Gruppenhomomorphismus / abelsche Gruppe

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus / abelsche Gruppe
Hallo,

ich möchte folgende Aussage beweisen:
Zitat:
ist genau dann abelsch, wenn ein Gruppenhomomorphismus ist.

Dabei ist eine Gruppe und mit ist das Inverse gemeint.

Da es sich hier um eine "genau dann, wenn" - Beziehung, also Äquivalenzbeziehung handelt, möchte ich und getrennt behandeln und nacheinander machen.

Leider weiß ich nicht genau, wie ich da heran gehen soll.
Zunächst habe ich mir das mal für die Grundrechenarten klar gemacht: , , , .
Die sind ja alle kommutativ!

Erst mal eine Frage:
Nennt man das Endomorphismus, weil er sich auf sich selbst abbildet, oder wie hab ich das zu verstehen?

Für +:
Hier habe ich das Negative als Inverses betrachtet.
Dann soll ja für einen Homomorphismus gelten:
(gleiche Verknüpfungen, weil es heißt "von G nach G")
Das zeige ich folgendermaßen:


Für -:
Auch hier habe ich das Negative als Inverses betrachtet.
Dann soll ja für einen Homomorphismus gelten:


Das zeige ich folgendermaßen:


Für *:
Hier habe ich den Kehrwert als Inverses genommen.
Dann soll ja für einen Homomorphismus gelten:


Das zeige ich folgendermaßen:


Für /:
Auch hier habe ich den Kehrwert als Inverses genommen.
Dann soll ja für einen Homomorphismus gelten:


Das zeige ich folgendermaßen:



........

Damit wäre doch schon was gezeigt, oder?

Aber wie soll ich das beweisen? Ich habe es doch hier nur an den Grundrechenarten gezeigt, war das überhaupt richtig? oder notwendig?

Vielen Dank
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Seit wann ist denn die Subtraktion kommutativ ? Das glaubst du doch auch nicht , dass 3-2=2-3 ist . Genauso falsch für Division, oder ist 2/3=3/2 ?

Du musst zeigen: G ist abelsch, d.h. genau dann wenn
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Zitat:
Original von Elvis
Seit wann ist denn die Subtraktion kommutativ ? Das glaubst du doch auch nicht , dass 3-2=2-3 ist . Genauso falsch für Division, oder ist 2/3=3/2 ?

Das hat mich natürlich auch gewundert, aber warum klappt es dann in meinen Rechnungen mit dem Homomorphismus?

Zitat:
Original von Elvis
Du musst zeigen: G ist abelsch, d.h. genau dann wenn

Ja, das ist meine Aufgabe und zwar soll das ja für beliebige Verknüpfungen gelten.
Allerdings, wenn ich das Distributivgesetz vorraussetzen würde, was ja erst im Ring der Fall ist, so könnte ich ja schreiben:


Und das wäre ja sowas wie "Ausklammern", nur das kann ich ja nicht einfach machen.

Ich hatte da Ideen, vielleicht etwas mit dem neutralen Element und dem Inverse zu machen, das wird ja manchmal in Gruppen gemacht, um z.B. zu zeigen, dass das neutrale Element auf die andere Verknüpfung "übertragen" wird...

Aber ich hab nicht wirklich eine Idee...

Ich könnte natürlich schreiben:


......
Eigentlich soll ich doch nur zeigen, dass hierbei


gilt: , also dass:
.

Das ist ja genau das, was du geschrieben hast...

Kannst du mir vielleicht einen Denkanstoss geben? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mit - oder / ist was auch immer gar keine Gruppe, also kannst du auch nicht von Homomorphismen sprechen.


Mache dir einmal die Formel klar, die in jeder Gruppe gilt. Der Rest der Aufgabe ist dann trivial.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Mit - oder / ist was auch immer gar keine Gruppe, also kannst du auch nicht von Homomorphismen sprechen.

Achso klar, weil sie eben nicht assoziativ ist, oder?

Zitat:
Original von kiste
Mache dir einmal die Formel klar, die in jeder Gruppe gilt. Der Rest der Aufgabe ist dann trivial.

Ok, also bedeutet für mich: Verknüpfe die Elemente und aus der Gruppe und berechne das Inverse dieses Ergebnisses.
Und nun hast du geschrieben, da könnte man (wenn eben Kommutativität gelten sollte), auch schreiben.
Das würde dann ja bedeuten, dass man zuerst ein Element aus der Gruppe invertiert und das dann mit dem Inversen von auch aus der Gruppe verknüpft.

