Gruppentheorie: S6, Untergruppen, äußere Automorphismen

27.04.2011, 00:41

Merlinius

Gruppentheorie: S6, Untergruppen, äußere Automorphismen

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe zum Thema "Äußere Automorphismen von $\begin{eqnarray*} S_6 \end{eqnarray*}$ ". Die Aussage wird in mehreren Teilaufgaben entwickelt, ich habe leider schon mit der ersten gewisse Probleme.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, G = Sym(X) \end{eqnarray*}$ . In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass G einen äußeren Automorphismus besitzt, also Aut(Alt(X)) echt größer ist als Sym(X).

i) z.z. G hat eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Ordnung 120, die transitiv auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wirkt. Hinweis: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} Sym(\{1, 2, 3, 4, 5\}) \end{eqnarray*}$ sechs zyklische Untergruppen der Ordnung 5 hat, auf denen sie transitiv durch Konjugation wirkt.

Also alle zyklischen Untergruppen der Ordnung 5 werden durch einen 5-Zykel erzeugt, d.h. ein Element der Gestalt $\begin{eqnarray*} (a b c d e) \end{eqnarray*}$ . Dies kann man auf 120 verschiedene Weisen schreiben, davon sind aber jeweils fünf identisch. Also hat man insgesamt 24 verschiedene 5-Zykel. Da je vier von ihnen + Identität eine Untergruppe bilden, hat man sechs Untergruppen der Ordnung 5. Richtig?

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich argumentieren kann, dass $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ transitiv auf diesen Untergruppen wirkt per Konjugation. Ich habe beispielhaft $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ genommen, aber nichtmal da wird mir die Anschauung klar. Muss ich hier konkret Elemente $\begin{eqnarray*} g \in S_5 \end{eqnarray*}$ angeben, die jedes Element der Untergruppe auf die jeweils anderen Elemente schickt? Ich vermute mal nicht, aber ich weiß auch nicht, wie ich es leicht zeigen kann.

edit: Ich habe gerade noch einmal nachgedacht. Jede Untergruppe enthält ja die Identität, und diese kann man durch Konjugation auf nichts anderes als sich selbst schicken. Wie soll die Konjugationswirkung dann transitiv sein?

27.04.2011, 01:31

Mystic

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RE: Gruppentheorie: S6, Untergruppen, äußere Automorphismen
Obige Überlegungen stimmen soweit...Ferner weiß man ja aus den Sylowsätzen, dass sämtliche Sylowgruppen der Ordnung 5 untereinander konjugiert sind... Das stellt schon mal die Transtivität sicher...

27.04.2011, 13:15

Merlinius

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Ah, okay. Also wirkt nicht G auf jeder einzelnen Untergruppe, sondern die Untergruppen sind nur "zwischeneinander" konjugiert.

Ich habe nun schon eine Weile darüber nachgedacht, aber kann nicht den Bezug dazu finden, dass $\begin{eqnarray*} S_6 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von Ordnung 120 hat.

Kann ich die 5-Zykel jeweils zu einem Element von $\begin{eqnarray*} S_6 \end{eqnarray*}$ fortsetzen und dann irgendwie aus allen eine Untergruppe bilden, oder wie ist das gemeint?

27.04.2011, 19:54

Merlinius

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Also, ich hänge immer noch an der Aufgabe. Und das ist nur die erste von sechs Teilaufgaben. Ich habe gerade bei Wikipedia folgendes gefunden:

Zitat:

Sylow 5-subgroups

Janusz and Rotman construct it thus:

S5 acts transitively by conjugation on its 6 Sylow 5-subgroups, yielding an embedding $\begin{eqnarray*} S_5 \rightarrow S_6 \end{eqnarray*}$ as a transitive subgroup of order 120. (The obvious map $\begin{eqnarray*} S_n \rightarrow S_{n+1} \end{eqnarray*}$ fixes a point and thus isn't transitive.)

This follows from inspection of 5-cycles: each 5-cycle generates a group of order 5 (thus a Sylow subgroup), there are 5!/5 = 120/5 = 24 5-cycles, yielding 6 subgroups (as each subgroup also includes the identity), and Sn acts transitively by conjugation on cycles of a given class, hence transitively by conjugation on these subgroups.

One can also use the Sylow theorems, which imply transitivity.
(Quelle)

Der zweite Teil stimmt ja praktisch mit meiner Überlegung überein. Allerdings wird mir der erste Teil nicht klar, also wie nun die Untergruppe von Ordnung 120 aus diesen sechs "5er-Untergruppen" ensteht. Hat ja vielleicht jemand eine Idee?

27.04.2011, 21:07

Mystic

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Sei M die Menge $\begin{eqnarray*} \{ U_1, U_2, \ldots , U_6\} \end{eqnarray*}$ aller 5-Sylowgruppen von $\begin{eqnarray*} S_6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ agiert dann auf M per Konjugation... Das impliziert ganz allgemein schon mal eine homomorphe Abbildung

$\begin{eqnarray*} \phi: S_5 \to S_M \cong S_6 \end{eqnarray*}$

deren Kern aber nur aus dem Einselement der $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ besteht... Es handelt sich also insgesamt tatsächlich um eine Einbettung...

Welche Elemente liegen nun wirklich in der Untergruppe $\begin{eqnarray*} U:=\phi(S_5) \end{eqnarray*}$ mit 120 Elementen? Ich werde dir das für ein Element mal vorführen... Zunächst sei

$\begin{eqnarray*} U_1=\langle (12345) \rangle =\{id, (12345),(13524),(14253),(15432)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_2=\langle (12354) \rangle =\{id, (12354),(13425),(15243),(14532)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_3=\langle (12435) \rangle =\{id, (12435),(14523),(13254),(15342)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_4=\langle (12453) \rangle =\{id, (12453),(14325),(15234),(13542)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_5=\langle (12534) \rangle =\{id, (12534),(15423),(13245),(14352)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U_6=\langle (12543) \rangle =\{id, (12543),(15324),(14235),(13452)\} \end{eqnarray*}$

Was bewirkt die Konjugation mit g=(123)(45)?

$\begin{eqnarray*} g(12345)g^{-1}= (23154)=(15423) \in U_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(12354)g^{-1}= (23145)=(14523) \in U_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(12435)g^{-1}= (23514)=(14235) \in U_6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(12453)g^{-1}= (23541)=(12354) \in U_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(12534)g^{-1}= (23415)=(15234) \in U_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(12543)g^{-1}= (23451)=(12345) \in U_1 \end{eqnarray*}$

Insgesamt hat man also

$\begin{eqnarray*} 1 \to 5, 2 \to 3, 3 \to 6, 4 \to 2, 5 \to 4, 6 \to 1 \end{eqnarray*}$

d.h., (154236) ist Bild von (123)(45) und eines der 120 Elemente unserer Untergruppe...

Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo verrechnet, da ich alles mit der Hand gerechnet habe, aber du siehst ja zumindestens meinen Rechenvorgang... Augenzwinkern

27.04.2011, 22:12

Merlinius

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Ahhhh, vielen, vielen Dank! Jetzt verstehe ich es erstmal. Die Idee ist, dass man die Menge der 5-Untergruppen $\begin{eqnarray*} \cong S_6 \end{eqnarray*}$ betrachtet. Das hatte ich einfach nicht gesehen.

Zur Injektivität der Wirkung: Könnte ich mir diese leicht klar machen, selbst wenn ich nicht wüsste, dass $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ der einzige nicht-triviale Normalteiler von $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ ist?

27.04.2011, 23:05

jester.

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Mal noch als Anregung, damit du besser erkennen kannst, was an der $\begin{eqnarray*} S_6 \end{eqnarray*}$ so anders ist, als an den anderen symmetrischen Gruppen: die $\begin{eqnarray*} S_6 \end{eqnarray*}$ hat zwei gleich große Konjugiertenklassen von Elementen der Ordnung 3, nämlich die 3-Zykel und die Doppel-3-Zykel.
Man kann sehen, dass ein Automorphismus, der 3-Zykel auf 3-Zykel abbildet, ein innerer Automorphismus ist. Klar ist der Automorphismus, der die beiden oben genannten Klassen vertauscht, kein innnerer Automorphismus. So erhält man den äußeren Automorphismus m.E. recht anschaulich.
(Ab $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ bilden die 3-Zykel eine Konjugiertenklasse) und in jedem Fall außer $\begin{eqnarray*} n=6 \end{eqnarray*}$ gibt es mehr Produkte aus disjunkten 3-Zykeln als einzelne 3-Zykel, sodass man sonst $\begin{eqnarray*} {\rm Aut}(S_6)\cong S_6 \end{eqnarray*}$ hat.

Edit: Das, was ich oben eingeklammert habe, bezieht sich bloß auf die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ und hat hier keine Relevanz.

28.04.2011, 15:20

Merlinius

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Danke jester. So 100%ig verstehe ich die Zusammenhänge noch nicht, aber ich hoffe, dass sich dies im Laufe dieser Aufgabe ergeben wird.

Hat man eigentlich durch obige Überlegung schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} K = \varphi(S_5) \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} X = \{1, ..., 6\} \end{eqnarray*}$ wirkt? Ich denke schon, da man jede "5er-Untergruppe" auf jede andere durch Konjugation abbilden kann, und die damit identifizierten Permutationn von $\begin{eqnarray*} \{1, ..., 6\} \end{eqnarray*}$ auch transitiv sind.

Ich bin jetzt an dieser Stelle:

Zitat:

ii) Zeigen Sie, dass K $\begin{eqnarray*} ( = \varphi(S_5)) \end{eqnarray*}$ sein eigener Normalisator ist und dass es genau sechs konjugierte Untergruppen gibt.

Also ich muss ja zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_6\setminus\varphi(S_5) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma\varphi(S_5)\sigma^{-1} \neq \varphi(S_5) \end{eqnarray*}$

Ich weiß gar nicht, wie ich hier vorgehen soll. Also kann ich etwa irgendetwas darüber sagen, wie die Elemente aus $\begin{eqnarray*} \varphi(S_5) \end{eqnarray*}$ aussehen? Oder soll man besser darüber argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(S_5) \end{eqnarray*}$ kein Normalteiler einer echten Obergruppe ist? Aber auch da weiß ich nicht, wie ich dies zeigen kann, ohne näheres über die Elemente von $\begin{eqnarray*} \varphi(S_5) \end{eqnarray*}$ zu wissen.

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