Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung

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28.04.2011, 09:48	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Meine Frage: Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie, ohne dabei zyklische Unterräume oder gar den Satz von Cayley-Hamilton zu verwenden, dass für jede Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, gilt: $\begin{eqnarray} \chi_A(A)=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Idee: Da das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, ist klar, dass die Matrix A trigonalisierbar ist. Also reicht es, den Satz von Cayley-Hamilton nun für Dreiecksmatrixen zu beweisen. Einen Beweis habe ich (denke ich zumindest) hier http://www.scribd.com/doc/4443890/Lina-2-Mitschrift-TU-Berlin-ss08-Felsner#outer_page_19 auf Seite 15 gefunden, aber leider verstehe ich ihn nicht. Irgendwie fehlt mir selbst ein Ansatz... Vielen Dank für Eure Hilfe!
28.04.2011, 10:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Hallo Heike, "Beweisen" heißt nicht, im Internet nach einem Beweis zu suchen. Allerdings habe ich auch selbst keinen blassen Schimmer, was da im verlinkten Skript gemeint ist und insofern fällt diese Option wohl sowieso raus. Nimm Dir doch mal einen Basis $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray}$ bezüglich der $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Dreiecksgestalt hat. Es ist $\begin{eqnarray} \chi_A=(x-\lambda_1E)...(x-\lambda_nE) \end{eqnarray}$ - beachte, dass die Faktoren frei vertauschbar sind. Nun betrachte das Bild der Basisvektoren unter $\begin{eqnarray} \chi_A(A) \end{eqnarray}$ . Gruß, Reksilat.
28.04.2011, 16:52	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Hallo Reksilat! Dank für deine Hilfe. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} T^-1 \cdot A \cdot T \end{eqnarray}$ eine (obere) Dreiecksmatrix ist, T ist die Transformationsmatrix des Basiswechsels von E nach B. Neue Frage: Was ist dann meine Basis B? Wäre das T? Was ich auch nicht verstanden habe ist, wie Du auf das charakteristische Polynom kommst. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \chi_A=det( \lambda \cdot E -A) = det( A - \lambda \cdot E ) \end{eqnarray}$ gilt. Außerdem kenne ich die Eigenwerte. Diese stehen bei meiner "neuen" Dreiecksmatrix auf der Diagonalen. Aber wie komme ich dann zu $\begin{eqnarray} \chi_A= (x-\lambda_1E)...(x-\lambda_nE) \end{eqnarray}$ ? Vor allem wundert mich dass x. Ist das ein Vektor? Setze ich dann, um auf das Bild der Basisvektoren zu kommen diese statt x ein? Dann hätte ich ja aber in einer Klammer immer (Vektor- Matrix) stehen?! Grüße Heike
29.04.2011, 16:36	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Das x ist die unbestimmte des Polynoms - vielleicht heißt es bei Euch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Hingegen ist das E im Polynom zuviel, da war ich etwas voreilig. Das char. Polynom ist ein ganz normales Polynom über dem Körper, über dem auch die Matrix definiert ist. Die Form des Polynoms rührt einfach daher, dass ja vorausgesetzt wird, dass es in Linerafaktoren zerfällt. Wie man die Basis erhält ist erst mal egal, wichtig ist, dass es eine Basis gibt, so dass die Abbildung Dreiecksgestalt hat und genau das heißt ja trigonalisierbar.
29.04.2011, 18:55	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Okay... Dann weiß ich jetzt also, dass $\begin{eqnarray} \chi_A= (x-\lambda_1) (x-\lambda_2)...(x-\lambda_n) \end{eqnarray}$ das gesuchte char. Polynom ist. Wobei die $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ s meine Eigenwerte sind. Leider weiß ich nicht, wie ich das mit dem Bild der Basisvektoren anstellen soll... Muss ich in das Polynom statt x dann einen Basisvektor einsetzen? Dann bekomme ich ja wieder das Problem, dass ich einen Ausdruck mit (Vektor-Zahl ) dastehen habe?! Danke & viele Grüße Heike
29.04.2011, 19:58	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Also, ich habe mir jetzt überlegt, dass ich ja mit $\begin{eqnarray} \chi_{T^-1AT}= (x-\lambda_1) (x-\lambda_2)...(x-\lambda_n) \end{eqnarray}$ rechne. Jetzt denke ich, dass ich, um $\begin{eqnarray} \chi_{T^-1AT} (T^-1AT) \end{eqnarray}$ zu berechnen eine "riesige" $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ (Block-)Matrix bekomme?! Dann wäre z.B. mein erster oberer Block $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda_1 & \cdots & \cdots \\ 0 & \lambda_1 & \cdots \\ 0 & 0 & \lambda_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix} - (T^-1AT) \end{eqnarray}$ (der erste Block wäre also eine nxn-Matrix. ) Wenn man nun alle Blöcke zusammen betrachtet, ist ja die Matrix wieder eine obere Dreiecksmatrix, diese hat dann jedoch Nullen auf der Diagonale. Also ist die Determinante meiner Matrix null. Stimmt das?!? Grüße Heike
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29.04.2011, 21:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Dein T und diese ganze Basistransformation ist völlig überflüssig, da Du ja sowieso keine zweite Basis hast. Was sollte denn Dein T sein? Du kannst ohne jegliche Einschränkung davon ausgehen, dass Dein A Dreiecksgestalt hat. Natürlich brauchst Du für eine Matrixdarstellung eine Basis und diese nennst Du eben $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray}$ . Du kannst sogar gerne annehmen, dass das gerade die Standardbasis ist. Es ist aber nicht weiter wichtig. Die Gestalt Deiner Matrix ist nun: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\lambda_1&...&&...\\0&\lambda_2&&...\\&0&...&...\\&&0&\lambda_n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \chi_A(A)=? \end{eqnarray}$
30.04.2011, 07:58	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Guten Morgen, das charakteristische Polynom hat die Form: $\begin{eqnarray} \chi_A(A)= (A-??)(A-??)(A-??) \end{eqnarray}$ wobei ich denke, aber nicht begründen kann, dass $\begin{eqnarray} \chi_A(A)= (A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_nE) \end{eqnarray}$ richtig ist. E wäre jetzt die Basis für die Matrixdarstellung. Wenn ich das Polynom jetzt berechne bekomme ich ja Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen, die ich multipliziere. Also ist $\begin{eqnarray} \chi_A(A)= 0 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?!
30.04.2011, 15:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Wir hatten ja schon gesagt, dass das char. Polynom nach Voraussetzung die Form $\begin{eqnarray} \chi_{A}= (x-\lambda_1) (x-\lambda_2)...(x-\lambda_n) \end{eqnarray}$ hat. Dann ergibt sich, wenn man A einsetzt, eben genau das, was Du geschrieben hast. Das Problem ist jetzt, dass auf der Diagonalen nicht ausschließlich Nullen stehen, sondern eben jeweils nur an einer Stelle. In Deiner Darstellung $\begin{eqnarray} \chi_A(A)= (A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E)\cdots(A-\lambda_nE) \end{eqnarray}$ ist doch aber der erste Faktor eine Matrix, die in der ersten Spalte nur Nullen hat. Nun kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray} (A-\lambda_1E)(A-\lambda_2E) \end{eqnarray*}$ in den ersten beiden Spalten nur Nullen hat, und so weiter...
30.04.2011, 16:13	Heike	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cayley Hamilton Beweis über Trigonalisierung Jetzt hab ich's (hoffentlich) verstanden! Vielen Dank!

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