Vektorrechnung - Normalenvektor

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung - Normalenvektor
Hallo,

ich habe eine Frage bzgl. des Berechnens eines Normalenvektors:

Das alles spielt sich in ab.

Dazu muss natürlich das Skalarprodukt 0 ergeben.

Dann kann ein Beispiel berechnet werden:

Der Normalenvektor soll folgende Gleichung erfüllen:


, also
, also


Nur dafür gibt es logischerweise unendlich viele Lösungen.
In konnte man dies nach einem Parameter umstellen, um die andere Koordinate zu berechnen (in R² sind sie auch alle kolinear/linear abhängig - sie sind Vielfache von den anderen,. gestreckt)

Aber in R³ habe ich gelernt, zu raten, was für Zahlen man einsetzen kann.
Dazu einfach und bestimmen, um dann auf zu kommen, anpassen.

Soweit richtig?

Meine Frage:
Gibt es eine Formel, mit der man den Normalenvektor bzgl. eines bekannten Vektors berechnet, indem man die Länge einsetzt, die man haben will und die Drehung um den Vektor herum (0° bis 360°)?

Die würde dann so aussehen:
[attach]19293[/attach]

Und mit Winkel meine ich nicht den, der zwischen den Vektoren eingeschlossen ist (der MUSS ja eben 90° sein), sondern den, der in R³ ja noch geändert werden kann.

Vielen Dank

Pascal
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wird es dazu noch eine Antwort geben, oder ist das Thema des Hochschulbereichs?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat, es ist nicht möglich, im Dreidimensionalen einen Normalenvektor eindeutig festzulegen, nicht einmal, wenn man ihn normiert. Du hast selbst bemerkt, daß man einen Normalenvektor um seinen Partner drehen kann, so daß er immer noch Normalenvektor bleibt. Aber wenn du jetzt den Normalenvektor durch seine Länge und seinen Drehwinkel festlegen willst, müßtest du erklären, worauf du den Drehwinkel beziehst. Und wie sollte das gehen? Wann ist der Drehwinkel 0°?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, darüber musste ich mir erst mal Gedanken machen.
Ich bin jetzt zu folgendem Schluss gekommen:

Der Drehwinkel ist für den Vektor, der die kürzeste Entfernung zur hat.
Diese Ebene wird von Vektoren immer durchstochen (wenn sie denn genügend lang sind), es sei denn sie verlaufen parallel zur .

Bei mir ist:
x: rechts/links
y: vorne/hinten
z: oben/unten

Wenn der Vektor parallel zur verläuft, so ist der Vektor mit derjenige, der durch das Fällen eines Lotes auf diese jene Ebene erzeugt wird.

Edit
Habe hier noch ein Bild hochgeladen:
[attach]19333[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Der Drehwinkel ist für den Vektor, der die kürzeste Entfernung zur hat.


Das ist aber reine Willkür. Und auch problematisch. Denn Entfernungen lassen sich nur zwischen Punkten messen, nicht zwischen Vektoren. Und Vektoren schneiden auch keine anderen Objekte. Vektoren haben ja keinen festen Platz im Raum (siehe anderer Strang), wie sollen sie da etwas anderes schneiden?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist mir noch eine andere Idee gekommen.
Man geht also von einem Ortsvektor ausgehen. Da man die Normalenvektoren auch an dem Vektor verschieben kann, will ich denjenigen, der an der Spitze des anderen anfängt.
Das Vektordreieck soll SENKRECHT auf der x-y-Ebene stehen, das ist gleichbedeutend mit: Die Höhe von dem Dreieck ist PARALLEL zur z-Achse.

Und jetzt ist eben der Normalenvektor, der die kürzeste Entfernung hat. Jetzt müsste es eindeutig sein.

Hier eine Graphik:
[attach]19339[/attach]

Dieses auf der x-y-Achse senkrecht stehende Dreieck kann immer erzeugt werden (man muss eben den passenden Normalenvektor nehmen).

Ist das so eindeutig?
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Da du leider offline bist, erweitere ich meine Idee vom vorherigen Post.
Bitte vergesse nicht komplett was drin stand, sondern das hier sollte mathematischer fundiert sein Big Laugh

[attach]19353[/attach]

Die Idee ist eigentlich die selbe wie vorhin genannt.
Jetzt habe ich sogar eine Vorgehensweise entwickelt, um den Normalenvektor zu bestimmen, also denjenigen zu finden, den ich durch eine Drehung von definiere.

  1. Suche dir einen Vektor ungleich dem Nullvektor aus und lege ihn mit dem "Anfang" in den Ursprung ins Koordinatennetz.
    Dieser wurde hier genannt. (siehe Graphik)
    Er lautet .
  2. Erstelle einen weiteren Vektor auf dem Boden, besser gesagt auf der (siehe Graphik): Definiere ihn so: .
    Er ist also einfach der ohne die Höhe (er "liegt" dann auf dem "Boden"). In der schönen Graphik ist das der Verbindungsvektor der Punkte und . Er ist also oder einfach nur *.
  3. Erstelle eine Gerade , die den Vektor verlägert - also die Gerade
  4. Nun ist der Normalenvektor eindeutig definiert. Er geht dann durch den Punkt .
  5. Zusätzlich ist das eingehalten, was ich schon vorhin sagte:
    Zitat:
    Original von Pascal95
    Das Vektordreieck soll SENKRECHT auf der x-y-Ebene stehen, das ist gleichbedeutend mit: Die Höhe von dem Dreieck ist PARALLEL zur z-Achse.



*) Hier erkennt man, dass so ein Vektor Probleme machen würde, weil der Vektor a' dann der Nullvektor wäre!


Dann warte ich mal auf deinen Kommentar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, man kann das so machen. Aber was ist dadurch gewonnen?
Diese Normierung ist doch recht künstlich. Und wenn man sie vornähme, welche Orientierung würde man jetzt bei den Winkeln wählen? Es gibt ja keinen eindeutigen Drehsinn.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Es gibt ja keinen eindeutigen Drehsinn.

Naja, man könnte sagen: Von oben betrachtet (wenn man von oben auf die x1-x2-Ebene schaut - also von x3 aus), dann gegen den Uhrzeigersinn.
Das wäre in meinem Beispiel zur x2 Achse hin.
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