Funktionsanalyse einer Wurzelfunktion |
| 29.04.2011, 17:39 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Funktionsanalyse einer Wurzelfunktion Ich muss eine Funktionsanalyse einer Wurzelfunktion durchführen. Also auf Monotonie, Krümmungsverhalten und Wendepunkte usw. eingehen Bisher habe ich Definitionsbereich, Nullstellen und Symmetrie betrachtet. In der angehängten pdf-Datei ist mein bisheriger Ansatz aufgeschrieben und es wäre nett wenn ihr sagen könntet, ob das bisher in Ordnung ist. Mein Problem ist nun, dass zur Untersuchung von Monotonie und etc. die Ableitung gebildet werden muss. Dazu habe ich die Funktion in zwei Hilfsfunktionen aufgeteilt: Ich habe mich dann auf die Funktion f konzentriert, da ja fast alles analog auch für g gilt. Die Ableitung von f ist nun . Dabei ist die Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Kann ich das damit begründen, dass folgendes gilt? 
Wenn ich diese Funktion betrachte, dann existiert sie aber für negative x gar nicht, denn negative Radikanten sind bei mir im Unterrich noch nicht erlaubt (wir haben noch keine komplexen Zahlen eingeführt). Und da genau liegt mein Problem... Wie kann ich nun eine Ableitung erstellen sodass ich Monotonie usw. auswerten kann?Es wäre sehr nett wenn ihr mein pdf-Dokument überprüfen könntet und mir einen Tipp zur Ableitung geben könntet. 
mfg xparet0209 [attach]19377[/attach] Edit: Der Graph in der PDF ist etwas schlecht gewählt, deshalb hier nochmal ein besseres Bild:  http://s7.directupload.net/images/110429/temp/b3b4fx9f.png |
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| 29.04.2011, 18:40 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kurze Zwischenfrage: Die Vermutung, dass hier eine Funktion vorliegt ist von Dir? Das ist nämlich falsch. Es handelt sich um eine Relation und daher macht eine Funktionsanalyse erst einmal keinen Sinn. |
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| 29.04.2011, 18:53 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja du hast recht. Eine Funktion ist ja als eindeutige Abbildung der einen Menge auf eine andere definiert(oder so ähnlich). Somit wären die Bezeichungen falsch. Allerdings kann man solche Relationen doch aufteilen in Hilfsfunktionen., wodurch eine Analyse möglich wäre oder? Wie drückt man denn aus, dass die Relationen einen "Definitionsbereich" hat? Kann man dann sagen: "Der Graph der Relation ist ungerade und ungerade"? Edit: Ich habe mal auf wiki geschaut. Dort wird gesagt, dass parametrische Kurven Spezialfälle sind. Könnte man diese Relation nicht auf dazu zählen und somit als Funktion bezeichnen? Ich hätte dann weniger Probleme bei der Formulierung. |
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| 29.04.2011, 19:18 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich merke grad das ich für das Bild einen falschen Link eingefügt habe. Hier der richtige: http://s7.directupload.net/file/d/2509/cgqmcx36_png.htm |
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| 29.04.2011, 21:34 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich kannst Du die Kurve als parametrische Funktion auffassen, nur ist das dann eine Abbildung von auf , was dann den Begriff der Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen erfordert und der wird normalerweise erst im zweiten Studiensemester behandelt (Mal davon abgesehen, dass diese Differenzierbarkeit sich auf Änderungen des Parameters und nicht des x-Wertes bezieht). Ich stelle noch einmal die Frage, wofür du die Funktionsanalyse brauchst? Ist das eine Facharbeit? Wenn ja, solltest Du eine klare Aufgabe bekommen haben und Dich daran orientieren. Zum Thema Aufteilung in zwei Funktionen: Geht schon, aber dann untersuchst Du jeweils nur einen Teil der Relation. Nehmen wir mal als Beispiel den Einheitskreis x²+y²=1. Hat diese Relation bei x=0 einen Hoch- oder einen Tiefpunkt? Schließlich steht 0 sowohl zu 1 wie auch -1 in Relation. |
