Bedingte Wahrscheinlichkeiten

30.04.2011, 12:08

Foomy

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Hallo,

ich sitze grad an einer Aufgabe, bei der ich ab einer gewissen Stelle nicht mehr weiß wie ich weiter vorgehen kann.
Bei der Aufgabe geht's um folgendes:

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Expeditionsteilnehmer mit einer tropischen Krankheit infiziert hat, beträgt 20%. Um zu überprüfen, ob dieser an der Krankheit leidet, werden n unabhängige Tests durchgeführt, die mit Wahrscheinlichkeit 99% das richtige Ergebnis anzeigen. Der Expeditionsteilnehmer erhält nun das Ergebnis, dass alle n Tests negativ ausgefallen sind. Wie groß muss n sein, um eine Infektion mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99,999% ausschließen zu können?

Mein bisheriger Lösungsansatz/versuch ist der hier:
Als erstes habe ich mir die Ereginisse

K = "Expeditionsteilnehmer hat sich infiziert"
Ti = "Der i-te Test zeigt Ergebnis korrekt an"
sowie P(K)=0,2 und P(Ti)=0,99 und die Komplemente analog, überlegt.

Der weitere Gedankengang war nun, dass der Expeditionsteilnehmer nur dann nicht infiziert ist, wenn auch die n Tests alle korrekt waren. D.h. $\begin{eqnarray*} K^{C} \end{eqnarray*}$ , unter der Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{i=1}^n T_{i} \end{eqnarray*}$ .
Was dann zu $\begin{eqnarray*} P(K^{C} |\bigcap\limits_{i=1}^n T_{i}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{P(K^{C} \cap\bigcap\limits_{i=1}^n T_{i})}{P(\bigcap\limits_{i=1}^n T_{i})} \end{eqnarray*}$ führt.

Ab hier komme ich nicht so recht weiter. Laut Aufgabe sind die Tests selbst ja unabhängig, also könnte man eventuell die $\begin{eqnarray*} P(\bigcap\limits_{i=1}^n T_{i}) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \Pi_{i ... n} P(T_{i}) \end{eqnarray*}$ schreiben (müsste dann glaube ich $\begin{eqnarray*} 0,99^{n} \end{eqnarray*}$ ergeben, oder?).
Dann weiß ich aber nicht, wie ich das $\begin{eqnarray*} K^{C} \end{eqnarray*}$ an der stelle über dem Bruch weiter behandeln soll, ich habe auf dem Blatt bisschen mit dem "Multiplikationssatz" herumprobiert, aber da kam nichts sinnvolles bei raus.

Mein Ziel ist/war es, irgendwann einen Term daraus zubekommen, den ich dann $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0,99999 setze um anschließend nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ umzustellen, sodass dann irgendwie $\begin{eqnarray*} n \geq x \end{eqnarray*}$ dort steht, aber vielleicht gehe ich das alles auch irgendwie falsch an.

Für Hilfe/Anstöße wäre ich sehr dankbar.

mfg, Foomy

30.04.2011, 12:31

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Zeichne dir doch erstmal ein Baumdiagramm dazu.

Ob das angezeigte Ergebnis nun korrekt ist oder nucht weißt du ja nicht, darüber kannst du keine Aussage machen.

Sei daher
$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ = "Expeditionsteilnehmer hat sich infiziert"
$\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ = Test i ist positiv

Dann ist nach der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
$\begin{eqnarray*} P\left(P_1\right)=P(K)\cdot P(P_1\mid K)+P\left(K^C\right)\cdot P\left(P_1\mid K^C\right) \end{eqnarray*}$

Um zu wissen, ob der Teilnehmer infiziert ist, wenn der erste Test negativ ist, musst du die Formel von Bayes anwenden.

Ähnliches Vorgehen für mehrere Tests

30.04.2011, 18:04

Foomy

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Hallo,

ich danke dir für deine Antwort und hoffe, dass ich das richtig/korrekt verarbeiten konnte.