Und genau das ist ja das, was eine Homomorphismus aussagt: Zuerst die Argumente verknüpfen und dann berechnen ODER einzeln berechnen und die Bilder verknüpfen ist EGAL.

Ist das soweit alles korrekt?

Aber warum soll die jetzt kommutativ sein ?!?

Trotzdem danke schonmal...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mache dir einmal die Formel klar, die in jeder Gruppe gilt.
Mach dir das erstmal klar und beweise es.

Wenn wir annehmen dass f ein Homomorphismus ist, was gilt dann für ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Mache dir einmal die Formel klar, die in jeder Gruppe gilt.
Mach dir das erstmal klar und beweise es.

Wenn ich das bewiesen hätte, wär ich ja schon fertig, denn:
wenn es kommutativ ist
.

Der letzte Umformungsschritt setzt aber Kommutativität voraus:

Zitat:
Original von Math1986
Wenn wir annehmen dass f ein Homomorphismus ist, was gilt dann für ?

Für Homomorphismen gilt doch , hier habe ich die selbe Verknüpfung benutzt, weil es ja auch eine Abbildung von nach ist und die Gruppe demnach auch die selbe Verknüpfung hat.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Wenn ich das bewiesen hätte, wär ich ja schon fertig, denn:
.

Das ist im allgemeinen falsch! Es gilt vielmehr , wie doch die anderen Helfer schon gesagt haben.

Zitat:
Original von Pascal95
Für Homomorphismen gilt doch , hier habe ich die selbe Verknüpfung benutzt, weil es ja auch eine Abbildung von nach ist und die Gruppe demnach auch die selbe Verknüpfung hat.

Ja, das ist schon richtig. Und was bedeutet die Homomorphie-Gleichung nun ausgeschrieben? Vergleich dies dann mit meiner obigen Bemerkung.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Es gilt vielmehr

Aber Wikipedia erzählt mir, dass gilt:
Zitat:
Gegeben seien zwei Gruppen () und (). Eine Funktion heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente gilt: .

Wenn ich daraus nun eine Gruppe mache, also setze:
Zitat:
Gegeben sei eine Gruppe . Eine Funktion heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente gilt: .


Wenn ich nun meine Funktion einsetze:
Zitat:
Gegeben sei eine Gruppe . Eine Funktion heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente gilt: , also .


Was ist der Fehler verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler ist, die Beziehung als allgemein in jeder Gruppe geltend anzunehmen. Sie gilt eben nur, genau dann wenn die Inversion ein Homomorphismus ist und die Aufgabe lautet ja zu zeigen, dass dies Äquivalent zur Kommutativität einer Gruppe ist. Aber immerhin hast Du damit auf den zweiten Teil meines Postings geantwortet. Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, und wie geht's jetzt weiter?

Ich soll eben zeigen (wie Elvis ja auch sagte):
G ist abelsch, d.h. genau dann wenn ,

oder verwirrt
...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Ich soll eben zeigen (wie Elvis ja auch sagte):
G ist abelsch, d.h. genau dann wenn ,

Dann fang' doch mal mit einer Richtung an.

Zitat:
Original von Pascal95
oder verwirrt
...

Das zu zeigen ist nicht Teil der Aufgabe, aber Du wirst es womöglich verwenden müssen und darüberhinaus ist es keine schlechte Übung, das zu zeigen.

Edit: Sinnentscheidendes Wort nachgetragen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »



Dann zeige ich:

Der Gruppenhomomorphismus sagt doch aus:
, also

Darf ich jetzt schreiben (da bin ich mir unsicher, ob man das einfach darf...)
(da hab ich sowas wie ausklammern gemacht)
und dann...
(weil ja Kommutativität vorrausgesetzt war)
...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Der Gruppenhomomorphismus sagt doch aus:
, also


Nein, diese Gleichung ist nicht, was die Homomorphieeigenschaft besagt, sondern sie gilt immer. Das haben wir doch schon oben festgestellt.

Zitat:
Original von Pascal95
(da hab ich sowas wie ausklammern gemacht)
und dann...

Das ist in der Tat der nächste und bereits letzte Rechenschritt, aber Deine Begründung verstehe ich nicht.

