Quadraturformel bis zu welchem Polynomgrad

29.04.2011, 12:59

Riemannson

Quadraturformel bis zu welchem Polynomgrad

Hallo,

ich hab folgendes Problem: Es sei

$\begin{eqnarray*} \int_t^{t+h} g(s) ds = \frac{h}{4}\bigg[ g(t)+3g(t+\frac{2}{3}h)\bigg] \end{eqnarray*}$

und nun soll ich das größtmögliche $\begin{eqnarray*} d\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ angeben, sodass alle Polynome d-ten Grades durch obige Formel exakt integriert werden.

Was ich (durch Probieren) schon rausgefunden hab: d<3

also würde ich auf d=2 tippen! Doch funktioniert das auch wirklich bei allen polynomen 2ten Grades? Gibt es eine möglichkeit das exakt zu bestimmen (ohne ausprobieren Augenzwinkern

)

oder ist das wie bei der interpolation, da 2 stützstellen einfließen ist d max 1 ?

29.04.2011, 13:28

Math1986

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RE: Quadraturformel bis zu welchem Polynomgrad
Es genügt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ exakt integriert wird, auf Grund der Linearität des Integrals werden dann auch alle anderen Polynome dieses Grades exakt integriert

29.04.2011, 15:00

Black

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Die Exaktheit muss für alle Basisfunktionen gezeigt werden, das heißt für $\begin{eqnarray*} 1,x,x^2 \end{eqnarray*}$ .
Es reicht nicht nur zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ exakt integriert wird.

29.04.2011, 15:10

Riemannson

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okay danke soweit, ich setz mich montag wieder ran.... bis dahin....

02.05.2011, 12:52

Riemannson

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okay ich hab jetzt die exaktheit für $\begin{eqnarray*} 1,x,x^2 \end{eqnarray*}$ bewiesen, doch wie argumentiere ich dass das ganze jetzt z.b. für $\begin{eqnarray*} x+5 \end{eqnarray*}$ auch gilt?

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

nun hab ich auf obige Formel basierendes Verfahren:

$\begin{eqnarray*} x_{j+\frac{2}{3}}=x_j+\frac{h}{3}\bigg[ f(t_j,x_j)+f(t_j+\frac{2}{3}h,x_j+\frac{2}{3}hf(t_j,x_j))\bigg] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{j+1}=x_j+\frac{h}{4}\bigg[f(t_j,x_j)+3f(t_j+\frac{2}{3}h,x_{j+\frac{2}{3}})\bigg] \end{eqnarray*}$
und soll Butcher Schema und konsistenzordnung 3 zeigen

also ist

$\begin{eqnarray*} x_{j+1}=x_j+h\bigg(\frac{1}{4}k_1+\frac{3}{4}k_2\bigg) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1=f(t_j+0h,x_j+h(0k_1+0k_2)=f(t_j,x_j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2=f(t_j+\frac{2}{3}h,x_j+h(\frac{1}{3}k_1+???k_2) \end{eqnarray*}$
??? da hab ich den Überblick verloren kann jmd helfen?

Butcher müsste doch dann so aussehen

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c}0&0&0 ?&?&? \hline &\frac{1}{4}&\frac{3}{4} \end{array} \end{eqnarray*}$

verwirrt

02.05.2011, 14:02

Math1986

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Zitat:

Original von Riemannson
okay ich hab jetzt die exaktheit für $\begin{eqnarray*} 1,x,x^2 \end{eqnarray*}$ bewiesen, doch wie argumentiere ich dass das ganze jetzt z.b. für $\begin{eqnarray*} x+5 \end{eqnarray*}$ auch gilt?

Das folgt, wie gesagt, aus der Linearität des Integrals:
$\begin{eqnarray*} \int x+5 dx = \int x dx + \int 5 dx \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 16:01

Riemannson

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Das folgt, wie gesagt, aus der Linearität des Integrals:
$\begin{eqnarray*} \int x+5 dx = \int x dx + \int 5 dx \end{eqnarray*}$

alles klar danke Freude

$\begin{eqnarray*} \hline \end{eqnarray*}$

das mit dem Butcher schema oben kann aber nicht stimmen, da ja konsistenzordnung 3 müssen auch wenigstens 3 stufen existieren nicht nur 2 wie oben!

ich gehe mal davon aus, dass es optimal ist (also genau 3 stufen) und da es explizit ist müsste Butcher Schema so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c} 0&0&0&0 ?&?&0&0 ?&?&?&0 \hline &?&?&? \end{array} \end{eqnarray*}$

doch wie bestimme ich die ?

02.05.2011, 17:35

Riemannson

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okay nach etwas hin und her hab ich jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c}0&0&0&0 \frac{2}{3}&\frac{2}{3}&0&0 \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0 \hline &\frac{1}{4}&0&\frac{3}{4} \end{array} \end{eqnarray*}$

wenns jemand bestätigen könnte wärs super Augenzwinkern

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