Matrix Spalten ermitteln aus eingenvektoren....

29.04.2011, 11:43

monty

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Matrix Spalten ermitteln aus eingenvektoren....

Meine Frage:
Hey,

ich hänge an folgender aufgabe :

geben:

A:

a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33

Eigenwerte von A:0,1,2

eigenvektoren (1,-1,0) (1,1,0) (0,0,1)

det=0

Gesucht:

Welchen Rang hat A?
ermitteln sie die dritte spalte von A
Ermitteln sie die restlichen Koeffizienten von A?

Es wäre klasse wenn ihr mir helfen könnten ...

Lg

Meine Ideen:
Meine Idee war es aus den eigenvektoren eine matrix zu machen doch leider komme ich so nicht auf das gewünschte ergbniss...

29.04.2011, 12:08

Mazze

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Kurze Frage, welcher Eigenvektor gehört zu welchem Eigenwert ?

29.04.2011, 12:11

monty

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Hey,

sry habe ich wohl nicht klar genug dargestellt ...

(1,1,0) mit ew=1
(0,0,1)mit ew=2
(1,-1,0)mit ew=0

Lg

29.04.2011, 12:15

Mazze

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Alles klar. Kennst Du schon den Begriff der Diagonalisierbarkeit einer Matrix ? Damit kann man die Matrix A vollständig rekonstruieren aus den Angaben. Aber zur Aufgabe :

Was können Dir die Eigenwerte einer Matrix über den Rang sagen?

Spalte 3 :

Es gilt für den Eigenwert 2 und $\begin{eqnarray*} e = (0,0,1)^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ae = 2e \end{eqnarray*}$

Wie kannst Du daraus die 3 Spalte bekommen?

29.04.2011, 12:20

monty

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Hey,

erstmal vielen Dank das du dir die mühe machst...

Nein leider kenne ich den begriff noch nicht ...

Ähm mir ist auch nicht klar was mir der eigenwert daüber ausagen kann !

Aber da die Det=0 ist kann der rang ja höchstens 2 sein oder?

Lg

29.04.2011, 12:21

Mazze

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Zitat:

Aber da die Det=0 ist kann der rang ja höchstens 2 sein oder?

Schonmal richtig.

Wenn Du eine Matrix auf Zeilenstufenform bringst, dann stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen. Wie sieht also deine Hauptdiagonale aus ? Und was sagt dir das über den Rang? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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29.04.2011, 12:23

monty

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Ae=1e e:=(1,1,0)
Ae=0e e:=(1,-1,0)

So vlt?

lg

29.04.2011, 12:24

monty

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100
020
000

lg

29.04.2011, 12:24

Mazze

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Ich frag mal anderes. Wenn Du irgendeine Matrix hast, wie würdest Du den Rang berechnen?

29.04.2011, 12:25

monty

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da die letzte zeile rausfällt ist der rang dann wohl wirklich 2 smile

smile

lg

29.04.2011, 12:26

monty

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ich bringe sie auf stufenform und schaue ob eine zeile rausfliegt ...

lg

29.04.2011, 12:30

Mazze

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Zitat:

ich bringe sie auf stufenform und schaue ob eine zeile rausfliegt ...

So, und jetzt hab ich Dir ja gesagt, dass die Einträge auf der Hauptdiagonalen in der Zeilenstufenform die Eigenwerte sind. Wie sieht also die Hauptdiagonale der Zeilenstufenform aus? Fällt eine Zeile raus?

29.04.2011, 12:32

monty

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Ja es fällt eine zeile raus die mit dem eigenwert 0

Lg

29.04.2011, 12:33

monty

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die zeilen stufen form:

110
000
002

29.04.2011, 12:37

Mazze

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Zitat:

die zeilen stufen form:

Naja fast, über das, was oberhalb der Hauptdiagonalen steht wissen wir ja nichts.

Besser :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sieht die Zeilenstufenform aus mit den Infos die wir haben. Man sieht sofort, dass man Zeile 2 bzw. Zeile 3 eliminieren kann => Rang 2.

29.04.2011, 12:41

monty

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Hey,

ja macht sinn wäre auch zu schön wir die aufgaben so schnell gelöst hätten Augenzwinkern

Augenzwinkern

nun wie komme ich jetzt auf die orginal martix?

Lg

29.04.2011, 12:42

Mazze

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Fang erstmal mit Aufgabenteil b) an. Sieh dir nochmal an, was ich dazu gepstet habe oben.

29.04.2011, 12:44

monty

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die dritte spalte der matrix ist ja schon bekannt : (0,0,2)

zumindest wenn ich es ales richitg verstanden habe...

lg

29.04.2011, 12:48

Mazze

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Ja, das ist die dritte Spalte. Zu den andern beiden :

Die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} Ae_1 = 1e_1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} Ae_2 = 0 \end{eqnarray*}$

liefern ein Gleichungssystem, welches zu lösen ist.

29.04.2011, 12:59

monty

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Hey,

Kannst du mir vlt einen anstoss geben wie ich das Gleichungssystem aufstelle?
leider tue ich mich dabei immer etwas schwer traurig

traurig

...

lg

29.04.2011, 13:01

Mazze

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Du musst Doch nur

$\begin{eqnarray*} Ae_1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen und gleichsetzen mit $\begin{eqnarray*} 1e_1 \end{eqnarray*}$ . Da ist doch nichts schweres dran.

