Vektorraum / Vektorklasse

28.04.2011, 09:29

Pascal95

Vektorraum / Vektorklasse

Hallo,

leider werden wohl die Begriffe Vektorraum / Vektorklasse nicht ganz einheitlich benutzt.

Auf Wikipedia steht nun, dass einer Vektorklasse alle Vektoren angehören, die durch Verschiebung des Vektores zu erzeugen sind.

Dann wäre der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der selben Vektorklasse wie der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec {AB} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A= (2,3,4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(3,5,7) \end{eqnarray*}$ , weil dann $\begin{eqnarray*} \vec {AB} = \vec {OB} -\vec {OA} = \vec a \end{eqnarray*}$ wieder gilt (ist also nur verschoben worden).

Ist das soweit richtig?

Allerdings habe ich in der Schule genau dasselbe unter dem Begriff Vektorraum gelernt verwirrt

Das ist offensichtlich nicht dasselbe!

Und was ist dann der Vektorraum? Hat das was damit zu tun?

Vielen Dank,
Pascal

28.04.2011, 09:44

Leopold

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Du wirfst zwei Dinge durcheinander:

1. die geometrische Definition eines Vektors (Vektor als Pfeilklasse, d.h. Verschiebung)

2. die algebraische Struktur eines Vektorraums (wie man mit Vektoren rechnet)

28.04.2011, 10:08

Pascal95

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zu 1) Das heißt also, dass der Vektor als solches identisch mit einem anderen ist, wenn er durch Verschiebung konstruiert werden kann?

zu 2) Ok, aber was ist dann eben jener Vektorraum?

28.04.2011, 10:17

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \ \ \Leftrightarrow \ \ ABDC \ \text{ist Parallelogramm} \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} ABDC \end{eqnarray*}$ die Reihenfolge beachten!

Im Begriff "Vektorraum" steckt nur drin, daß man Vektoren addieren und skalar mit einer Zahl multiplizieren kann, wobei gewisse Rechengesetze gelten ("Vektorraumaxiome"). Es geht also um den rechnerischen Umgang mit dem Objekt "Vektor". Laß dich vom Begriff "Raum" nicht irritieren. Mathematiker lieben es, geometrisch-anschauliche Begriffe auf Abstraktes zu übertragen, auch wenn nirgendwo mehr ein Raum zu sehen ist ("Wahrscheinlichkeitsraum", "Hilbert-Raum", " $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -Raum", ...).

28.04.2011, 11:06

Pascal95

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Aha, jetzt sollte es klar sein!

$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB}| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{CD}| \end{eqnarray*}$ bedeutet dann, dass die Vektoren gleich lang sind und durch die Äquivalenzbeziehung mit dem Parallelogramm wird sichergestellt, dass sie auch parallel verlaufen. Damit ist eben gleiche Länge UND gleiche Orientierung/Richtung in eins gepackt - Danke dafür!

Und der Begriff "Vektorraum" sollte nun auch klarer sein, aber einen Raum kann ich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ schon noch wahrnehmen (ist ja räumlich, dreidimensional).

28.04.2011, 11:12

Leopold

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Zitat:

Original von Pascal95
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB}| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{CD}| \end{eqnarray*}$

... ist überflüssig, da bereits in "Parallelogramm" enthalten

28.04.2011, 11:28

Pascal95

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Ja, ok. Das habe ich ja erwähnt: "Parallelogramm sagt ja beides aus: gleich lang & parallel"

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