Gruppenhomomorphismus / abelsche Gruppe - Seite 2

01.05.2011, 01:21

Pascal95

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Das ist m.E. kein Zirkelschluss, denn wir gehen ja davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \forall a,b\in G: (a \circ b)^{-1}=a^{-1} \circ b^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Oder ist das jetzt das Problem mit vertauschen???

Ich denke $\begin{eqnarray*} (b \circ a)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ darf man NICHT schreiben, weil $\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ (zuerst) nur gilt!

01.05.2011, 01:24

zweiundvierzig

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Einen Zirkelschluss hast Du nicht gemacht, aber ein bisschen mehr als eine Tautologie wollen wir ja schon zeigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Pascal95
Ich denke $\begin{eqnarray*} (b \circ a)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ darf man NICHT schreiben, weil $\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ (zuerst) nur gilt!

Lies' bitte mein letztes Posting.

01.05.2011, 01:30

Pascal95

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Ach Mist, ich hab vergessen was gegeben war - Natürlich dürfen wir schreiben:

Davon sind wir ausgegangen:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in G: (a \circ b)^{-1}=a^{-1} \circ b^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann darf man natürlich schreiben:
$\begin{eqnarray*} (b \circ a)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$

Tautologie ist doch sowas, was immer wahr ist... ?

[attach]19398[/attach]

01.05.2011, 01:33

zweiundvierzig

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Sieht sehr gut aus. smile

smile

Bloß beim dritten Gleichheitszeichen könntest Du noch auf die Voraussetzung verweisen, dass die Inversion ein Homomorphismus ist, aber erörtert hatten wir das ja gerade schon. Wink

Wink

01.05.2011, 01:36

Pascal95

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Aber das würde mich trotzdem interessieren, warum

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ immer in Gruppen gilt, wobei $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse darstellen soll.

Dabei würde ich argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} a \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$ ....

01.05.2011, 01:41

zweiundvierzig

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Kein schlechter Ansatz, bloß interessiert uns ja nicht direkt das Inverse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

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01.05.2011, 01:42

Pascal95

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Sondern wieder dessen Inverses....

01.05.2011, 01:43

zweiundvierzig

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D.h...?

01.05.2011, 01:46

Pascal95

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Das ist dann wieder $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Also machen wir so:

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Obwohl man hier ja die Behauptung schon benutzt: $\begin{eqnarray*} a=(a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 01:46

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Obwohl man hier ja die Behauptung schon benutzt: $\begin{eqnarray*} a=(a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

Aha, wo denn?

01.05.2011, 01:49

Pascal95

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Naja, ich schrieb doch:

$\begin{eqnarray*} a \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

und dann habe ich $\begin{eqnarray*} a=(a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ gesetzt (was man nicht machen soll, weil ich es beweisen will)

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$ steht denn da

01.05.2011, 01:51

zweiundvierzig

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Wir wissen $\begin{eqnarray*} x^{-1} \circ x = e \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ . Jetzt nehme ich mir mal ein $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ und sage ganz vorsichtig $\begin{eqnarray*} x := a^{-1} \end{eqnarray*}$ ...

01.05.2011, 01:54

Pascal95

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Ja es gilt $\begin{eqnarray*} \forall x \in G: x^{-1} \circ x = e \end{eqnarray*}$ , wenn mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ in der Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Du definierst
$\begin{eqnarray*} x := a^{-1} \end{eqnarray*}$

Also ist:
$\begin{eqnarray*} x^{-1} \circ x = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Das heißt also, dass $\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ invers ist.

01.05.2011, 01:55

zweiundvierzig

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Richtig. Und wohin führt uns das mit Blick auf die Aufgabe?

01.05.2011, 01:57

Pascal95

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Welche Aufgabe?
Meinst du $\begin{eqnarray*} a=(a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2011, 02:00

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber das würde mich trotzdem interessieren, warum

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ =a immer in Gruppen gilt, wobei $\begin{eqnarray*} ^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse darstellen soll.

Sinngemäße Ergänzung von mir.

01.05.2011, 02:03

Pascal95

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Achso, klar.

$\begin{eqnarray*} (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ ist zu $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ invers.

Wenn man $\begin{eqnarray*} x=a^{-1} \end{eqnarray*}$ eingesetzt hat, kommt raus:
$\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:04

zweiundvierzig

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Ja, ich glaube, das haben wir jetzt mittlerweile alle verstanden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was bringt das nun aber für die Aufgabe (s.o.)?

01.05.2011, 02:06

Pascal95

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Es kommt ein "hoch minus eins" dazu und es wird invers das gilt immer.

Wenn man nun zu einem bereits Inverssen ein "hoch minus eins" dazutut, dann hat man das Inverse vom Inversen von a = a...

01.05.2011, 02:07

zweiundvierzig

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Was auch immer Du damit meinst: es geht einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2011, 02:11

Pascal95

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Was auch immer Du damit meinst: es geht einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hmmm,

Hammer

$\begin{eqnarray*} \leftarrow \end{eqnarray*}$ bin ich und kriege es nicht hin.

01.05.2011, 02:12

zweiundvierzig

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Immer mit der Ruhe. Wink

Wink

Wir haben $\begin{eqnarray*} a^{-1} \circ (a^{-1})^{-1} = e \end{eqnarray*}$ und wollen eine Aussage über $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ treffen. Wie ist der einfachste Weg, das hinzukriegen?

