Kleinster Zwischenkörper K(a)

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25.04.2011, 18:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinster Zwischenkörper K(a) Hallo, ich verstehe folgende Notation nicht. Sei L\|K eine Körpererweiterung und a aus L. Formal ist K(a) der kleinste Teilkörper von L, der K und a umfasst. Der soll nun wie folgt aussehen. $\begin{eqnarray} K(a)=\{\frac{p(a)}{q(a)}~\|~p,q \in K[x], q(x)\neq 0\} \end{eqnarray}$ Darin verstehe ich die Forderung $\begin{eqnarray} q(x)\neq0 \end{eqnarray}$ nicht. So wäre das ja das Nullpolynom. Aber a könnte doch [oder ist doch gerade] Nullstelle eines Polynom aus K[x]. Also steht da nicht $\begin{eqnarray} q(a)\neq 0 \end{eqnarray}$ ?
25.04.2011, 18:30	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Für diese Darstellung von K(a) benötigt man, dass a nicht algebraisch (=transzendent) über K ist, ansonsten hat man genau das Problem, welches du beschrieben ist... Entweder hast du also die Voraussetzung überlesen, oder sie wurde tatsächlich vergessen, so wie es da steht ist es jedenfalls klar falsch...
25.04.2011, 18:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Mmh... was habe ich überlesen.... [attach]19246[/attach]
25.04.2011, 19:03	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Ja, so wie ist da steht ist es einfach nur Unsinn... Man muss einfach für K(a) diese zwei Fälle unterscheiden: 1. Ist $\begin{eqnarray} a \in L \end{eqnarray}$ algebraisch über K, dann gilt K(A)=K[a], d.h., die Körpererweiterung von K mit a fällt mit der Ringerweiterung von K mit a zusammen... Genauer: Ist a algebraisch vom Grad n über K, so enthält K[a] genau alle polynomialen Ausdrücke in a vom Grad < n und diese sind alle verschieden... 2. Ist $\begin{eqnarray} a \in L \end{eqnarray}$ transzendent über K, dann gilt die Darstellung für K(a) wie oben angegeben, m.a.W. K(a) ist dann einfach der Quotientenring des Polynomrings über K... Ist das übrigens ein Skript oder ein Lehrbuch, aus dem das ist?
25.04.2011, 19:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Danke für die Definition. Check mal deine pns.
26.04.2011, 01:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Könnte es sein, dass gemeint war: $\begin{eqnarray} K(a)=\{\frac{p(a)}{q(a)}~\|~p,q \in K[x], q(a)\neq 0\} \end{eqnarray}$ () Irgendwie muss man ja versuchen, die Körperstruktur auszudrücken... Die Inklusion $\begin{eqnarray} K(a) \subseteq K[a] \end{eqnarray}$ bekommt man durch $\begin{eqnarray} a \in K[a] \end{eqnarray}$ und die minimale Eigenschaft von $\begin{eqnarray} K(a) \end{eqnarray}$ geschenkt, wenn man gezeigt hat, dass $\begin{eqnarray} K[a] \end{eqnarray}$ ein Körper ist. (Mit Homomorphiesatz + Kriterien nach was faktorisiert wurde klappt das) Aber wie geht die Umkehrung ohne () Edit: S.37, Satz 13.6
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26.04.2011, 01:27	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Ja, daran habe ich auch schon gedacht... Zumindestens ist es so dann formal richtig, wenngleich im Falle, dass a algebraisch über K ist, diese Darstellung eigentlich ziemlich unbrauchbar, wenngleich dann nicht mehr falsch ist...
26.04.2011, 01:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Wenn wir sie nicht nehmen [hatte sie nur via google in anderem Text gefunden und wir denken proprof. ], wie erkläre ich mir dann $\begin{eqnarray} K[a]\subseteq K(a) \end{eqnarray}$ von K(a) weiß ich nur, dass er der kleinste Körper ist, der K und a enthält...
26.04.2011, 01:39	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) $\begin{eqnarray} K[a]\subseteq K(a) \end{eqnarray}$ ergibt sich daraus, dass jeder Körper, welcher K und a enthält, dann auch automatisch (wegen Abgeschlossenheit der Operationen!) K[a] enthalten muss...
26.04.2011, 01:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinster Zwischenkörper K(a) Ah, stimmt.

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