Vollständige Induktion

27.04.2011, 21:14

chillerStudent

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Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo,

folgende drei Aufgaben muss ich durch volls. Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} <br /> (1) \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!} = 1- \frac{1}{(n+1)!}<br /> <br /> (2) 2^n\leq n!<br /> <br /> (3) n\geq 4<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der erste Aufgabe hab ich so angefangen:

Induktionsanfang: n=1
= 1/2

Induktionsvorraussetzung: siehe Aufgabe

Induktionsschluss:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}+\sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{(k+1)!}<br /> = 1-\frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!} <br /> \end{eqnarray*}$

weiter weiß ich leider nicht mehr.

27.04.2011, 21:22

Helferlein

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Der Ansatz ist leider schon falsch. Falls Du den Fehler nicht bemerkst, schreib Dir die Reihe mal in "..." Schreibweise auf, um zu erkennen welcher Zusammenhang zwischen den Summen bis n und n+1 besteht.

EDIT: Bemerke gerade, dass nur ein Notationsfehler vorliegt. Die letzte Form ist wieder richtig.
Mache nun die Brüche gleichnamig.

27.04.2011, 21:37

chillerStudent

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Hab das jezt so zusammengefasst.

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{(n+2)!+n+1}{(n+1)!*(n+2)!)} \end{eqnarray*}$

Was nun?

27.04.2011, 22:20

Manni Feinbein

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RE: Vollständige Induktion
In (1) beachte: $\begin{eqnarray*} \frac k{(k+1)!}=\frac 1{k!}-\frac 1{(k+1)!}. \end{eqnarray*}$

(2) und (3) sind trivial.

27.04.2011, 22:23

Helferlein

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@chiller
Das ist zwar gleichnamig, aber nicht mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner.
Beachte (n+2)!=(n+2)(n+1)!

28.04.2011, 17:41

chillerStudent

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Zitat:

Original von Helferlein
@chiller
Das ist zwar gleichnamig, aber nicht mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner.
Beachte (n+2)!=(n+2)(n+1)!

Danke wusste ich nicht.

Nun hab ich sowas hier:
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{2n+3}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

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28.04.2011, 17:43

Dottinger

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Ja genau das gleiche habe ich auch raus...
Nun muss man glaube ich irgendwelche Abschätzungen treffen...
An diesem Punkt komme ich regelmässig nicht weiter...

28.04.2011, 18:28

Manni Feinbein

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Junx, das sind wirklich simple Termumformungen... unglücklich

unglücklich

Also:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac 1{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+2)!}=\ldots \end{eqnarray*}$

Man hätte übrigens -wie ich einem früheren Beitrag offenbar vergeblich anzumerken versuchte- auch folgendes betrachten können:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac k{(k+1)!}=\sum_{k=1}^n\frac 1{k!}-\sum_{k=1}^n\frac 1{(k+1)!}=\left(1+\sum_{k=2}^n\frac 1{k!}\right)-\left(\sum_{k=2}^n\frac 1{k!}+\frac 1{(n+1)!}\right)=1-\frac 1{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 18:47

chillerStudent

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Wie steht bei dir (n+2)-(n+1)

$\begin{eqnarray*} 1-\frac 1{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+2)!}=\ldots \end{eqnarray*}$

Muss da nicht ein + stehen?

28.04.2011, 18:54

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von chillerStudent
Muss da nicht ein + stehen?

Nein. Und falls Dich das kleine Minus da so fertig macht, dann betrachte doch einfach mal

$\begin{eqnarray*} 1-\frac 1{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1+\frac{n+1}{(n+2)!}-\frac 1{(n+1)!}=1+\frac{(n+1)-(n+2)}{(n+2)!}=\ldots \end{eqnarray*}$

Das Ausklammern von (-1) im 6. Schuljahr verpennt?

28.04.2011, 19:30

chillerStudent

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Also kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{3}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

?

28.04.2011, 19:43

Helferlein

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Seit wann ist 1-2=3 verwirrt

verwirrt

28.04.2011, 19:44

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von chillerStudent
Also kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{3}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

?

Angesichts der Tatsache, dass Du sogar schon weißt was rauskommen soll, ist dieser Beitrag um so beschämender.
Aber sei's drum...