01.05.2011, 02:17

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} a^{-1} \circ (a^{-1})^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Das kann man ja wie mit dem von vorhin machen:

$\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann also $\begin{eqnarray*} (a^{-1} \circ a)^{-1} = e \end{eqnarray*}$ also ebben $\begin{eqnarray*} e^{-1} = e \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} a^{-1} \circ a = e \end{eqnarray*}$ und deswegen $\begin{eqnarray*} e^{-1}=e \end{eqnarray*}$ und das ist ja sowieso.

01.05.2011, 02:20

zweiundvierzig

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Ich sehe da nirgends $\begin{eqnarray*} a=\ldots \end{eqnarray*}$ . Nimm' doch das "einfach" aus meinem letzten Post wörtlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2011, 02:21

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} a = a \circ ( a^{-1} \circ (a^{-1})^{-1} ) \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:23

zweiundvierzig

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Ja, und wie geht's auf der rechten Seite weiter? Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.05.2011, 02:25

Pascal95

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Ich kann es einfach nicht glauben, dass soetwas einfaches das richtige ist.... geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} a = a \circ ( a^{-1} \circ (a^{-1})^{-1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = a \circ a^{-1} \circ (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ wegen Assoziativgesetz

$\begin{eqnarray*} a = (a \circ a^{-1}) \circ (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ wegen Assoziativgesetz

$\begin{eqnarray*} a = (e) \circ (a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ wegen neutral Element

$\begin{eqnarray*} a =(a^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ wegen neutral Element ist neutral

$\begin{eqnarray*} w.z.b.w. \end{eqnarray*}$ - was zu bezweifeln wäre...

01.05.2011, 02:27

zweiundvierzig

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Ich bezweifel es nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bloß die zweite Zeile ist redundant und kann getrost weggelassen werden.

01.05.2011, 02:28

Pascal95

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Das ist schön smile

smile

Ich hab jetzt schon wieder vergessen, wie ich /wir (oder warst es du) darauf gekommen bin/sind/bist.

01.05.2011, 02:30

zweiundvierzig

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Hauptsache, Du vergisst den anderen Teil des Wegs nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gute Nacht. Wink

Wink

01.05.2011, 02:32

Pascal95

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Naja, dann gute Nacht.

Eigentlich wollte ich noch fragen, warum $\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ immer gilt (selbst wenn die Gruppe nicht abelsch=kommutativ ist).

01.05.2011, 02:35

zweiundvierzig

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Wie überprüft man denn, ob ein Element wirklich das Inverse eines anderen ist?

01.05.2011, 02:37

Pascal95

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Indem man sie verknüpft und dann soll das neutrale Element rauskommen.

01.05.2011, 02:38

zweiundvierzig

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Dann mal los...

01.05.2011, 02:42

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich das auf $\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ übertragen?

Meinst du so: ???
$\begin{eqnarray*} b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist invers zu $\begin{eqnarray*} a \circ b \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} (a \circ b) \circ ( b^{-1} \circ a^{-1}) \end{eqnarray*}$

Darf ich jetzt Kommutativität benutzeN?
$\begin{eqnarray*} a \circ b \circ b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 02:44

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Darf ich jetzt Kommutativität benutzeN?
$\begin{eqnarray*} a \circ b \circ b^{-1} \circ a^{-1} \end{eqnarray*}$

Nein. Und Du musst es auch nicht.

01.05.2011, 02:47

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} a \circ b \circ b^{-1} \circ a^{-1} = a \circ e \circ a^{-1} = a \circ a^{-1} = a \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur warum darf ich nicht schreiben:
$\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = a^{-1} \circ b^{-1} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn es kommutativ wäre, dann würde es auf jeden Fall gehen...

Das müsste ich wohl überprüfen?

Dann behaupte ich
$\begin{eqnarray*} (a \circ b) \circ (a^{-1} \circ b^{-1}) = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \circ b \circ a^{-1} \circ b^{-1} = e \end{eqnarray*}$

und jetzt komm ich nicht weiter oder was?

01.05.2011, 02:54

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
$\begin{eqnarray*} a \circ b \circ b^{-1} \circ a^{-1} = a \circ e \circ a^{-1} = a \circ a^{-1} = a \circ a^{-1} = e \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ganz genau.

Zitat:

Original von Pascal95
Nur warum darf ich nicht schreiben:

$\begin{eqnarray*} (a \circ b)^{-1} = a^{-1} \circ b^{-1} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn es kommutativ wäre, dann würde es auf jeden Fall gehen...

Erinnere Dich mal an den Anfang des Threads. Auch, wenn es schwer fällt.

Außerdem bringt es Dir hier gar nichts, die Elemente so zu vertauschen. Guck Dir doch Deine eiegne Lösung oben an. Alles, was Du haben willst, kriegst Du ohnehin geschenkt.

Zitat:

Original von Pascal95
$\begin{eqnarray*} (a \circ b) \circ (a^{-1} \circ b^{-1}) = e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \circ b \circ a^{-1} \circ b^{-1} = e \end{eqnarray*}$

und jetzt komm ich nicht weiter oder was?

Du kommst erst gar nicht dahin, weil es im allgemeinen einfach falsch ist.

01.05.2011, 02:56

Pascal95

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Ok, danke!

Jetzt habe ich eigentlich alles verstanden, außer dass wie das bei Wikipedia geschrieben worden ist. Du hast zwar gesagt ich soll da am Anfang des Threads schauen, ich verstehe nicht, warum es in Wikipedia anders ist als so wie ichs gelernt habe.

01.05.2011, 02:57

zweiundvierzig

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Ich verstehe nicht, was Du mir sagen willst und bleibe nach wie vor mit meinem Verweis auf den Ausgangspunkt des Threads. Vielleicht schläfst Du mal eine Nacht drüber. smile

smile

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