(ich bezeichne mit e1 den Eigenvektor zum Eigenwert 1 und mit e2 den Eigenvektor zum Eigenwert 0)

29.04.2011, 13:09

monty

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also

1 a b
0 0 c *(1,1,0)=(1,1,0)
0 0 2

dann müsste a =1 und b=0

ist das korrekt so ?

sry das ich mich da so blöde anstelle

Lg

29.04.2011, 13:11

Mazze

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Zitat:

ist das korrekt so ?

Nein, die Zeilenstufenform haben wir lediglich benutzt , um den Rang festzustellen. Wir wollen doch aber die Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmen,

sprich, Du musst

$\begin{eqnarray*} Ae_1 = 1*e_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ae_2 = 0 \end{eqnarray*}$

betrachten.

29.04.2011, 13:17

monty

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okay nur mein problem ist das ich nicht weiss wie ich

Ae1=1* e1

aufstelle bzw wie sowas auszusehen hat ...es mir ja schon echt peinich
traurig

traurig

lg

29.04.2011, 13:20

Mazze

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Du wirst Doch wohl das Matrixprodukt (für e1)

$\begin{eqnarray*} Ae_1 = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausrechnen können.

29.04.2011, 13:33

monty

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okay ich habs musste mir erst noch die matrix multiplkation kurz anschauen (schäm)

so also

a1+a2=1 daher a1=1/2 a2=1/2 b3=0
b1+b2=1 b2=1/2 b2=1/2 b3=0

jetzt habe ich doch alle werte oder ? für was brauche ich dann noch den zweiten eigenvektor?

lg

29.04.2011, 13:36

Mazze

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Du kannst aus

$\begin{eqnarray*} a_1 + a_2 = 1 \end{eqnarray*}$

nicht schließen dass $\begin{eqnarray*} a_1 = a_2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Es gibt für dise Gleichung unendlich viele Lösungen. Offensichtlich wäre
$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{3}, a_2 = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

auch eine Lösung. Damit tatsächlich

$\begin{eqnarray*} a_1 = a_2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

gelten muss (!), brauchst Du die zweite Gleichung.

edit : Im Übrigen kennen dir die Werte für $\begin{eqnarray*} a_3,b_3,c_3 \end{eqnarray*}$ bereits aus Aufgabenteil b).

29.04.2011, 13:38

monty

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ist er einfach als kontrolle gedacht bzw kann dafür verwendet werden?

a1-a2=0
b1-b2=0

daher wäre ja mein hart erkämpftes ergbniss bestätigt oder?

lg

29.04.2011, 13:40

Mazze

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Was ist mit $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ ?

29.04.2011, 13:43

monty

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Ich kenne die letzte zeile der matrix ja schon sie muss : 0,0,2

Lg

29.04.2011, 13:45

Mazze

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Ließ nochmal genau nach was wir in Teil b bestimmt haben.

29.04.2011, 13:49

monty

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"ermitteln sie die dritte spalte von A"-> daraus folgere ich das c1=0 c2=0 c3=2
sein ich habe gerade auch die lösung nach geschlagen und laut lösung stimmt das ergebniss...

lg

29.04.2011, 13:52

Mazze

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Dir ist schon klar das c1 c2 c3 die dritte Zeile und nicht die dritte Spalte ist. In Teil b) haben wir die dritte Spalte bestimmt, sprich $\begin{eqnarray*} a_3,b_3,c_3 \end{eqnarray*}$ . Es ist Zufall dass hier auch die gleichen Werte herauskommen, aber dein Korrektor wird dir dafür Punkt abziehen (sofern er nicht stur nach Ergebnis korrigiert).

29.04.2011, 13:58

monty

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okay du hast recht ...war ja eigentlich auch klar...naja dann müsste die sache ja gleich funtionieren wie mit den anderen beiden zeilen ich probiere das jetzt einfach mal aus...

lg

29.04.2011, 13:59

Mazze

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Ja, das geht ganz genauso!

29.04.2011, 14:11

monty

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okay ,

aus dem Ae2=2*e2 bekomme ich c3=2
Ae1=1*e1 bekomme ich c1+c2=0
Ae3=0*e3 bekomme ich c1-c2=0

nun zu meiner frage woher weiss ich das c1 und c2 nicht 1 sind sonder null?

und noch eine letzt zur stufenform:

1 a b
0 0 c
0 0 2

in dieser ist doch c1 und c2 ebenso c3 schon aufgeführt aber nicht die dritte spalte?

Lg und vieln dank das du dir soviel zeit nimmst

29.04.2011, 14:13

Mazze

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Zitat:

nun zu meiner frage woher weiss ich das c1 und c2 nicht 1 sind sonder null?

Du hast zwei Gleichungen :

$\begin{eqnarray*} c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1 - c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 unbekannten. Das kann man leicht lösen. Die einzige Lösung ist c_1 = c_2 = 0.

Zitat:

in dieser ist doch c1 und c2 ebenso c3 schon aufgeführt aber nicht die dritte spalte?

Das ist aber die Zeilenstufenform von A , wir wollen aber A bestimmen und nicht dessen Zeilenstufenform.

29.04.2011, 14:18

monty

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okay habs geschnallt klar gibt nur eine lösung für das lgs. Im prinzip hätte also das lösen des lgs mit den eigenvektoren also gereicht um b ebenso zu lösen...

Vielen Vielen Dank Lg

29.04.2011, 14:20

Mazze

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Zitat:

okay habs geschnallt klar gibt nur eine lösung für das lgs. Im prinzip hätte also das lösen des lgs mit den eigenvektoren also gereicht um b ebenso zu lösen...

Der einzige Unterschied war, dass man für die 3. Spalte nur ein Gleichungssystem betrachten musste, für die andern beiden 2.

29.04.2011, 14:40

monty

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alles klar puhh danke danke danke

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