Wir bündeln noch mal alle verbliebenen mentalen Resourcen und berechnen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)-(n+2) \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 20:06

chillerStudent

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Tut mir leid peinlich peinlich LOL Hammer

LOL Hammer

Hammer

Forum Kloppe

28.04.2011, 20:16

chillerStudent

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Wie sieht es denn mit den anderen beiden aufgaben aus?

Manni feinbein sagte schon, dass die trivial sind. Heißt das, dass man dafür keinen Beweis benötigt bzw man kein Beweis anwenden kann?

28.04.2011, 22:39

Helferlein

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trivial=ohne großen Aufwand beweisbar bzw. offensichtlich

Das wird dein Prof/Tutor aber nicht als Argument gelten lassen, also solltest Du Dich schon dran machen, die Aufgabe zu beweisen.
Wie sieht der Induktionsanfang und wie die -voraussetzung aus?

28.04.2011, 22:57

chillerStudent

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Induktionsanfang: n=0
1<=1

Induktionsvorr.: 2^n <= n!

Induktionsschritt: n => n+1
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\leq (n+1)!<br /> 2^{n}*2\leq (n+1)! <br /> n!*2\leq (n+1)! <br /> \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nicht mehr...

29.04.2011, 00:09

Manni Feinbein

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Du solltest Dir eine etwas suggestivere Notation angewöhnen.

IV: Sei $\begin{eqnarray*} 2^n\leq n! \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ .

IS: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2\cdot 2^n\underbrace{\leq2\cdot n!}_{\text{laut IV}}\leq \ldots =(n+1)! \end{eqnarray*}$

29.04.2011, 00:17

chillerStudent

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Zitat:

Original von Manni Feinbein
Du solltest Dir eine etwas suggestivere Notation angewöhnen.

IV: Sei $\begin{eqnarray*} 2^n\leq n! \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ .

IS: $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2\cdot 2^n\underbrace{\leq2\cdot n!}_{\text{laut IV}}\leq \ldots =(n+1)! \end{eqnarray*}$

Genau das hab ich doch geschrieben oder? Ich weiß nur nicht wie ich weiter rechnen soll.

29.04.2011, 00:28

chillerStudent

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2*2^n <= (n+1)!
4^n <= (n+1)!

und nun?

29.04.2011, 08:44

klarsoweit

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Erstens ist 2*2^n nicht gleich 4^n und zweitens solltest du im Induktionsschritt nicht mit dem anfangen, was du zeigen willst, sondern mit dem, was laut Induktionsvoraussetzung gilt.

29.04.2011, 11:58

chillerStudent

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Laut Induktionsvoraussetzung gilt ja 2^n<=n1. Wenn ich damit rechen soll, dann weiß ich leider nicht weiter.

29.04.2011, 12:03

klarsoweit

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OK. Und welche Ungleichung muß im Induktionsschritt bewiesen werden?

29.04.2011, 12:11

chillerStudent

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2^(n+1)<=(n+1)! ??

29.04.2011, 12:14

klarsoweit

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Haargenau! Freude

Freude

Jetzt, wo wir wissen, woher wir kommen und wohin wir wollen, können wir anfangen. Dazu nehmen wir die linke Seite und formen um:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du auf 2^n die Induktionsvoraussetzung anwenden.

(Gehe jetzt mal essen, Mahlzeit.)

29.04.2011, 13:08

chillerStudent

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Zitat:

Original von chillerStudent
Induktionsanfang: n=0
1<=1

Induktionsvorr.: 2^n <= n!

Induktionsschritt: n => n+1
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1}\leq (n+1)!<br /> 2^{n}*2\leq (n+1)! <br /> n!*2\leq (n+1)! <br /> \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nicht mehr...

Genau das hab ich doch gemacht ??!! oder? für 2^n hab ich n! eingesetzt. geschockt

geschockt

29.04.2011, 13:15

klarsoweit

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Du hast nur Ungleichungen hingeschrieben, aber nichts darüber gesagt, ob diese äquivalent sind oder ob dazwischen nur eine Implikation gilt und wenn ja, welche Richtung die Implikation hat. Offensichtlich wird das leider nicht mehr in der Schule gelernt.

