \in ker A \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} y \in im A^T \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} <x,y>=0 \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Mengen sind also orthogonal, aber daraus folgt noch nicht, dass das eine auch das orthogonale Komplement zum anderen ist. (Zum Beispiel ist ja auch der Nullraum orthogonal zu jeder beliebigen anderen Menge.)
Es folgt lediglich:
$\begin{eqnarray*} ker A \subseteq (im A^T)^\perp \end{eqnarray*}$

Die andere Richtung ist aber auch nicht schwer. Für einen Vektor $\begin{eqnarray*} x\not\in {\rm Ker}(A) \end{eqnarray*}$ wirst Du auf jeden Fall einen Zeilenvektor $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ finden, mit $\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Damit kann das keine echte Inklusion mehr sein.

Tipp zu (ii): mit einem geeigneten Zitat kann man (i) verwenden. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.i

25.04.2011, 18:16

LoBi

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Bin ja schonmal froh das die eine Richtung passt smile

Die Rückrichtung versuche ich dann mal so:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in (im A^T)^\perp , y \in im A^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x \in (im A^T)^\perp \forall y \in im A^T: <x,y>=0 \end{eqnarray*}$
Angenommen: $\begin{eqnarray*} x \not\in ker A \Rightarrow <x,y> \not= 0 \end{eqnarray*}$ (Widerspruch)
Also ist $\begin{eqnarray*} x \in ker A \end{eqnarray*}$

Über deinen Tipp muss ich mur noch Gedanken machen.
Gruß

25.04.2011, 19:36

Reksilat

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Deine Argumentation stimmt nicht. Du nimmst irgendein $\begin{eqnarray*} y\in im A^T \end{eqnarray*}$ her. Warum sollte nun $\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten? Es gibt im allgemeinen auch $\begin{eqnarray*} y\in im A^T \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle= 0 \end{eqnarray*}$ .

Andersherum wird ein Schuh daraus:
Sei $\begin{eqnarray*} x\not\in ker\ A \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} Ax\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es eine Zeile $\begin{eqnarray*} y^T \end{eqnarray*}$ aus der Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y^Tx=\langle x,y\rangle\neq 0 \end{eqnarray*}$

26.04.2011, 11:24

LoBi

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Ach Gott mir ist die ganze Zeit gar nicht aufgefallen das für $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ die Komponenten von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eben das Skalarprodukt von den jeweiligen Zeilenvektoren sind.
Dann ist natürlich auch völlig klar das die Elemente aus dem Kern von A orthogonal zu den Zeilenvektoren von A sind.
Danke

Die ii) würde ich dann jetzt so angehen:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in (ker A^T)^\perp \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x \in (ker A^T)^\perp \forall y \in ker A^T: <x,y>=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall z \in im A\forall x \in ker A^T: <x,z>=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (ker A^T)^\perp \subseteq im A \end{eqnarray*}$

Die andere Richtung dann analog zu i) $\begin{eqnarray*} (im A^T)^\perp \subseteq ker A \end{eqnarray*}$
Kommt mir immer noch wackelig vor.

Gruß

26.04.2011, 15:00

Reksilat

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Zitat:

Original von LoBi
$\begin{eqnarray*} \forall x \in (ker A^T)^\perp \forall y \in ker A^T: <x,y>=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall z \in im A\forall x \in ker A^T: <x,z>=0 \end{eqnarray*}$

Den Schritt verstehe ich nicht. Dazu benötigst Du meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} im A \subseteq (ker A^T)^\perp \end{eqnarray*}$ .
verwirrt

Auch der nächste Schritt zeigt imho eher die andere Inklusion.

Überhaupt finde ich diese abgekürzte Schreibweise mit den Quantorensymbolen $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ sehr abschreckend. Ich habe echt überlegt, ob ich oben das Wort Quantor überhaupt verwenden soll, da es häufig mit den Symbolen gleichgesetzt wird und das zu Mißverständnissen führen kann.
Ich bin ein strikter Gegner dieser Symbole, da sie zu einer übertriebenen Formalisierung führen. Ein Beweis in klaren Sätzen ist in jedem Fall besser und trägt mehr zum Verständnis bei.

Mit meinem Tipp meinte ich, dass ein Resultat wiedas folgende hilfreich sein könnte:
$\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp=U \end{eqnarray*}$ für alle Unterräume $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$

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