Vektorrechnung - Skalarprodukt

Neue Frage »

25.04.2011, 21:30	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung - Skalarprodukt Hallo, ich habe eine Frage bezüglich des Skalarproduktes und der Berechnung des eingeschlossenen Winkels $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ von zwei Vektoren: Es gilt ja $\begin{eqnarray} s_{\vec{a},\vec{b}}= \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray}$ zur Berechnung des Skalarproduktes. Dies gibt eine Zahl aus. Aber warum ist das gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem von ihnen eingeschlossene Winkel? Man schreibt dann: $\begin{eqnarray} s_{\vec{a},\vec{b}}= \sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2} \cdot \sqrt{(b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2} \cdot \cos \varphi \end{eqnarray}$ Dann kann man den eingeschlossenen Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ berechnen. Die große Frage ist nun: Warum gilt: $\begin{eqnarray} a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 =\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2} \cdot \sqrt{(b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2} \cdot \cos \varphi \end{eqnarray}$ ??? Vielen Dank, Pascal
26.04.2011, 01:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ergibt sich leicht mittels der Anwendung des Cos-Satzes auf das Vektor-Dreieck $\begin{eqnarray} \vec a, \ \vec b \ \text{und} \ \vec a - \vec b \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (\vec a - \vec b)^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2 \vec a \vec b \cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
26.04.2011, 15:35	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Allerdings wird es mir noch nicht ganz klar: Den Kosinussatz habe ich verstanden. Das Vektor-Dreieck ist doch diese hier? [attach]19260[/attach] Nun habe ich die Gleichung, die ich kenne, nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aufgelöst. Dazu habe ich die Formeln für das Skalarprodukt gleichgesetzt. War die Idee richtig? Ich habe dann so umgeformt: [attach]19258[/attach] Die erste Gleichung in der ersten Zeile habe ich vom Skalarprodukt übernommen und gleichgesetzt und dann eine Formel für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ berechnet. Ist das soweit richtig? Dann habe ich eine zweite Formel für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit Hifle des Kosinussatzes erstellt: Dabei habe ich die erste Zeile von dir übernommen: [attach]19259[/attach]. Leider sehe ich keinen Zusammenhang. Habe ich etwas falsch gerechnet ? Pascal
26.04.2011, 22:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt deine Rechnung nicht durchgearbeitet, aber ich meine, es geht kürzer und einfacher. Was du noch über das skalare Produkt wissen musst: Es ist distributiv und für das skalare Produkt eines Vektors mit sich selbst gilt die Beziehung $\begin{eqnarray} \vec v^2 = \|\vec v\|^2 \end{eqnarray}$ Sodann folgt bei Anwendung des Cos-Satzes: $\begin{eqnarray} \|\vec a - \vec b\|^2 = \|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - 2 \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \alpha \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} (\vec a - \vec b)^2 = \|\vec a - \vec b\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a^2 - 2 \ \vec a \cdot \vec b + \vec b^2 = \|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - 2 \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \alpha \end{eqnarray}$ Nach Reduktion und Kürzen bist du in der nächsten Zeile fertig. mY+
26.04.2011, 23:07	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich glaube, ich bin das Problem ein bisschen zu kompliziert angegangen. Folgendermaßen habe ich $\begin{eqnarray} \vec v^2 = \|\vec v\|^2 \end{eqnarray}$ gezeigt: [attach]19281[/attach] Sind die Umformungen denn richtig: [attach]19282[/attach] Vielen Dank, Pascal
26.04.2011, 23:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erste Bild ist in Ordnung so. Beim zweiten ist in der 2. und 3. Zeile rechts jener Fehler, dass dort beim Produkt die Beträge der Vektoren stehen müssen. In der 1. Zeile stimmt es noch, warum hast du dies nicht übernommen? Es wäre traurig, würde die Beziehung nur für den [Edit] Winkel 0 gelten, denn nur dann ist dessen Cosinus gleich 1. Die vierte Zeile muss demnach lauten: $\begin{eqnarray} 2 \vec a \vec b = 2 \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \varphi \end{eqnarray}$ Somit kommt $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b = \|\vec a\| \|\vec b\| \cos \varphi \end{eqnarray}$ und das ist doch genau der Satz, den man kennt und den du zu beweisen versucht hast. mY+
Anzeige

26.04.2011, 23:59	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank. jetzt sollte es klar sein. allerdings ist cos90* = 0 wenn ich morgen am pc bin wfrde ich es mir genauer ansehen pascal
27.04.2011, 09:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mit cos(0) hast du natürlich Recht, ich habe es editiert. mY+
27.04.2011, 12:35	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ist das dann soweit richtig? Die Formel, die gegeben war, habe ich grün markiert. [attach]19289[/attach] Pascal

Neue Frage »

Antworten »

Vektorrechnung - Skalarprodukt

Verwandte Themen