Wenn du 2^n durch n! ersetzt, dann ist der entstehende neue Ausdruck nicht gleich dem ursprünglichen Ausdruck, denn es ist ja nun mal nicht 2^n = n!, sondern 2^n <= n! . Also welche Beziehung besteht nun zwischen dem neuen und dem alten Ausdruck?

29.04.2011, 17:03

chillerStudent

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n! * 2 >= (n+1)! ??

30.04.2011, 20:21

chillerStudent

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Hab ich richtig geraten?

30.04.2011, 20:59

Reimon

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Nabend zusammen.

Ich habe mal eine kleine Zwischenfrage zur ersten Induktion in diesem Threat:

Zitat:

Original von Manni Feinbein
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{n+1}{(n+2)!}-\frac 1{(n+1)!}=1+\frac{(n+1)-(n+2)}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Ich kann diesen Schritt nicht nachvollziehen. Ich bekomm es nicht in diese Form gebracht.

Der erste Zwischenschritt müsste ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{n+(n+1)!-(n+2)!}{(n+1)!(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun auf die rechte Seite aus dem obigen Zitat?

Vielen Dank im Voraus
Reimon

30.04.2011, 21:01

Math1986

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Zitat:

Original von Reimon
Der erste Zwischenschritt müsste ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{n+(n+1)!-(n+2)!}{(n+1)!(n+2)!} \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch!
Es ist
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{n+1}{(n+2)!}-\frac 1{(n+1)!}=1+\frac{n+1}{(n+2)!}-\frac {n+2}{(n+2)!} \end{eqnarray*}$

30.04.2011, 21:02

Helferlein

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@Reimon:
Die Frage wurde doch oben bereits von mir beantwortet.

Zitat:

Original von Helferlein
@chiller
Das ist zwar gleichnamig, aber nicht mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner.
Beachte (n+2)!=(n+2)(n+1)!

30.04.2011, 21:36

chillerStudent

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Zitat:

Original von chillerStudent
n! * 2 >= (n+1)! ??

Ist das richtig?

30.04.2011, 21:42

Helferlein

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Gegenfrage: Welche Beziehung gilt zwischen (n+1)! und n!

30.04.2011, 22:01

chillerStudent

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Weiß nicht verwirrt

verwirrt

Aso: (n+1)!>n! ??

30.04.2011, 22:08

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
Weiß nicht verwirrt

verwirrt

Aso: (n+1)!>n! ??

Ja, und weshalb?

30.04.2011, 22:13

chillerStudent

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mhhh... wegen +1 ?

30.04.2011, 22:15

Math1986

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Zitat:

Original von chillerStudent
mhhh... wegen +1 ?

Hör auf hier herumzuraten und schau dir die Definition der Fakultät an.

Ich bin hier raus...

02.05.2011, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von chillerStudent
n! * 2 >= (n+1)! ??

(: Sorry, wenn ich das mal so sage:
Was um alles in der Welt hat dich dazu getrieben, ein Studium in einem mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich aufzunehmen? verwirrt

verwirrt

Du hast anscheinend kein bißchen Zahlengefühl. So sollte dir sofort auffallen, daß n! * 2 >= (n+1)! schon für n=2 nicht erfüllt wird. Und damit das Elend ein Ende hat, poste ich ausnahmsweise die Komplettlösung:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \leq 2 \cdot n! \leq (n+1) \cdot n! = (n+1)! \end{eqnarray*}$

Die nötigen Kommentare der einzelnen Schritte mußt du selber einfügen. Desweiteren ergibt sich aus dem Beweis, daß n >= 1 sein muß. Das hat zur Folge, daß der Induktionsanfang frühestens bei n=1 gemacht werden. Dieser wiederum paßt nicht für n=1, 2 und 3, so daß die zu beweisende Aussage erst für n >= 4 gezeigt werden kann.

03.05.2011, 00:02

chillerStudent

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@klarsoweit

Zunächst einmal vielen Dank. Und zweitens: sorry, dass wegen der dummen Raterei. Und nochmal sorry, dass ich eine Bedingung vergessen bzw. als eine andere Aufgabe gesehen habe auf dem Übungsblatt: nämlich die Bedingung n>=4 Hammer

Hammer

Was das Studium angeht: Hab ne 2 in Algebra Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab da nicht so guten Tag erwischt.

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