Finite Differenzen

26.04.2011, 15:26	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Finite Differenzen Hallo miteinander! Ich habe zwei Fragen zu zwei Behauptungen. Sei $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ und x > 0. 1.) Zu zeigen ist, dass die folgende Formel gilt: $\begin{eqnarray} \triangle^i f_0 = \frac{(-1)^i h^i i!}{x_0(x_0 + h)...(x_0+ih)} \end{eqnarray}$ für jedes x_0 > 0 und h > 0. Also, die finiten Differenzen sind wie folgt definiert: x_i = x_0 + ih x_(i+1) = x_i + h f_s = f(x_s) Falls i = 0, ist die finite Differenz: $\begin{eqnarray} \triangle^i f_s = f_s \end{eqnarray}$ Für i != 0: $\begin{eqnarray} \triangle^i f_s = \triangle^{i-1} f_{s+1} - \triangle{i-1}f_s \end{eqnarray}$ Für i = 1 würde gelten: $\begin{eqnarray} \triangle f_s = f_{s+1}-f_s = f(x_{s+1})-f(x_s) \end{eqnarray}$ Allerdings seh‘ ich noch nicht, dass die Behauptung wirklich stimmt. Wäre vollständige Induktion ein Ansatz? …oder wie würdet ihr an die Aufgabe? [evtl. ein möglicher Ansatz…?] 2.) Ebenfalls zu zeigen: $\begin{eqnarray} f[x_0, ..., x_m] = \frac{(-1)^m}{x_0 x_1 ... x_m} \end{eqnarray}$ für bel. $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 < x_0 < ... < x_m \end{eqnarray}$ Hier gilt: $\begin{eqnarray} f[x_k, ..., x_{k+i} ] = \frac{ \triangle^i f_k}{i!h^i} \end{eqnarray}$ …wobei folgendes äquivalent ist: $\begin{eqnarray} \frac{ \triangle^{i-1}f_{k+1} - \triangle^{i-1}f_k}{(i-1)!h^{i-1}(x_{k+i}-x_k)} = \frac{ \triangle^i f_k}{(i-1)!h^{i-1}ih} = \frac{ \triangle^i f_k}{i!h^i} \end{eqnarray}$ …aber auch hieraus seh‘ ich noch nicht, dass die Behauptung wirklich stimmt. Habt ihr mir auch hierzu einen Ansatz? Besten Dank und liebe Grüsse, Leo

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