Skalarprodukt im R^3

Neue Frage »

maru Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt im R^3
Meine Frage:
Hallo ich bitte um Hilfe bei folgender Aufgabe, ich weis nicht genau was dort zu tun ist umd komme nicht weiter.

Es sei <.,.> das klassische Skalarprodukt im R^3. Von den drei Vektoren (a,b,c Element R^3) sei folgendes bekannt:

IIaII = 2, IIbII = 3, IIcII = 4 weiterhin
<a,b> = 1, <a,c> = 1, <b,c> = 0

Ferner sei (d Element R^3), mit IIdII = 1 und (d ist orthogonal zu b) und (d othogonal zu c).

Berechne I<a,d>I!

II und I sind Normen, hatte keine ahnung wie ich diese darstellen soll.

Meine Ideen:
Hab leider keine ahnung wie ich vorgehen soll
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Das ergibt ein Gleichungssystem.
 
 
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
Hallo vielen dank dafür, das habe ich hin bekommen.
Ich weis halt nicht was genau zu tun ist.
Vorallem was I<a,b>I! bedeuten soll.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
also einfach dasselbe mit allen Skalarprodukten und Skalaran machen, ausschreiben in ein GLS packen und auflösen?

gruss
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
Also ich habe so ein GLS. aufgestellt;






muss ich jetzt für die Variablen (a,b,c) zahlen einsetzen, keine ahnug wie ich es sonst lösen soll.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind noch mehr Gleichungen in der Aufgabe:
||a||=2,||b||=3,||c||=4,||d||=1,<b,d>=0,<c,d>=0

|<a,d>| ist der (absolute reelle) Betrag des Skalarprodukts von a und d.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

9 Gleichungen für 12 Variable ist ein bißchen dürftig. unglücklich
Ein geometrischer Ansatz hilft vielleicht weiter: b,c,d bilden ein rechtwinkliges System aus Vektoren bekannter Länge. Nimm als Basis des R^3 das zugrundeliegende Orthonormalsystem, dann kannst du b,c,d in dieser Basis angeben und sofort <a,b>,<a,c>,<a,d> berechnen. Die Länge von a ist dann der Schlüssel zum Erfolg.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
also so;








die Basis des R^3 des zugrunde liegenden Orthonormalsystem ist das



oder ist es einfach so was hier

weis leider auch nicht so genau wie ich,

||a||= 2,||b||= 3,||c||= 4,||d||= 1 in das GLS einfügen soll...
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
soll ich alle Vektoren mit der Norm 1 normieren?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3







so vielleicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem ersten Beitrag habe ich gezeigt, wie man die Norm (=Länge) eines Vektors berechnet, das Gleichungssystem gibt aber nicht viel her.
Die Geometrie scheint mir viel versprechend, denn wir kennen ein Orthogonalsystem b,c,d mit Vektoren der Länge 3,4,1. Da können wir doch einfach setzen : b=(3,0,0), c=(0,4,0), d=(0,0,1). Was ist dann ||a||=||(a1,a2,a3)||, <a,b>,<a,c>,<a,d> ?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
tut mir leid das wusste ich nicht das es so geht, ich versuche es auszurechnen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss dir nicht leid tun, freue dich, dass wir es gemeinsam schaffen. smile
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
so richtig?






und bin mir nicht sicher ob ich jetzt hier,



was einsetzen soll für a?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Die Geometrie scheint mir viel versprechend, denn wir kennen ein Orthogonalsystem b,c,d mit Vektoren der Länge 3,4,1. Da können wir doch einfach setzen : b=(3,0,0), c=(0,4,0), d=(0,0,1). Was ist dann ||a||=||(a1,a2,a3)||, <a,b>,<a,c>,<a,d> ?


Kleiner Einwand: Das müssen nicht zwingend die drei Vektoren sein und sollte daher nur der vereinfachten Herleitung einer Lösung dienen. Die endgültige Lösung sollte sich dann auf die Basis (b,c,d) beziehen.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
aber ich muss doch irgendwie das a bekommen, aber wenn ich mit a das selbe tun soll wie mit (b,c,d)
d.h. ich dachte dass, a = (2,0,0)
dann geht es doch nicht wegen dieser darstellung b =(3,0,0)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
Da Elvis grad nicht online ist, springe ich kurz ein.

