Beweis :determinante von Nebendiagonaler Matrix

07.12.2006, 19:01

grmmlll

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Beweis :determinante von Nebendiagonaler Matrix

Wie beweise ich und zwar induktiv!

Das die Determinante einer n x n Matrix dieser Form : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

immer 1 oder -1 ergeben?

Ich habe es versucht mit dem Laplace'schen Entwicklungssatzes:
Induktionsanfang:

n=2
$\begin{eqnarray*} A_2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det A_2 =\sum_{i=1}^2~ (-1)^{2+1} a_{21} det (A_{ij}) = 1 \end{eqnarray*}$

Brauch ich noch eine Behauptung?

stimmt das soweit?

Wenn ja ,wie muss ich weiter voran gehen?

07.12.2006, 19:03

grmmlll

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det A_2 ist = -1 ...habe mich vertippt ---

aber die Fragen sind noch offen ...

07.12.2006, 21:12

ArminTempsarian

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RE: Beweis :determinante von Nebendiagonaler Matrix
Die Determinante von A_2 ist weder 1 noch -1, sondern 0, da sie singulär ist.

Das einzige, was du benötigst, ist, dass die Determinante der (nxn)-Einheitsmatrix gleich 1 ist, und das sich bei Zeilen-bzw. Spaltenvertauschungen das Vorzeichen wechselt.

07.12.2006, 21:17

grmmlll

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Tippfehler
Ich kann ja meine Beiträge nicht editieren ,also nochmal :
$\begin{eqnarray*} det (A_2) = det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1 \end{eqnarray*}$

07.12.2006, 21:21

ArminTempsarian

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RE: Tippfehler
Sieh dir doch mal an, wie die Determinante der n+1 x n+1 Matrix aussieht, falls n gerade bzw. ungerade ist.

07.12.2006, 21:35

Leopold

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Wenn $\begin{eqnarray*} \delta_n \end{eqnarray*}$ der Determinantenwert der vorgegebenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -reihigen Matrix ist, dann zeige mittels Entwicklung nach der ersten Spalte

$\begin{eqnarray*} \delta_{n+1} = (-1)^n \delta_n \end{eqnarray*}$

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07.12.2006, 21:50

grmmlll

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Zitat:

Original von ArminTempsarian
Sieh dir doch mal an, wie die Determinante der n+1 x n+1 Matrix aussieht, falls n gerade bzw. ungerade ist.

Ich hab mir die Determinanten von 1 - 10 angesehen und erkenne ,da einen Zyklus : $\begin{eqnarray*} 1 ,-1,-1,1 , 1,-1 ,-1 , 1 , 1 ,-1 ,-1,1 ... \end{eqnarray*}$

Nur , wie mach ich das in einer Formel bemerkbar ...?

$\begin{eqnarray*} det a_n = (-1)^x \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ müsste eine formel sein ... in der n enthalten ist ,weil das ergebnis von n abhängig ist ...

07.12.2006, 21:54

ArminTempsarian

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beachte, was Leopold geschrieben hat

07.12.2006, 22:15

grmmlll

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Soweit ,so gut?
$\begin{eqnarray*} det A_n = \sum_{i=1}^n~(-1)^{i+j} a_{ij} det A_{ij} = 0+.....0+ (-1)^{n+1} det A_{i'j'} , für j = 1 \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich : $\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} * ((-1)^{n}) *....*(-1)^{1} \end{eqnarray*}$
das kann man so zusammenfassen :
\prod_{i=1}^n+1~ (-1)^{i}

kann das jemand bestätigen?

07.12.2006, 22:20

grmmlll

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Soweit ,so gut?
$\begin{eqnarray*} det A_n = \sum_{i=1}^n~(-1)^{i+j} a_{ij} det A_{ij} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0+.....+ (-1)^{n+1} det A_{n-1,n-1} \end{eqnarray*}$ , für j = 1

daraus ergibt sich :

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} * ((-1)^{n}) *....*(-1)^{1} \end{eqnarray*}$

das kann man so zusammenfassen :
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n+1~ (-1)^{i} \end{eqnarray*}$

kann das jemand bestätigen?

07.12.2006, 22:22

grmmlll

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Soweit ,so gut?
$\begin{eqnarray*} det A_n = \sum_{i=1}^n~(-1)^{i+j} a_{ij} det A_{ij} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0+.....+ (-1)^{n+1} det A_{n-1,j+1} \end{eqnarray*}$ , für j = 1

daraus ergibt sich :

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n+1} * ((-1)^{n}) *....*(-1)^{1} \end{eqnarray*}$

das kann man so zusammenfassen :
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1}~ (-1)^{i} \end{eqnarray*}$

kann das jemand bestätigen?
edit : fehler beseitigt

07.12.2006, 22:38

ArminTempsarian

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RE: Soweit ,so gut?
Ich bin mir nicht sicher, was du mit diesem Produkt bezweckst. Aber zu zeigen ist das, was Leopold explizit angeschrieben hat, also

$\begin{eqnarray*} det A_{n+1} = (-1)^{n}detA_{n} \end{eqnarray*}$

Dazu entwickelst du nach der 1 Spalte.

Die Entwicklung sieht ungefähr so aus:

$\begin{eqnarray*} detA_{n+1}=0+0+...+0+1*(-1)^{n+2}*detA_{n} \end{eqnarray*}$

07.12.2006, 22:46

grmmlll

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Aber für det (An) bekomm ich :

det An = (-1)^(n+1) ----> für i = n und j = 1 .... da kann was nicht stimmen ...bei mir ...aber wo ?

07.12.2006, 22:51

grmmlll

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RE: Soweit ,so gut?

Zitat:

Original von ArminTempsarian

$\begin{eqnarray*} det A_{n+1} = (-1)^{n}detA_{n} \end{eqnarray*}$

Die Entwicklung sieht ungefähr so aus:

$\begin{eqnarray*} detA_{n+1}=0+0+...+0+1*(-1)^{n+2}*detA_{n} \end{eqnarray*}$

hmm ... ist nun
$\begin{eqnarray*} det A_{n+1} = (-1)^{n}detA_{n} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} detA_{n+1}=0+0+...+0+1*(-1)^{n+2}*detA_{n} \end{eqnarray*}$

Die Exponenten stimmen nicht überein .

übrigens bei m ir siehts genau so aus wie bei dir smile

smile

07.12.2006, 22:53

grmmlll

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RE: Soweit ,so gut?

Zitat:

Original von grmmlll

Zitat:

Original von ArminTempsarian

$\begin{eqnarray*} det A_{n+1} = (-1)^{n}detA_{n} \end{eqnarray*}$

Die Entwicklung sieht ungefähr so aus:

$\begin{eqnarray*} detA_{n+1}=0+0+...+0+1*(-1)^{n+2}*detA_{n} \end{eqnarray*}$

hmm ... ist nun
$\begin{eqnarray*} det A_{n+1} = (-1)^{n}detA_{n} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} detA_{n+1}=0+0+...+0+1*(-1)^{n+2}*detA_{n} \end{eqnarray*}$

Die Exponenten stimmen nicht überein .

übrigens bei m ir siehts genau so aus wie bei dir smile

smile

ok . habs verstanden ....beides ist das gleiche !

man kann ja 2 mal (-1) vorklammern , und das ist das gleiche wie (-1)^2

07.12.2006, 22:56

ArminTempsarian

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RE: Soweit ,so gut?
so isses

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