Mir aufgefallen, dass mir noch die bedingten Ereignisse, die du auch schon aufgeschrieben hast in der Formel für totale Wahrscheinlichkeit, fehlen.

Also im Prinzip:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, wenn bekannt ist, dass der Teilnehmer infiziert ist:
$\begin{eqnarray*} P(P_{1}|K)=0,99 \end{eqnarray*}$ (Test ist korrekt)
Und, Test ist positiv, aber der Teilnehmer ist in Wirklichkeit garnicht krank:
$\begin{eqnarray*} P(P_{1}|K^{C})=0,01 \end{eqnarray*}$ (Test ist nicht korrekt)

Eingesetzt in deine Formel ergibt das dann:
$\begin{eqnarray*} P(P_{1})=0,2*0,99+0,8*0,01=0,206 \end{eqnarray*}$ (Wahrscheinlichkeit, dass erster Test positiv ist)
Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} P(P_{1}^{C})=0,794 \end{eqnarray*}$ für das Komplement.

Jetzt hast du mir den Tip gegeben, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass der Teilnehmer erkrankt ist, wenn bereits bekannt ist, dass der erste Test negativ ist.
$\begin{eqnarray*} P(K|P^{C}_{1})=\frac {P(P^{C}_{1}|K)*P(K)} {P(P^{C}_{1})}=\frac {0,01*0,2} {0,794}=\frac {1} {397} \end{eqnarray*}$ (die 0,01 nehme ich daher, dass P(P_1^C | K) ja auch wieder ein nicht korrekten Test darstellt).

Also im Prinzip habe ich einfach nur eingesetzt bisher ... hoffentlich überhaupt richtig...
Jetzt fällt es mir trotzdem leider immernoch schwer, den Zusammenhang von diesem Ergebnis des einen Tests zu n Tests herzustellen (die dann auch alle noch negativ sind und ausschließen können (mit 0,99999), dass der Teilnehmer infiziert ist).
Also eigentlich quasi:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass K infiziert ist, wenn bereits bekannt ist, dass n Tests negativ waren beträgt maximal 0,00001. (alternativ, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass K nicht infiziert ist, wenn bereits n Tests negativ waren beträgt mindestens 0,99999)
Zudem weiß ich noch, dass jeder einzelne Test eigtl. die selbe Wahrscheinlichkeit auf ein positives/negatives Ergebnis haben müsste, da sie untereinander sich nicht beeinflussen (unabhängig).
Mathematisch ca. so
$\begin{eqnarray*} P(K|\bigcap P^{C}_{i}) \leq 0,00001 \end{eqnarray*}$
Ist das richtig gedacht? Hier könnte man analog erstmal wie oben das andersrum/umgekehrt hinschreiben, allerdings wüsste ich dann trotzdem nicht wie ich diesen Ausdruck $\begin{eqnarray*} P(\bigcap P^{C}_{i}|K) \end{eqnarray*}$ , der dann in der sich ergebenden Bayes-Formel vorkommt, handeln sollte.

nochmals vielen Dank,

mfg

30.04.2011, 19:08

Math1986

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Zitat:

Original von Foomy
Hallo,

ich danke dir für deine Antwort und hoffe, dass ich das richtig/korrekt verarbeiten konnte.

Mir aufgefallen, dass mir noch die bedingten Ereignisse, die du auch schon aufgeschrieben hast in der Formel für totale Wahrscheinlichkeit, fehlen.

Also im Prinzip:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, wenn bekannt ist, dass der Teilnehmer infiziert ist:
$\begin{eqnarray*} P(P_{1}|K)=0,99 \end{eqnarray*}$ (Test ist korrekt)
Und, Test ist positiv, aber der Teilnehmer ist in Wirklichkeit garnicht krank:
$\begin{eqnarray*} P(P_{1}|K^{C})=0,01 \end{eqnarray*}$ (Test ist nicht korrekt)

Eingesetzt in deine Formel ergibt das dann:
$\begin{eqnarray*} P(P_{1})=0,2*0,99+0,8*0,01=0,206 \end{eqnarray*}$ (Wahrscheinlichkeit, dass erster Test positiv ist)
Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} P(P_{1}^{C})=0,794 \end{eqnarray*}$ für das Komplement.