Zitat:






Das ist zum einen falsch aufgeschrieben, zum anderen falsch gerechnet.
3 ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl. Das Skalarprodukt wird aber zwischen zwei Vektoren gebildet. Bei der Berechnung ist Dir dann (vielleicht infolge der falschen Schreibweise im ersten Schritt) ein Fehler unterlaufen. Beim Skalarprodukt musst Du erst die einzelnen Produkte der x-,y- und z-Komponenten berechnen und danach die Summe aus diesen drei Teilergebnissen bilden. Optisch hast Du das zwar gemacht, aber anscheinend mit einem falschen Vektor.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
könntest Du mir einen Tipp geben wie das aussehen soll?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis hat doch oben (übrigens auch in dem von mir zitierten Beitrag) angegeben, mit welchen Vektoren Du rechnen sollst.

usw.

Bei richtiger Rechnung erhältst Du so den Vektor a in dem von Elvis gewählten System und kannst damit <a,d> bestimmen.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3





ist das so richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt soweit.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
dachte die ganze zeit man muss a auch noch genauso darstellen wie b,c,d
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
daraus folgt dass,




maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
bin ich damit fertig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, zum einen war nach <a,d> gefragt, zum anderen weil ich oben übersehen habe, dass Du <a,d>=0 voraussetzt, was ja im Aufgabenkontext keinen Sinn machen würde. Die dritte Gleichung kannst Du also nicht verwenden. Aber Du hast noch eine Eigenschaft von a nicht benutzt. Lies Dir die Aufgabe noch mal genau durch, dann kommst Du hoffentlich drauf.
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
kann ich das nicht ändern und z.b. <a,d> = 1 setzen?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
oder kann ich die Eigenschaft <b,c> = 0 verwenden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Länge von a noch nicht verwendet.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
Zitat:
Original von maru
kann ich das nicht ändern und z.b. <a,d> = 1 setzen?


Um dann zu zeigen, dass <a,d>=1 ist?? Nicht wirklich sinnvoll, oder?
Du sollst doch laut Aufgabe geraden zeigen, was sich für <a,d> ergibt, wenn a,b,c,d die geforderten Eigenschaften haben.
Die Tatsache, dass <b,c>=0 ist, haben wir schon bei der Aufstellung des Orthogonalsystems benutzt. Ich denke es wird das beste sein, Du schaust Dir die Idee von Elvis noch einmal genau an und versuchst sie nachzuvollziehen, bevor Du wild rum rätst, was Du noch brauchst oder verwenden könntest. Mir scheint nämlich, dass Du das Prinzip noch gar nicht verstanden hast.


EDIT: Da Elvis wieder da ist, bin ich dann auch wieder weg. Wink
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
ja das leutchtet dann soger selbst mir ein smile
besten Dank für deine Hilfe und Gedult smile
maru Auf diesen Beitrag antworten »
RE: skalarprodukt in R^3
aber welchen Vektor soll ich dann mit der länge von a multiplizieren? Vektor b oder c?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht Skalarprodukt, sondern Norm (=Länge). Siehe meinen allerersten Beitrag !
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
ja aber ich weis wie die länge definiert ist, dass kann ich ja dort ablesen hab ich auch gemacht diese ist für a gleich zwei.

Nur wie soll ich sie in die gleichung miteinbeziehen oder muss ich das garnicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du noch nicht gemacht. Du hast , was dir fehlt ist
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
also so?

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
also wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann ist a_3 = 19/12
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. verrechnet unglücklich
2. nochmal rechnen
3. <a,d> berechnen
4. über alles nochmal nachdenken - warum ist mein geometrischer Ansatz richtig ? - warum ist Helferleins Einwand begründet ? warum ist mein Ansatz trotzdem richtig ? - warum ist in der Aufgabe nicht nach <a,d> sondern nach |<a,d>| gefragt ?
maru Auf diesen Beitrag antworten »
skalarprodukt in R^3
1. also wenn ich das im taschenrechenr eingebe spuckt er mir 19/12 raus




also kann ich keine regeln oder was ist hier falsch dran?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Grausam falsch. Lege bitte den Taschenrechner beiseite und rechne selbst. Oder beachte sinnvolle Rechenregeln beim Umgang mit dem Taschenrechner.
Lehrer
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »