regelmäßiges 5eck konstruieren (rein mathematisch)

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
regelmäßiges 5eck konstruieren (rein mathematisch)
Hallo an alle,
der Titel ist leider nicht so aussagekräftig, wusste aber nicht, wie ich es besser schreiben könnte.

Also erstmal die Aufgaben:
a ist eine 5. Einheitswurzel

a) z.z. a=1 oder a^4+a^3+a^2+a+1=0 hab ich einfach mit Polynomdivision und der Gleichung a^5-1=0 gemacht
b) Polynom 2. Grades mit Koeffizienten aus , welches als Nullstelle hat. Da weiß ich jetzt nicht so, was gemeint ist. Für a=1 hab ich einfach x^2+x-6 genommen.
c) Polynom 2.Grades konstruieren mit Koeffizienten aus dem kleinsten durch und erzeugten Körper, welches a als Nullstelle hat. Da weiß ich schon gar nicht mehr weiter. Wie sieht dieser Körper aus? Muss jede 5.EW Nullstelle sein???
d)Aus vorherigen Aufgaben folgern, dass man das 5Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren kann und damit die 5.EW berechnen. Auch wieder keine Ahnung.
e) Konstruktion von ausführen (erstmal unwichtig)

Also wenn mir jemand nur ansatzweiße erklären könnte, wie das ganze funktioniert, wäre ich schon sehr dankbar.

LG
Hamsterchen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

im Moment kann ich dir leider noch nicht helfen. Kannst du vielleicht mal deutlicher machen, was hier eigentlich gegeben ist? Und was zu zeigen?

Stichworte für weitere Informationen:
- Körpererweiterungen
- Kreisteilungskörper

(a). Wie sind die Fünften Einheitswurzeln definiert?

Es sind die Nullstellen von . Wir finden eine Nullstelle sofort, denn . p ist also reduzibel über . Es ist





Die Einheitswurzeln waren die Nullstellen von p. Nun brauchen wir eine Eigenschaft, mit der wir dann sagen können "mindestens ein Faktor muss annuliert" werden. [ausschließen von Nullteilern]

(b). Soll hier a nicht allgemein gewählt sein? Ich wurde mir eine Skizze machen und mal markieren, wie und so als komplexe Zahlen zusammenhängen. Das sollte imho erklären, warum man die gerade summieren will. Nun ist noch offen, warum das Polynom nicht z.B. linear ist [Ziel ist denke ich sich in (b) schon ein Minimalpolynom für c zu erarbeiten]. Dazu ist wieder wichtig, woraus die Koeffizienten nur gewählt werden dürfen.

Weitere Gedanken später, ich hoffe ich habe nichts falsches verbreitet. Da ich auch in dem Thema bin, würde ich hier gerne "mitmachen", wenn du erlaubst.

Vielleicht schaut noch ein Profi mit rein.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was die Gleichung



betrifft, so gibt es hier einen "Trick" der sich immer dann empfielt, wenn das Polynom gleich seinem reziproken Polynom ist... Dazu dividiert man zunächst die Gleichung durch (beachte ) und macht dann die Substitution



Durch Einsetzen ergibt sich weiter eine quadratische Gleichung in u usw.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mystic, Wink

bevor ich mit mit dem Begriff reziprok vertraut mache, bei welcher Teilaufgabe bist du denn? Bei (b)? Sind die Gedanken zu (a) korrekt.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei (b)... Und ja, (a) habe ich in dieser Form ja auch selbst verwendet... Augenzwinkern

Das reziproke Polynom bekommt man, indem man den Koeffizientenvektor "stürzt", also z.B.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und ja, (a) habe ich in dieser Form ja auch selbst verwendet... Augenzwinkern


Grammatik des Satzes entzieht sich mir (wo, was verwendet), also (a) passt. Und nun wollen wir doch mal hinter deinen Trick kommen. Dabei ist a eine beliebige 5te Einheitswurzel, und das quadr. Polymon sollte also für alle a passen? Wir wissen jedoch, a ungleich 0.

Die Koeffizientenfolge ist spiegelsymmetrisch, sind hier ja alle 1.Hier ist aber .









Für wäre eine Polynom vom Grad 2 mit Nullstelle , für alle anderen wäre es ?

Wie kommt man auf den Trick? Durch Division durch a² bekommt man ein selbstreziprokes Polynom?

Zitat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Reziprokes_Polynom#Variante_2

Ist n = 4k durch 4 teilbar, so lässt sich ein derartiges Polynom p als mit einem eindeutig bestimmten Polynom q vom Grad 2k = n / 2 schreiben. Die Nullstellen von p sind also die Lösungen x der Gleichungen x - für die Nullstellen z von q.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Zitat:
Und ja, (a) habe ich in dieser Form ja auch selbst verwendet... Augenzwinkern


Grammatik des Satzes entzieht sich mir (wo, was verwendet), also (a) passt.

Ich wollte damit sage, dass ich schon von dem Ansatz



ausgegangen bin, der in (a) vorkommt...

Zitat:
Original von tigerbine
Wie kommt man auf den Trick? Durch Division durch a² bekommt man ein selbstreziprokes Polynom?

Nein, das ursprüngliche Polynom muss selbstreziprok sein, durch dividieren durch erhält man ja gar kein Polynom mehr... Im Prinzip wird durch diesen "Trick" der Grad des selbstreziproken Poynoms, falls er gerade war, durch die nachfolgende Substitution



"halbiert"... Zum Schluß muss man dann natürlich noch eine quadratische Gleichung in lösen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, wenn ich (heute) etwas auf der Leitung stehe. Mit Zunge

1. Stimmt das, was ich zu a geschrieben habe oder müssen wir da noch mal ran?

2. Haben wir bei (b) die Polynome gefunden? "Zum Schluß muss man dann natürlich noch eine quadratische Gleichung in lösen" und "usw" irritiert mich hier. verwirrt

Danke.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
(a). Wie sind die Fünften Einheitswurzeln definiert?

Es sind die Nullstellen von . Wir finden eine Nullstelle sofort, denn . p ist also reduzibel über . Es ist





Die Einheitswurzeln waren die Nullstellen von p. Nun brauchen wir eine Eigenschaft, mit der wir dann sagen können "mindestens ein Faktor muss annuliert" werden. [ausschließen von Nullteilern]

Wenn du das meinst, das stimmt sicher, möglicherweise mit Ausnahme des letzten Satzes, den ich leider nicht verstehe... Aber wir haben eine "triviale" Nullstelle, nämlich a=1, und vier weitere komplexe Nullstellen, welche alle die Bedingung



erfüllen müssen... Genau an dieser Stelle habe ich oben fortgesetzt, um diese auch zu bestimmen...

Edit: Und ja, das Polynom ist das gesuchte Polynom in (b), wir haben es ja genauso konstruiert, wie oben angegeben...[/quote]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ja, das meine ich.

2. Die Aufgabe war zu zeigen, dass für eine 5te Einheitswurzel entweder oder
gilt.

a=1 können wir mittels einsetzen prüfen und dann einen Linearfaktor "abspalten".



Nun wollte ich

Zitat:
und vier weitere komplexe Nullstellen, welche alle die Bedingung



erfüllen müssen...


dieses müssen begründen. Und dachte, dazu muss man über nullteilerfrei argumentieren...

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, 1 kann nicht nochmals Nullstelle sein, denn wie du schon weisst, müsste dann die Ableitung für x=1 verschwinden... Ist aber für offensichtlich nicht der Fall... Hast du das vielleicht gemeint?

Edit: Ich denke, es wäre das einfachste, du würdest die Aufgabe bis zum Schluß durchrechnen, d.h., die quadratische Gleichung in u lösen, dann die quadratische Gleichung



in a, denn dadurch würden sich einige Fragen von selbst klären, davon bin ich überzeugt... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

(zur a)

Ich erinnere mich daran, aber ich meinte das eigentlich nicht alleine. Das zeigt, dass a=1 keine weitere Nullstelle ist. Ja. Nur warum folgt daraus, dass



gelten muss. Müssen wir da nicht noch irgendwie berücksichtigten, woraus a stammt? Also so was wie "2*2 = 0 (mod 4)" nicht auftreten kann.

edit: gelöscht wie gewünscht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn wir in beliebigen Ringen rechnen würden, dann schon, aber wir sind ja hier von Haus aus in irgendwelchen Unterkörpern des Körpers der komplexen Zahlen... Also jedenfalls in nullteilerfreien Ringen... Da gilt aber dann das bekannte Procedere: Hat man eine Nullstelle eines Polynoms p(x) gefunden, so wie in unserem Fall x=1, dann sofort durch Linearfaktor x - 1 durchdivieren und die restlichen Nullstellen sind dann Nullstellen des Polynoms p(x)/(x-1)...

PS.: Danke für Löschen... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich wollte es hier nur erwähnt haben, dass dieses Problem hier eben nicht auftritt. Big Laugh

Zitat:
Also jedenfalls in nullteilerfreien Ringen...


Ich mache nun

Zitat:
ich denke, es wäre das einfachste, du würdest die Aufgabe bis zum Schluß durchrechnen,


weiter.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Edit: Ich denke, es wäre das einfachste, du würdest die Aufgabe bis zum Schluß durchrechnen, d.h., die quadratische Gleichung in u lösen, dann die quadratische Gleichung



in a, denn dadurch würden sich einige Fragen von selbst klären, davon bin ich überzeugt... Augenzwinkern


Also eine Körperweiterung vom Grad 2 haben mir mit nun erreicht. Dieser Körper soll nun so erweitert werden, dass a drin ist, oder?



Nun weiß ich nicht, was du meinst...

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Nun weiß ich nicht, was du meinst...


Aber das ist doch für jede der beiden Lösungen eine quadratische Gleichung für a, womit wir dann insgesamt bei den gesuchten 4 Lösungen wären... smile

Edit: Aber hm, war das Polynom nicht ? Dann würde nach der p-q-Formel was anderes rauskommen... verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich vergessen haben ,ein Minus abzutippen?

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, jetzt brauchst du nur noch die entsprechenden quadratischen Gleichungen für a lösen und fertig... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass ich voll auf der Leitung stehe..



Die rechten Seiten ist also im neuen Körper drin. Fall 1:





a ist also Nullstelle von und es gilt

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte oben noch schreiben: Mach keine zwei Fälle draus, sondern schlepp einfach überall mit... Zu spät... Augenzwinkern

Edit: Aber es ist sicher "sauberer" mit Falluntercheidung...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »











Wenn ich mich nicht verrechnet habe. Was ich mich nun aber frage:

- Welche 2 Körpererweiterungen haben wir gemacht?
- Wenn man eine einfache Körperweiterung macht K(a), dann hat das Element ja ein Minimalpolynom m. Ist K(a) dann auch der Zerfällungskörper von m?

Also für den ersten Schritt hier:







Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen schon von einem anderen Beispiel, dass quadratische Körpererweiterungen bei Körper mit einer Charakteristik immer durch die Adjunktion von Quadratwurzeln zustande kommen, genauer durch die Quadratwurzeln aus den Diskriminanten von quadratischen Gleichungen, wobei diese im jeweiligen Körper nicht existieren dürfen... Tasächlich ist ja und auch die "großen Wurzeln" in deinen Formeln sind nicht in ...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, was du schreibst, aber nicht, wie es meine Fragen beantwortet. traurig

Statt u hätte man also auch [Wurzel aus der Diskriminante] adjungieren können. Also ist Q(u) der Zerfällungskörper von über Q.

Das hat jetzt geklappt, weil das Minimalpolynom quadratisch war? Gilt aber im Allgemeinen nicht? verwirrt Hatten wir nicht mal so was wie "endliche Körpererweiterungen sind einfach"... Nur sagt das ja nicht, dass eine Nullstelle des Minimalpolynoms das zu adjungierende Element ist... verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ist mit identisch, wie bei quadratischen Körpererweiterungen schon uns allgemein überlegt haben und die letztere Beschreibung ist doch "hübscher", findest du nicht? Übrigens gilt das ganz allgemein: Wenn man den Zerfällungskörper von (p Fermatsche Primzahl) konstruieren will, muss man immer als erstes adjungieren...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Klar ist das hübscher. War eben darauf fixiert, u1 dazu zupacken, weil das ja die Nullstelle ist. Mit der Wurzel sieht man auch gleich, dass u2 drin ist.

