Verschoben! Parameterdarstellung einer Pyramide

27.04.2011, 16:45

hlmaa

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Parameterdarstellung einer Pyramide

Meine Frage:
Hallo, ich muss nächste Woche eine Präsentation in Mathe halten und ich kann überhuapt nichts mit der Aufgabe anfangen, da wir das noch nicht im Unterricht hatten oder ich überhaupt schon vorher was davon gehört habe. ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Aufgabe:

Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.

A(2;?1;0)
B(?2;?2;0)
C(?1;4;0)
D(0;0;4)

a) Gib je eine Parameterdarstellung der Kantengeraden an.

b) Gib je eine Parameterdarstellung der Seitenhalbierenden der Seitenflächendreiecke der Pyramide an, die durch D verlaufen.

Ich gucke seit Tagen im Internet nach irgendwelchen Formeln die mir vielleicht weiterhelfen wie man sowas berechnet, aber ich kann damit irgenwie nichts anfangen. Hilfeee bitte dringend um hilfe unglücklich

unglücklich

Vielen dank schon mal im vorraus.

lg Sarah :-)

Meine Ideen:
???

27.04.2011, 16:59

riwe

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RE: Parameterdarstellung einer Pyramide
schau doch einfach unter geradengleichung in R3,
da wirst du sicher fündig Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2011, 19:04

hlmaa

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RE: Parameterdarstellung einer Pyramide
hm geradengleichung in R3? was meinst du? :S

27.04.2011, 23:08

Karhu

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ad a)

Also ich würde meinen das geht mit:

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix} +t*\vec{AB} \end{eqnarray*}$

Hoffe das is net komplett daneben! xD

lg
chris

28.04.2011, 07:32

hlmaa

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vielen dank für eure antworten, nur mein problem ist es, dass wir das alles nicht mal im unterricht hatten und ich jetzt auch gar nicht weiss was du mit deiner formel meinst. :S
ich soll die aufgabe nächste woche als klausur vorstellen...

das einzige was ich weiß, aber nicht mal weiß ob es richtig ist, ist:

B - A = Differrenzvektor

( -2 ; -2 ; 0) - ( 2 ; -1 ; 0 ) = ( -4 ; -1 ; 0 )

x-> = A + "alpha" * differrenzvektor ????

dann habe ich aber noch was gefunden:

x-> = OA-> + "phi" * AB->

ich habe überhaupt gar keine ahnung welche von den beiden formeln ich anwenden muss oder sonst iwas. ich verstehe mathe echt total schnell nur wenn man das noch nie hatte und nicht mal irgendetwas weiss wie man da vorgehen muss ...... oh man...

28.04.2011, 10:19

mYthos

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Zitat:

Original von hlmaa
...
x-> = OA-> + "phi" * AB->
...

OA ist ein Ortsvektor zu einem (beliebigen) Stützpunkt und AB der Richtungsvektor der Geraden. "phi" ist ein Parameter, der alle reellen Zahlen durchläuft, wird aber meist mit r, s, t, .. usw. bezeichnet und seltener mit "phi", denn dieser Parameter ist kein Winkel.

Also hat z.B. eine Gerade, welche durch die Punkte A(1; 2; 3) und B(6; 5; 4) geht, die Parametergleichung

$\begin{eqnarray*} \vec X = \vec A + t \cdot \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ ist der Differenzvektor der beiden Ortsvektoren zu B und A. $\begin{eqnarray*} \vec A \end{eqnarray*}$ ist der Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA} \end{eqnarray*}$ . Ortsvektoren zu einem Punkt (P) gehen immer vom Nullpunkt O (zu P) aus. Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec X \end{eqnarray*}$ bezeichnet jeden möglichen durch den Parameter t erreichten Punkt der Geraden. Seine allgemeinen Koordinaten sind X(x1; x2; x3).

mY+

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29.04.2011, 11:16

hlmaa

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achso, erstmal vielen dankt für deine hilfreiche Antwort!

also bei meiner Aufgabe ist ja

A ( 2 ; -1 ; 0 )

B ( -2 ; -2 ; 0 )

dann ist die rechnung dazu:
(für t kann ich ja also eine beliebige Zahl einsetzen)

x-> = ( 2 ; -1 ; 0 ) + 1/2 * ( -4 ; -1 ; 0)

und das dann nun mit ABCD machen? und dann ist Aufgabe a) gelöst?

ich hoffe ich habe das jetzt richtig verstanden Big Laugh

Big Laugh

und bei Aufgabe b) muss ich den Mittelpunkt zb. von AB-> , AC-> , BC-> berechnen?

29.04.2011, 13:09

mYthos

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In der Parametergleichung der Geraden bleibt der Parameter (t) immer stehen. Er ist Bestandteil dieser Gleichung!
Erst innerhalb von Berechnungen (wenn z.B. ein Schnittpunkt berechnet werden soll) wird der entsprechende Zahlenwert ermittelt. Von vornherein dafür eine beliebige Zahl einsetzen, geht nur, wenn man einen x-beliebigen Punkt dieser Geraden erhalten will.