Jetzt hast du mir den Tip gegeben, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass der Teilnehmer erkrankt ist, wenn bereits bekannt ist, dass der erste Test negativ ist.
$\begin{eqnarray*} P(K|P^{C}_{1})=\frac {P(P^{C}_{1}|K)*P(K)} {P(P^{C}_{1})}=\frac {0,01*0,2} {0,794}=\frac {1} {397} \end{eqnarray*}$ (die 0,01 nehme ich daher, dass P(P_1^C | K) ja auch wieder ein nicht korrekten Test darstellt).

Soweit absolut richtig

Berechne das Ganze nun für 2 unabhängig voneinander durchgeführte Tests:
$\begin{eqnarray*} P\left(K\mid P^C_1\cap P^C_2\right)=\ldots \end{eqnarray*}$
Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 unabhängig voneinander durchgeführte Tests beide fälschlicherweise negativ sind.

Analoge Rechnungen dann für 3,4...,n Ereignisse.

Gesucht ist im Endeffekt
$\begin{eqnarray*} P\left(K\mid\bigcap_{i=1}^n P^C_i\right) \leq 0,00001 \end{eqnarray*}$

Veranschauliche es dir an einem Baumdiagramm.

30.04.2011, 20:53

Foomy

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Hallo nochmals,

einen Baum habe ich mir mal aufgemalt, er hat in der ersten Ebene die beiden Knoten $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K^{C} \end{eqnarray*}$ , deren Kanten zur Wurzel jeweils deren Wahrscheinlichkeiten tragen.
In der zweiten Ebene gehen dann von jedem dieser Knoten wieder zwei Kindknoten aus, die jeweils mit den Ereginissen $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{1}^{C} \end{eqnarray*}$ beschriftet sind und die Kanten tragen wieder die Wahrscheinlichkeiten, die wie oben für ein $\begin{eqnarray*} P_{i} \end{eqnarray*}$ bzw. deren Komplement berechnet wurden.
Falls der Baum so richtig ist, würde ich intuitiv jetzt einfach den Pfad durch den Baum nehmen, der mit K startet und dann immer wieder $\begin{eqnarray*} P_{i}^{C} \end{eqnarray*}$ auswählt (n-mal). Aber irgendwie kommt mir das komisch vor... ich habs doch einfach nochmal rechnerisch probiert:

$\begin{eqnarray*} P(K|\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}) = \frac { P(\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}|K) * P(K)} {\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}} = \frac {\bigcap\limits_{i=1}^n P(P_{i}^{C}|K) * P(K)} {\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}} \end{eqnarray*}$
(darf man das so machen?)

$\begin{eqnarray*} = \frac {\Pi_{i=1}^{n} P(P_{i}^{C}|K) * P(K)} {\Pi_{i=1}^{n} P_{i}^{C}} = \frac {0,01^{n}*0,2} {0,794^{n}} = (\frac {5} {397})^{n}*0,2 \leq 0,00001 \end{eqnarray*}$ was dann ein $\begin{eqnarray*} n \geq 2,264 \end{eqnarray*}$ ergeben würde.

Oder habe ich hier wieder Quark gemacht?

mfg

01.05.2011, 09:46

Math1986

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Zitat:

Original von Foomy
Hallo nochmals,

einen Baum habe ich mir mal aufgemalt, er hat in der ersten Ebene die beiden Knoten $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K^{C} \end{eqnarray*}$ , deren Kanten zur Wurzel jeweils deren Wahrscheinlichkeiten tragen.
In der zweiten Ebene gehen dann von jedem dieser Knoten wieder zwei Kindknoten aus, die jeweils mit den Ereginissen $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{1}^{C} \end{eqnarray*}$ beschriftet sind und die Kanten tragen wieder die Wahrscheinlichkeiten, die wie oben für ein $\begin{eqnarray*} P_{i} \end{eqnarray*}$ bzw. deren Komplement berechnet wurden.
Falls der Baum so richtig ist, würde ich intuitiv jetzt einfach den Pfad durch den Baum nehmen, der mit K startet und dann immer wieder $\begin{eqnarray*} P_{i}^{C} \end{eqnarray*}$ auswählt (n-mal). Aber irgendwie kommt mir das komisch vor... ich habs doch einfach nochmal rechnerisch probiert:

$\begin{eqnarray*} P(K|\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}) = \frac { P(\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}|K) * P(K)} {\bigcap\limits_{i=1}^n P_{i}^{C}} \end{eqnarray*}$
(darf man das so machen?)

Bis hierhin stimmt das (bis auf das fehlende P im Nenner)

$\begin{eqnarray*} P\left(K\mid\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\right)=\frac{P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\mid K\right) * P(K)} {P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\right)} \end{eqnarray*}$

Überlege dir ma die Wahrscheinlichkeiten für
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\mid K\right) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\right) \end{eqnarray*}$
(das geht wirklich ganz analog zu deinem zweiten Beitrag mit einem Test

01.05.2011, 14:07

Foomy

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Wieder hallo,

ich habe das Gefühl, dass ich mich irgendwie sehr dumm anstelle, sorry.
Habe über deine Sätze nachgedacht, wenns wirklich analog zum Rechnen mit einem Test ist, fällt mir nur folgendes ein:
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\mid K\right) = (0,01)^{n} \end{eqnarray*}$
Hierbei habe ich ein ungutes Gefühl, da ich es mir einfach "logisch zusammengereimt" habe (ähnlich wie oben nur für einen Test), ich weiß aber sonst einfach nicht, wie ich das rechnersich angehen könnte.

$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\right) =P(K)*P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\mid K\right) + P(K^{C})*P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\mid K^{C}\right) = 0,2*0,01^{n}+0,8*0,99^{n} \end{eqnarray*}$
(für n=1 würde das Ergebnis immerhin überinstimmen mit dem der obigen Rechnung für 1 negativen Test, aber ist ja auch nicht groß verwunderlich..., aber ob das auch für die anderen ns so korrekt ist?)

Den nächsten Schritt, den ich machen würde wäre, dass ganze dann in die Formel einzusetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\mid K\right) * P(K)} {P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n P_i^C\right)} =\frac {0,01^{n}*0,2} {0,2*0,01^{n}+0,8*0,99^{n}} \leq 0,00001 ... \end{eqnarray*}$
Das köntne man dann nach n wieder umstellen...
Was anderes würde mir nicht einfallen, ich glaube ich bin so ziemlich am Ende mit meinem Latein und der Vorstellungskraft unglücklich

Danke nochmals für deine ausdauernde Hilfe,

mfg

01.05.2011, 14:15

Math1986

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Hey, soweit ist das richtig, jetzt musst du nur noch umstellen Freude

01.05.2011, 14:51

Foomy

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Ah, schön zu hören smile

Ok, wenn ich das jetzt umstelle komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac {0,01^{n}*0,2} {0,2*0,01^{n}+0,8*0,99^{n}} = ... = \frac {1} {1+4*99^{n}} \leq 0,00001 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 0,99999 \leq 0,00004*99^{n} \Leftrightarrow \frac {99999} {4} \leq 99^{n} \end{eqnarray*}$

Ergibt dann ein $\begin{eqnarray*} n \geq 2,204 \end{eqnarray*}$ (etwas gerundet), d.h. 3 Tests sind mindestens nötig.
Falls ich mich nicht verrechnet habe, müsste das stimmen oder?

mfg

01.05.2011, 14:56

Math1986

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Du kannst ja nochmal die Probe machen indem du 2 und 3 einsetzt.
Ich habs nicht nachgerechnet aber es sieht gut aus

01.05.2011, 15:02

Foomy

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Ok, das werde ich noch austesten.

Vielen Dank nochmals Gott

du hast mir wirklich weiter geholfen beim Verstehen dieser ganzen Thematik.

mfg Foomy

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