Was packe ich dann im zweiten Schritt dazu?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell Wurzeln aus Diskriminanten von gewissen Polynomen vom Grad 2, mit Koeffizienten aus dem jeweils "letzten" Erweiterungskörper, das wäre also nach der ersten Erweiterung , welche aber über eben diesem Körper keine Nullstellen haben... Da man zum Schluss bei ankommen will, wobei eine primitive 5-Einheitswurzel ist, deren Minimalpolynom, nämlich



als Grad eine Potenz von 2 hat (sonst würde das ganze mit nur quadratischen Erweiterungen gar nicht funktionieren!), muss man sich so über quadratische Körpererweiterungen Zug um Zug "hocharbeiten"...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Wir hatten als erstes das gesuchte Polynom in (b) mit bzgl. der geforderten Nullstelle . Die Diskriminante ist hier:



Aufgrund der Struktur der Lösungsformel(*) für quadr. Geichungen gilt dann . In den () und [] Zeichen habe ich das von gestern umgesetzt. Es gilt hier .

Nun ist eine Körpererweiterung von gesucht, so dass a im Erweiterungskörper ist. wir hatten durch Resubstitution von u ermittelt , also das in(c) gesuchte Polynom. Wieder ein quadratisches Polynom und für die Diskriminante gilt:



Es ist dann mit

.

So, und nun sehe ich gerade nicht, warum im neuen Körper nun auch


drin liegt. Manchmal ist man ja wie vernagelt... Kann ich das so machen?




Und noch was. a war bei uns doch eine primitive Einheitswurzel. Man hätte sie auch direkt adjungieren können [Minimalpolynom steht in (a)] und wäre so auch auf eine Körpererweiterung vom Grad 4=2² gekommen. Was bringt der Lange weg? Das Wissen, dass alle Nullstellen nun in liegen? Siehe (*)

Gibt es anderes herum auch Beispiele, wo nicht jede Nullstelle im Erweiterungskörper sind? Nehmen wir wieder und adjungieren mit . Dann haben wir im Erweiterungskörper keine komplexen Zahlen, aber m hat nur eine reelle Nullstelle. => Es sind i.A. nicht alle Nullstellen von m im Erweiterungskörper.

Zur Frage der Konstruierbarkeit. Der Erweiterungsgrad ist eine 2er Potenz. Aber die richtige Anwendung der Sätze S.38,39 gelingt mir noch nicht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine










Wenn ich mich nicht verrechnet habe.


Leider ja, unterhalb der "großen" Wurzeln gehören generell alle 2 durch 8 ersetzt, z.B.



Danach sollte es so sein, dass wenn man eines der Elemente mit bezeichnet, die restlichen dann einfach sind (in irgendeiner Reihenfolge)... Man braucht sich also keine "Sorgen" zu machen, dass nicht alle in drinnenliegen... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ärgerlich, ich habe mich nur auf ()² unter der Wurzel konzentriert und dann das 1/2 nicht mehr rein gezogen.

Das mit den Potenzen ist hier aber eine Besonderheit. Also weil die Nullstelle eine Primitive Einheitswurzel ist, und hier sind alle 4 Nullstellen primitive Einheitswurzeln?

Warum hat man nun nicht gleich betrachtet? Oder war der andere Weg einfach Training?

Offen ist noch die Sache mit der Konstruierbarkeit.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der "stufenweise Aufbau" hat was mit der Konstruierbarkeit zu tun... Man muss bei der geometrischen Konstruktion dann genau diese einzelnen quadratischen Körpererweiterungen "nachvollziehen" sonst kann es mit Zirkel und Lineal nicht funktionieren...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh, was ist da denn das Starterset. (0,0) und (1,0)? Jeder Punkt mit rationalen Koordinaten? Daraus sollte man sich den Punkt (1,2) konstruieren können. Die 3 Punkte bilden ein rechtwinkliges Dreieck, die Länge der Hypothenuse ist
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre hier noch eine einfache Möglichkeit...Ich denke aber, der Höhensatz im rechtwinkeligen Dreieck ist in den meisten Fällen angemessener, um Wurzeln aus schon konstruierten Streckenlängen darzustellen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da mache ich es einmal einfach. Big Laugh

Nun haben wir also im Fundus. Als nächstes brauchen wir



Mit , dann also .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so in etwa... Freude

Du kannst dir aber auch professionelle Hilfe holen, denn es gibt anscheinend nichts, was es im Internet nicht gibt... Z.B. sogar eine detailierte Anleitung zur Konstruktion des regelmäßgen Fünfecks auf der Basis unserer Formeln... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte ich hätte den Profi schon an der Strippe.

