Offene Mengen skizzieren

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El Rey Auf diesen Beitrag antworten »
Offene Mengen skizzieren
Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich sitze hier grad an folgender aufgabe und finde keinen ansatz

skizziere jeweils die offene Menge bzgl. der Abstände die von den Normen sowie von der französischen eisenbahnmetrik induziert werden

Meine Ideen:
ich weis das man den vektor als mittelpunkt setzt aber weiter komme ich nich

kann mir da wer helfen ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Was mir schon öfters aufgefallen ist: Du studierst in Dortmund beim lieben Herrn Röger, was? Augenzwinkern Vielleicht sogar Statistik?

Die Definitionen kennst du. Beginne mit der 2-Norm, die ist am einfachsten. Schreib mal die Menge konkret auf.
 
 
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

is nich die 1-norm am einfachsten ??



meinst du so ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, jedem das seine, die 2-Norm entspricht der weitläufigen Vorstellung eines Kreises, deswegen halte ich sie für einfach.

Das, was du aufschreibst, kann nicht richtig sein. Wann ist denn ein Vektor kleiner als 1, also eine reelle Zahl?

. An Stelle der Normstriche steht jeweils die passende Norm.

So, jetzt nenn und schreib das ganze noch mal sauber auf.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

also so dann



aber wie macht man damit weiter ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Setz die Definition der 2-Norm ein, meinetwegen auch der 1 oder Unendlich-Norm und schreib die aus.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay nehm ich mal die einnorm ne Big Laugh

das is ja dann ganz einfach das skalarprodukt mit sich selbst also ergibt sich dann



weiter ergbit sich dann



und das ergitb dann

und das soll dann kleiner eins sein

aber wie hilft mir das ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine PN, El Rey. Schau mal in dein Postfach. Augenzwinkern

Du hast richtig gerechnet, aber das ist nicht die 1-Norm, sondern die 2-Norm. Und außerdem muss da noch ein Wurzelzeichen drüber. So ist die definiert. Du kannst aber die Ungleichung gleich quadrieren und das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten, das liegt an der strengen Monotonie der Wurzel von x² (für x > 0).

Die 1-Norm ist in diesem Fall . Schau noch mal ins Skript.

Für deine hergeleitete Ungleichung sollte dein Schulwissen helfen. Wenn nicht, dann guck mal hier.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aber man soll das ja skizzieren wozu soll ich da mit na ungleichung rumrechnen ?? oder übersehe ich was ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber diese Ungleichung sagt dir, was genau das ist. Also, wie gesagt, ist ja fast alles gut. Du hast raus (Wurzel muss drüber):

.

Der Wikiartikel sagt dir jetzt, dass das ein "klassischer" Kreis ist, den du mit einem Zirkel zeichnen kannst. Und den Mittelpunkt hast du auch.

Falls du das verstanden hast, dann mach mit der Maximumsnorm weiter.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay also is der vektor der mittelpunkt und 1 der radius ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt. (Bzw. der Punkt, der durch den Vektor repräsentiert wird, aber sind wir mal nicht päpstlicher als der Papst.) Das muss auch so sein, denn du bestimmst ja gerade die Kugeln um (1,2) mit Radius 1. Deine Menge ist dann natürlich das, was drinnen liegt.

Gut, dann mal weiter. Freude
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich dachte die is offen is sie dann nich abgeschlossen ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt auf Abgeschlossenheit? Die offenen Kgeln sind offen, deswegen hat man sie so genannt. Ziehe die Kreislinie um (1,2), Radius 1. Alles, was drinnen liegt, ist deine Menge, ohne die Linie.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aso joa das macht sinn ne Big Laugh
i-wie is das thema nich so meins Big Laugh
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

kommt bei der einsnorm en rechteck raus ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Joa ... aber es liegt schief.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

woran siehst du das ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wie die Definition aussieht, hab ich dir aufgeschrieben.

Einen Überblick bekommst du hier. Man könnte sich das alles mit Mittelpunkt (0,0) klarmachen und dann durch Verschiebung argumentieren. Oder sofort mit Definition den Ausdruck umformen. Durch die Beträge musst du vier Fälle beachten.Einer wäre und so weiter ...
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay die bilder helfen aber wie kommt man auf die veschiedenen fälle ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das hab ich doch schon geschrieben. unglücklich Nun gut, ich mach dir Fall 1 vor, den Rest musst du dann aber machen.

.

So, wir formen jetzt den hinteren Teil um:

.

Jetzt untersuchen wir den Fall :

.

Das ergibt die eine Seite (nämlich die oben rechts). Und jetzt könnte eine der beiden Variablen auch kleiner sein, oder beide. Macht drei restliche Fälle.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann jez zwar die rechnung nachvollziehen aber mir fehlt noch der bezug zur anschaung
was teilt mit das denn jez mit ?? woher weis ich das das die seite is ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Geradengleichung. Tu mal so, als stünde da ein =. Die kannst du einzeichnen, aber nur in den betrachteten Bereichen. Und du hast ja nur die Eigenschaft, die gelten soll, umgeformt.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich glaub so langsam versteh ich das aber kann man dann den überhaupt genau angeben wie die ecken des rechtecks liegen ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man. Wenn du die vier Geraden zeichnest, dann schneiden die sich ja. Berechnen könntest du sie natürlich durch gleichsetzen auch, aber du sollst die ja nur skizzieren.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann hab ich das mit der 1 norm auch drauf denk ich
bei der supremumsnorm bekommt man ein quadrat kannst du mir das auch noch erklärn ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist noch mit das einfachste.

Jetzt gucken wir uns das an: .

Was heißt das? Wo ist ? Zeichne die jeweiligen senk- bzw. waagerechten Linien ein.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

wie sieht man denn daraus das quadratische ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beantworte doch erst mal die Frage, bitte.

Zitat:
Original von Cel
Wo ist ?
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

vom mittelpunkt aus unten links oder nich ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm? Das sind zwei Gleichungen, die kannst du doch lösen? Welche Zahlen muss man für x1 und x2 einsetzen, dami sie erfüllt sind?
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

also das gilt für und richtig ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und zeichne nun die Geraden und ein, das sind senkrechte Linien. Und zeichne auch die Geraden und ein, das sind waagerechte Linien. Und schon ergibt sich dort irgendwo ein Rechteck. smile
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay is eigentlich wirklich recht einfach Big Laugh
man soll das ja auch noch für die französische eisenbahnmetrik machen das sind ja alles 2normen aber i-wie weis ich trotzdem nich wie man da ansetzt
kannst du mir vllt dazu auch noch en tipp geben ???
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir mal dieses Dokument an, vor allem die Darstellung der Kugel unten. Berechne die Norm von dem Mittelpunkt der Kugel und bedenke, dass die Kugel Radius 1 haben soll.
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

kommt man damit auf eine ellipse ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm ... nein. Verstehst du die Darstellung unten? Welche Länge hat der Vektor des Mittelpunktes (1,2)? Welchen Fall musst du nur berücksichtigen?
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

eig müssen wir ja nur norm von x größer als epsilon berücksichtigen oder nich ??
El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

oder is das en kreis mit r als 1+ oder - epsilon durch norm x ??
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt schon, dass man nur den ersten Fall betrachten muss. Beachte, dass das x aus dem pdf fest ist, es entspricht deinem Vektor . Setz mal alles ein, was bekannt ist. Was stellt dieses dar?
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