AB und BA haben gleiche Eigenwerte

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
AB und BA haben gleiche Eigenwerte
Meine Frage:
Hey Leute, ich soll diesesmal zeigen, dass eig(AB) U {0} = eig(BA) U {0} ist. Wobei die Matrizen A und B nicht quadratisch sein müssen, also aus einem mxn Raum kommen.

Ich kann für nxn Matrizen zeigen, dass AB und BA selbe Eigenwerte habe. Was muss ich denn bei nxm Matrizen beachten und kann ich die Vereinigung mit dem Nullraum nicht vernachlässigen, der steht ja auf beiden Seiten gleich??



Meine Ideen:
Hoffe ich kann es ähnlich zeigen wie für die nxn Matrizen!!!

Danke
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe steht A ist eine nxm Matrix und B eine mxn!!!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Hi stevie,

Hast Du denn schon mal ein wenig rumprobiert? Du solltest nicht vorher fragen, was Du beachten musst - das wirst Du beim Beweisen schon noch früh genug merken. Augenzwinkern

Die Null ist übrigens wichtig, da ja zum Beispiel AB regulär und BA singulär sein kann.

Gruß,
Reksilat.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe mir überlegt, dass ich den Beweis gleich führe wie bei den nxn Matrizen A und B, nur muss ich beachten, dass AB invertierbar sein kann und BA nicht. Dies decke ich ja aber bei der Beweisführung mit U {0} ab.

Stimmt das?? Kann ich den Beweis gleich führen, mit Beachtung der Invertierbarkeit??
Dies konnte man ja bei nxn Matrizen fast vernachlässigen, da AB invertierbar auch BA invertierbar impliziert! Hier habe ich den Fall das der Eigenwert 0 ist seperat behandelt...

danke
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Woher soll ich denn wissen, wie Du den Beweis bei nxn-Matrizen geführt hast? Augenzwinkern

Übrigens bist Du nicht der einzige, der an dieser Aufgabe arbeitet: klick

Gruß,
Reksilat.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Beweis:

ABv= /lambda v dann ist /lambda eine Eigenwert von AB

sei w:= Bv

dann ist BAw = BA Bv = B (ABv) = B /lambda v = /lambda Bv = /lambda w

dann ist /lambda auch ein eigenwert von BA

ist Bv = 0, dann ist B nicht invertierbar, dann ist aber auch BA nicht invertierbar und dann hat es /lambda = 0 und auch AB hat /lamda = 0
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

wie muss ich das lambda eingeben, dass man es als lambda erkennt???
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
[latex]\lambda[/latex]

Klick mal auf den Link in meiner Signatur. Augenzwinkern (
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