Danke, und wenn Hamsterchen sich durch diesen "Irrgarten" liest, sollten alle Fragen aus dem ersten post eigentlich beantwortet sein.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich wäre für sie nach dem Statement

Zitat:
Original von Hamsterchen
Also wenn mir jemand nur ansatzweiße erklären könnte, wie das ganze funktioniert, wäre ich schon sehr dankbar.

in ihrem Eingangsposting "weniger mehr gewesen", aber zumindestens den richtigen Ansatz weiß sie jetzt hoffentlich auch.... Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tigerbine und Mystic,
vielen Dank für die vielen Antworten.

Mein größtes Problem hier ist, dass ich von den meisten von euch erwähnten Sachen noch nix gehört hab. Aber mal zu den Aufgaben:

a) ok
b) Also wie man auf u^2+u-1 kommt, hab ich verstanden, aber für a=1 stimmt es ja nicht, dass a+1/a Nullstelle ist???
c)Was genau hat es mit der Wurzel der Diskriminante auf sich? Und was genau bedeutet ???
d) Könnt ihr nochmal erklären wie man aus den Aufgaben vorher die Konstruierbarkeit folgern kann????

Vielen Dank schonmal
LG
Hamsterchen
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen

b) Also wie man auf u^2+u-1 kommt, hab ich verstanden, aber für a=1 stimmt es ja nicht, dass a+1/a Nullstelle ist???
c)Was genau hat es mit der Wurzel der Diskriminante auf sich? Und was genau bedeutet ???
d) Könnt ihr nochmal erklären wie man aus den Aufgaben vorher die Konstruierbarkeit folgern kann????


ad b) Der Sonderfall a=1 wird an dieser Stelle bereits ausgeschlossen... a=1 ist ja auch nicht Lösung von und diese Gleichung war ja der Ausgangspunkt der Überlegungen!

ad c) bedeutet einfach, dass der Vektorraum über die Dimension 2 hat... Als Basis bietet sich z.B. an...

Die Antworten auf die restlichen Fragen stehen alle schon in diesem Thread, wenn du davon etwas nicht verstehst, musst du schon präziser nachfragen... Leider sieht es wirklich so aus, dass meine schon oben geäußerte Befürchtungen, die detailreichen Ausführungen hier könnten dich überfordern, sich voll bestätigt haben... unglücklich
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mystic,
danke für deine schnelle Antwort.

Meint ihr mit der Dimension=2, dass es deswegen der KLEINSTE erzeugte Körper ist? Und könntest du bitte das mit der Diskriminante erklären? Für den Rest werde ich noch selbst weiter überlegen und dann ganz konkrete Frage stellen.

LG
Hamsterchen

EDIT: Kann man den Fall a=1 einfach weglassen? Ich glaube, wir sollen ein Polynom finden, das an jedem (a+1/a) Null wird.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, Dimension und kleinster erzeugter Körper (was ist letzteres überhaupt?) haben sicher nichts miteinander zu tun... Es ist aber richtig, dass der kleinste Körper ist, welcher sowohl alle rationalen Zahlen, als auch enthält... Seine Elemente haben die allgemeine Form



Man sieht also noch einmal sehr deutlich, dass eine Basis über ist...

Was an der Diskrimante unklar sein soll, weiß ich nicht... Du weißt doch hoffentlich, dass bei der Mitternachtsformel der Radikand unter der Wurzel als Diskriminante der quadratischen Gleichung bezeichnet wird? Und wir hatten doch zweimal in der ganzen Herleitung eine quadratische Gleichung zu lösen... Die erste war



und da war eben 5 die Diskriminante (rechne es bitte nach!)... Die Wurzel aus 5 muss daher als erstes "adjungiert" werden...
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