Für den Halbierungspunkt M einer Strecke AB gibt es eine hübsche Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \vec M = \frac 1 2 \cdot (\vec A + \vec B) \end{eqnarray*}$

In dieser Formel sind alle Vektoren Ortsvektoren zu den entsprechenden Punkten.

mY+

29.04.2011, 14:15

hlmaa

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achsooo! jetzt habe ich verstanden! ist ja gar nicht so schwer wie ich am anfang gedacht habe, als ich die Aufgabe das erste mal durch gelesen habe Big Laugh

Big Laugh

danke, danke, danke Big Laugh

Big Laugh

30.04.2011, 12:50

hlmaa

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hallo, ich bin gerade an der Aufgabe dran, und hatte noch mal eine Frage, ob es so richtig ist?
Ich rechne gerade bei Aufgabe a) also die Parameterdarstellung von ABCD.

ich muss doch B-A rechnen und das mit ABCD also so:
A ( 2; -1; 0)
B ( -2; -2; 0)
C ( -1; 4; 0)
D ( 0; 0; 5)

(AB) x-> = (2; -1; 0) + t * ( -4; -1; 0)

(BC) x-> = (-2; -2; 0) + t * ( 1; 6; 0)

(CA) x-> = (-1; 4; 0) + t * ( 3; -5; 0)

(AD) x-> = ( 2; -1; 0) + t * ( -2; 1; 5)

(BD) x-> = ( -2; -2; 0) + t * ( 2; 2; 5)

(CD) x-> = ( -1; 4; 0) + t * ( 1; -4; 0)

so habe das jetzt mit ABCD gemacht, hoffe ich habe nichts vergessen. und somit ist jetzt Aufgabe A) gelöst? :S

lg

30.04.2011, 14:34

hlmaa

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habe nun mitlerweile auch Aufgabe b) fertig. zumindest hoffe ich, dass es so richtig und fertig ist.

also meine lösung ist nun:

(AB)

M-> = 1/2 * ( 2; -1; 0) + ( -2; -2; 0)

M-> = 1/2 * ( 0; -3; 0)

M->AB = ( -1,5; 1; 0)

und das dann noch mit BD und AD. das wars wieder nur? :S

30.04.2011, 23:05

mYthos

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Wie hast du denn (0; -3, 0) halbiert ?? Dein M stimmt so nicht.

mY+

01.05.2011, 16:23

hlmaa

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ich habe A + B gerechnet und dann die summe * 1/2. ist das so falsch?

und Aufgabe a) ist so richtig?

02.05.2011, 20:56

mYthos

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Nein, NICHT die SUMME mal 1/2. Sondern zeilenweise (x-, y-, z- Zeile getrennt) addieren und halbieren!

Z.B.: A(2; 3; 4), B(6; 5; 2) --> M(3; 4; 3)

Es ist daher noch einfacher ...

mY+

03.05.2011, 08:04

hlmaa

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hm, irgendwie bin ich gerade überfordert.

also ich habe so gerechnet:

A B
2 -1 1
-2 -2 = -4
0 0 0

von (1 ; -4; 0) dann die hälfte ist dann ja (0,5; -2; 0)

stimmt es dann so?

ich habe da noch eine frage.sorry für die ganzen Fragen, aber wie berechne ich die Länge der Pyramidenseite?
Mein Lehrer meinte ich soll in der Dokumentation meiner Aufgaben die berechnung der Längen einer dreidimensionalen Pyramide reinschreiben. Für die Klasse aber in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen und erklären. :S

03.05.2011, 18:35

Dopap

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so eine Pyramidenkante kann man sich als Raumdiagonale in einem Quader vorstellen.
Wenn der Quader a x b x c misst, dann bestimmt man zuerst eine Seitendiagonale
indem man die Kanten als Katheten ansieht.
Mit dieser Diagonalen und der 3. Quaderkante, wobei Beide wieder Katheten sind, berechnet man dann die Raumdiagonale.
Beides lässt sich in der Ebene demonstrieren.
Fasst man beide Schritte zusammen erhält man eine Formel für die Raumdiagonalenlänge.

Bei vorgegebenen Punkten A und B musst du noch überlegen welche Maße die Quaderkannten haben.
Tipp: betrachte den Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$

das ist nämlich die Raumdiagonale mit "Pfeilspitze".

03.05.2011, 20:32

hlmaa

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hey, danke für deine Hilfe, aber irgendwie habe ich gerade nicht so viel verstanden :S

sagen wir mal Punkt A wäre ( 1; 1; 0) und B ( 2; 2; 0) dann müsste ich wie vorgehen um diese Gerade zuberechnen?

03.05.2011, 20:44

mYthos

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Offenbar liest du keine Beiträge ganz oder nicht richtig.
Wie das geht, habe ich dir ganz genau erklärt!!

--> Parameterdarstellung einer Pyramide

mY+

03.05.2011, 21:41

hlmaa

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ja, das habe ich auch soweit fertig und verstanden. mir geht es gerade um die Länge der Geraden..

03.05.2011, 23:52

mYthos

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Berechne den Vektor AB und dann dessen Länge mittels

$\begin{eqnarray*} |\vec a| = \left| \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \right|= \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \end{eqnarray*}$

Das hättest du allerdings auch selbst nachsehen können, oder nicht?

mY+

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