Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz

27.04.2011, 13:37	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz Meine Frage: Siehe Anhang Meine Ideen: Ich habe gar keine Ideen zu dieser Aufgabe. Für jeden Ansatz bin ich dankbar....
27.04.2011, 14:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz Keine Idee ist ein bisschen wenig. Der Grad der Interpolationspolynome ist fest. Wir können mit bekannter Fehlerformel für jedes Teilintervall den Fehler abschätzen. Wie?
27.04.2011, 15:21	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz also wir kennen ja die fehlerdarstellung $\begin{eqnarray} <br /> p_{M}(x)-f(x)= \frac{w(x)f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}<br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> w(x)=\prod \limits_{k=0}^{n}(x-x_k) \\ \zeta \in [a,b]<br /> \end{eqnarray}$
27.04.2011, 15:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz Das ist Nahe dran, berücksichtigt aber nicht die Teilintervalle, wenn du genau hinschaust. Warum hast du M als Index gewählt?
27.04.2011, 16:12	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz und wie könnte ich die M teilintervalle einbringen?
27.04.2011, 16:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz Ich hatte mir mehr als Rückmeldung erhofft. Wenn du M Teilintervalle hast, dann nummeriert man z.b. m=1,...,M Auf jedem dieser Intervalle macht man die Abschätzung und das jeweilige $\begin{eqnarray} \zeta_m \end{eqnarray}$ liegt nicht in ganz [a,b] sondern ...
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27.04.2011, 16:22	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz $\begin{eqnarray} <br /> \zeta_m \in [x_i , x_{i+1}] \forall i=1,..,M<br /> \end{eqnarray}$
27.04.2011, 16:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz Nein, für jedes m aus 1,...,M bekommen wir doch eigene Stützstellen. Modelliere dir das ganze doch mal für [0,2] und N=2 fest. Nun erhöhe M langsam. Die Aufgabe ist doch: Grad der Polynome bleibt fest, aber man bestimmt mehrere IPs. Das ist vom Typ: lokaler Spline, da wir nur Stetigkeit fordern.
27.04.2011, 16:47	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz also dann hätte man da stehen: $\begin{eqnarray} <br /> \\| p_{M}^{m}(x)-f^{m}(x) \\| \leq \\| w(x) \\| \cdot \\|f^{(n+1)}( \zeta_m ) \\|<br /> \newline \zeta_m \in I_m<br /> \newline x \in I_m<br /> \newline \forall m=1,..,M<br /> \end{eqnarray}$ jetzt müsste man doch nur w(x) abschätzen, oder? $\begin{eqnarray} <br /> \\| w(x) \\| \leq h^N<br /> \end{eqnarray}$ wobei h die Laenge des Intervalls $\begin{eqnarray} I_m <br /> \end{eqnarray}$ definiert
27.04.2011, 16:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation - Punktweise Konvergenz Das Knotenpolynom hängt doch auch von den kleinen Intervallen ab. Das muss in der ersten Formel kenntlich gemacht werden. Man kann es dann über Potenzen von h abschätzen.

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