Orthogonales Komplement |
25.04.2011, 16:32 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Orthogonales Komplement i) ii) Zeigen Sie die Aussage bzgl. des kanonischen Skalarproduktes! Ich hab bei den obigen Aufgaben so meine Probleme. Ich fang mal mit i) an Sei Was ich weiss ist: x ist orthogonal zu den Zeilenvektoren von A, also ist x orthogonal zu den Spaltenvektoren von . Die Spaltenvektoren von bilden ein Erzeugendensystem von D.h für und gilt Es gilt aber auch für Folgt daraus schon das ? Gruß |
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25.04.2011, 17:37 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Orthogonales Komplement Hi LoBi, Du solltest Deine Variablen immer nur mit Quantoren wie "es gibt" und "für alle" verwenden.
für alle und für alle gilt . Die beiden Mengen sind also orthogonal, aber daraus folgt noch nicht, dass das eine auch das orthogonale Komplement zum anderen ist. (Zum Beispiel ist ja auch der Nullraum orthogonal zu jeder beliebigen anderen Menge.) Es folgt lediglich: Die andere Richtung ist aber auch nicht schwer. Für einen Vektor wirst Du auf jeden Fall einen Zeilenvektor von finden, mit . Damit kann das keine echte Inklusion mehr sein. Tipp zu (ii): mit einem geeigneten Zitat kann man (i) verwenden. Gruß, Reksilat.i |
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25.04.2011, 18:16 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bin ja schonmal froh das die eine Richtung passt Die Rückrichtung versuche ich dann mal so: Sei Angenommen: (Widerspruch) Also ist Über deinen Tipp muss ich mur noch Gedanken machen. Gruß |
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25.04.2011, 19:36 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Argumentation stimmt nicht. Du nimmst irgendein her. Warum sollte nun gelten? Es gibt im allgemeinen auch mit . Andersherum wird ein Schuh daraus: Sei , also . Dann gibt es eine Zeile aus der Matrixdarstellung von mit |
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26.04.2011, 11:24 | LoBi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach Gott mir ist die ganze Zeit gar nicht aufgefallen das für die Komponenten von eben das Skalarprodukt von den jeweiligen Zeilenvektoren sind. Dann ist natürlich auch völlig klar das die Elemente aus dem Kern von A orthogonal zu den Zeilenvektoren von A sind. Danke Die ii) würde ich dann jetzt so angehen: Sei Die andere Richtung dann analog zu i) Kommt mir immer noch wackelig vor. Gruß |
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26.04.2011, 15:00 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Schritt verstehe ich nicht. Dazu benötigst Du meiner Meinung nach . Auch der nächste Schritt zeigt imho eher die andere Inklusion. Überhaupt finde ich diese abgekürzte Schreibweise mit den Quantorensymbolen und sehr abschreckend. Ich habe echt überlegt, ob ich oben das Wort Quantor überhaupt verwenden soll, da es häufig mit den Symbolen gleichgesetzt wird und das zu Mißverständnissen führen kann. Ich bin ein strikter Gegner dieser Symbole, da sie zu einer übertriebenen Formalisierung führen. Ein Beweis in klaren Sätzen ist in jedem Fall besser und trägt mehr zum Verständnis bei. Mit meinem Tipp meinte ich, dass ein Resultat wiedas folgende hilfreich sein könnte: für alle Unterräume |
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