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| 29.04.2011, 22:37 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die Aufgabe habe ich als Auftrag von meinem Lehrer bekommen (11. Klasse). Sie soll dann in der Klasse diskutiert werden. Da ich mehrdimensionale Differenzierbarkeit noch nicht hatte bleibt wohl nur die Aufteilung übrig. Dein beschriebens Problem hab ich in ähnlicher Weise bei der Stelle 0, die auch hier nicht differenzierbar ist. Ich habe das ganze ein weiteres Mal aufgeteilt, sodass ich im Intervall ]-8;0[ die Funktion habe und im Intervall ]0;8[ . Diese Aufteilung muss ich machen, weil im Nenner der einfachen Ableitung sonst x^(1/3) stehen würde. Da ich aber keine 3. Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann, wäre die normale Ableitung für negative x gar nicht definiert... Nun zum Problem: Mit der Stetigkeit von f und dem Monotoniesatz, folgt ein streng monotones Fallen für f über [0;8] und streng monotones Wachsen über [-8;0]. Somit ist aber die 0 in beiden Intervallen
. Das ist deinem geschildertem Problem wie gesagt ganz ähnlich, doch wie gehe ich damit um? Mir bleibt ja nichts anderes übrig als die Aufteilung oder?Ich habe während dessen mal weiter geschrieben. Hier die aktuelle pdf: [attach]19380[/attach] |
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| 30.04.2011, 13:15 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist meine vorläufige Version. Der Graph musst raus, da die Datei sonst zu groß wäre. Könntet ihr mal schauen ob es so in Ordnung ist? Ich habe leider immer noch keine Antwort auf die Frage, wie man mit den Begriffen umgeht. Also ob man sagen kann die "Funktion"/"Relation" ist (un)gerade und der Definitionsbereich der Realtion ist ... Außerdem ist beim Monotonie- und Krümmungsverhalten die Frage wie man die Stelle 0 behandelt. Ich würde auch gerne wissen wollen obe die Formulierung bei den Extrema in Ordnung sind. mfg xparet0209 [attach]19388[/attach] |
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| 30.04.2011, 13:46 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde es immer noch für das sinnvollste halten, wenn Du erst einmal bei deinem Lehrer nachfragst, ob die Relation beabsichtigt ist, oder er sich vielleicht vertan hat (Es könnte ja z.B. auch gemeint sein, oder das Quadrat ist versehentlich in die Aufgabe gerutscht). Solltest Du dazu keine Möglichkeit mehr haben, oder es, aus welchen Gründen auch immer, nicht wollen, dann erkläre einfach am Anfang deines Textes, dass sich die Relation aus zwei zueinander spiegelverkehrten Funktionsgraphen zusammensetzt, die Du im weiteren betrachtest. |
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| 30.04.2011, 14:20 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein nein die Aufgabe ist schon richtig. Wir behandeln momentan diesen Typ von "Relationen". Das mit der Zusammensetzung aus 2 Funktioinen werde ich übernehmen. Es bleiben aber immer noch die Probleme bei der Ableitung, da die Hilfsfunktionen bei 0 und an den Rändern nicht differenzierbar sind. Ich habe daher Probleme auf Krümmungs- und Monotonieverhalten zu schließen... |
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| 30.04.2011, 14:50 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bzgl. Monotonieverhalten: Das mit der fehlenden Differenzierbarkeit am Rand stimmt nicht. Du kannst zwar bei x=-8 keinen linksseitigen Grenzwert bilden, was aber klar ist, da die Funktion dort ja nicht einmal definiert ist. Trotzdem ist sie differenzierbar, da der rechtsseitige Grenzwert existiert. Dein Problem mit der Stelle 0 kann ich nicht ganz nachvollziehen, da Du doch im positiven und negativen jeweils Differenzierbarkeit hast. Wenn Du also auf die Stetigkeit verweist, sollte klar sein, wie die Funktion sich verhält, nämlich durchgehend aber eben nicht glatt. |