Nun mal schrittweise und bitte beachte immer genau die Reihenfolge der Faktoren. Das ist ja mehr oder weniger der Witz an der Aufgabe. Wir betrachten also und wollen zeigen, dass dies gleich ist. Was wissen wir denn bisher denn bisher über den Term ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Darf man vorraussetzen, dass man weiß ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, denn, wie bereits gesagt: es gilt immer.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man also von Kommutativität ausgeht (), dann schreibe ich:

(gilt ja immer)
(darf man ja schreiben, weil wir von Kommutativität ausgegangen sind...)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Häää?

Das ist nicht dein Ernst? Das wars schon? Das hätt ich nicht gedacht geschockt

Ok, die andere Richtung ist noch zu machen Big Laugh

Dann zeige ich:


Simple gesagt ist das: Ich lese die Zeilen von unten nach oben und schau obs passt...

I´ch shcreibe es noch malauf...
soll also induzieren.


Jetzt können wir ja die giltimmer Regel anwenden

und man sieht


Also kommutativ...
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, jetzt hast Du gezeigt, dass Inverse kommutieren, aber nicht die Elemente an sich. Da wir zeigen wollen, bietet es sich an, mit einer Gleichung der Form zu beginnen. Zur weiteren Überlegung: wie kann man denn allgemein ein beliebiges Element durch einen Term ausdrücken, der eine Inversion, also ein enthält?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

da kann man was mit dem neutralen ELement machen...

kenn ich zb
oder man schreibt

...oder was meinst du?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre künstlicher Aufwand, hier explizit das neutrale Element ins Spiel zu bringen, aber ich meine in der Tat einen ähnlichen Trick aus der Kategorie "dumm, aber wahr". Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, da fehlt noch was in meinem Repertoire...

Geb mir einen Tipp: Mit was soll diese "dumme" Gleichung anfangen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
...wie kann man denn allgemein ein beliebiges Element durch einen Term ausdrücken, der eine Inversion, also ein enthält?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann kann es ja mit anfangen...

und es ist ohne neutrales Element?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und ja, d.h. zumindest steht nicht notwendig das neutrale Element da.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »



kann man des so sagen verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Wenn Du's selbst noch nicht so ganz glaubst, rechne es nach. Jedenfalls wollte ich darauf hinaus.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

cool, das meintest du auch smile

und wie gehts jetzt weiter...

Wie man das jetzt überprüfen soll, weiß ich nicht.
Ich weiß nur das Inverses von Inverses von a gleich a ist.

und , aber ist kein Beweis oder
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin aus und kenne daher und nicht.

Also mal wieder zurück zur eigentlichen Aufgabe: wir wissen, dass wir immer schreiben können und haben mit angefangen...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

...und wir wissen von Kommutativität noch nichts?

Dann benutz ich mal ein anderes Variablensymbol: .

Und deswegen: , wenn ich mich nicht irre... (also gilt für alle x in G ?- ja, oder?)



mit




und natürlich:

Also:
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Wie geht's nun weiter?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ganz genau. Wie geht's nun weiter?

Eigentlich habe ich genau die Frage dadurch impliziert, dass ich nichts weiter hingeschrieben habe...

Aber es könnte ja sein:


mit und

heißt es dann



also


Edit: Hier ist die Reihenfolge falsch???

und das eingesetzt...



ALSO
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis stimmt im Prinzip, aber zum Aufschreiben wäre es noch gut, bei jedem Gleichheitszeichen zu signalisieren, was Du genau benutzt. Außerdem ist es in diesem Falle mehrfache Arbeit für die Argumentation, weitere Variablen wie und einzuführen.

Versuch nochmal, Deine Umformung nur mithilfe von und den Verweisen auf die verwendeten Gesetze und Voraussetzungen aufzuschreiben.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen Beitrag editiert.

Ich habe etwas vertauscht (Kommutativität war z.Z. noch nicht nachgewiesen)

[attach]19396[/attach]

Was bringt mir das denn jetzt???
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine Voraussetzung noch nicht benutzt. Schau Dir mal an, was Du vor dem dritten Gleichheitszeichen noch machen kannst.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll/darf ich anstatt vielleicht schreiben?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage kannst Du Dir selbst beantworten. Wie lautet denn der Aufgabenteil, den wir gerade behandeln?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich schon wieder vergessen, mir ist aber eingefallen, dass man auch schreiben kann: .
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor es zirkulär wird:
Zitat:
Original von Pascal95



Dies gegeben, dürfen wir nun also schreiben?
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