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| 30.04.2011, 15:06 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Schule haben wir Differenzierbarkeit einer Stelle so definierrt, dass die Stelle beidseitig differenzierbar sein muss und die Grenzwerte übereinstimmen. Da an den Rändern die Stelle nur einseitig differenzierbar ist, müsste sie folglich nicht differenzierbar sein oder? Zur Monotonie: f wächst streng monoton über dem Intervall [-8; 0] und fälltüber [0; 8] streng monoton. Das war meine Schlussfolgerung aus dem Monotoniesatz und der Stetigkeit von f. Ist es nun ein Problem, wenn die Stelle 0 in beiden Intervallen vokommt? Oder ist es einfach nur ein Zeichen dafür, dass an dieser Stelle ein Monotoniewechsel stattfindet? |
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| 30.04.2011, 18:53 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Neben den vorherigen Fragen fällt mir noch eine ein
Wie ist es bei dem Krümmungsverhalten? Kann ich sagen das f auch bei den Rändern und bei 0 konvex ist? Denn f' und f'' sind ja nicht definiert an diesen Stellen... Ich habe eine bessere Lösung für die Ableitungen gefunden: [attach]19393[/attach] |
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| 30.04.2011, 20:42 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann habt ihr das falsch definiert. Es muss der Differenzenquotient für jede gegen strebende Folge definiert sein und stets denselben Wert ergeben. Das ist hier nicht der Fall !
Ja ist es, weil die Funktion in einem Punkt nicht gleichzeitig steigend und fallend sein kann. Es gibt in dem Punkt selbst keine Steigung, also gehört x=0 zu keinem der beiden Bereiche. Bzgl. der Krümmung: Wie stellst Du die eine in einem einzelnen Punkt konvexe Funktion vor? |
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| 30.04.2011, 23:31 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[/quote] Dann habt ihr das falsch definiert. Es muss der Differenzenquotient für jede gegen strebende Folge definiert sein und stets denselben Wert ergeben. Das ist hier nicht der Fall ! [/quote] Heißt das also, dass für Differenzierbarkeit am Rand nur einseitige Grenzwerte ausreichen? Das hieße also das f'(x) im Intervall [-8;8]\{0} definiert wäre. Somit könnte ich sagen, dass ff streng monoton über dem Intervall [-8; 0[ wächst und über [0; 8] fällt. Mit der Stetigkeit lässt sich also nicht auf die Stelle 0 schließen - richtig? Kann zu der Stelle überhaupt etwas gesagen werden? Zum Krümmungsverhalten: Ich weiß ja das f im Intervall ]-8;8[\{0} konvex ist. Doch leider ist f'' am Rand und an der Stelle 0 nicht definiert... Kann ich nun überhaupt Aussagen über die Stellen bzw. über Intervalle, die diese Stellen enthalten treffen? Warum ist geht f'' am Rand gegen Unendlich? - Der Graph von f' sieht gar nicht danach aus. Das ganze kann man zwar mit Limes des Differenzenquotionen begründen, aber warum ist das so kontraintuitiv? 
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| 02.05.2011, 18:19 | xparet0209 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe die Sache mit der 2. Ableitung jetzt doch eingehsehen- mein Fehler war, dass ich f statt f' betrachtet habe... Und da ich mich beim letzten Post verschrieben habe und das verwirrend sein könnte - hier noch mal: Heißt das also, dass für Differenzierbarkeit am Rand nur einseitige Grenzwerte ausreichen? Das hieße also das f'(x) im Intervall [-8;8]\{0} definiert wäre. Somit könnte ich sagen, dass f streng monoton über dem Intervall [-8; 0[ wächst und über ]0; 8] fällt. Mit der Stetigkeit lässt sich also nicht auf die Stelle 0 schließen - richtig? Kann zu der Stelle überhaupt etwas gesagen werden, außer dass es ein Maximum ist? Zum Krümmungsverhalten: Ich weiß ja das f im Intervall ]-8;8[\{0} konvex ist. Doch leider ist f'' am Rand und an der Stelle 0 nicht definiert... Kann ich nun überhaupt Aussagen zum Krümmungverhalten über die Intervalle [-8;0[ und ]0;8] bzw. [-8;0] und [0;8] treffen? |
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