Vektor-Aufgaben

01.05.2011, 12:53

MatheKind

Vektor-Aufgaben

Hallo,
ich komme bei zwei Übungsaufgaben einfach nicht weiter.

1. Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} ||a|| = ||b|| = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a+b, a-2b) = -1 \end{eqnarray*}$

a) Welchen Winkel schließen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ein?

b) Welche Norm besitzt der Vektor $\begin{eqnarray*} a-2b \end{eqnarray*}$ ?

Dazu muss ich ja erst mal die Länge von den jeweiligen Vektoren kennen, aber die einzige Aussage die ich machen kann, ist:

$\begin{eqnarray*} ||a+b|| \leq ||a|| + ||b|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a+b|| \leq 2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| \leq |\;||a|| - 2*||b||\;| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| \leq 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} |(a+b, \; a-2b)| \leq ||a+b||*||a-2b|| \leq 2 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich nun weiter?

Aufgabe 2

Der Punkt $\begin{eqnarray*} P_0(1,-2,3) \end{eqnarray*}$ liegt in einer Ebene, die senkrecht steht zum Vektor $\begin{eqnarray*} n = (2,-2,1) \end{eqnarray*}$ . Wie lautet die Gleichung der Ebene? Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} P_1(3,1,2) \end{eqnarray*}$ von dieser Ebene.

Die Gleichung der Ebene ist folgend aufgebaut:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = OP_0 + k_1 * P_{0}Q_1 + k_2 * P_{0}Q_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$ müssen ermittelt werden: $\begin{eqnarray*} 0P_0 \end{eqnarray*}$ lässt sich durch zwei von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ linear unabhängigen Vektoren ausdrücken, welche dann in der Ebene liegen ( $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$ wurden grafisch ermittelt):

$\begin{eqnarray*} Q_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q_2 = \begin{pmatrix} +1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = OP_0 + k_1 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 * \begin{pmatrix} +1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich nun den Abstand der Ebene zu $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ ?

Danke im Voraus!
MatheKind

01.05.2011, 13:36

Elvis

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ad 1.)
Nutze die Bilinearität des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} -1=(a+b,a-2b)=... \end{eqnarray*}$ und des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{(a-2b,a-2b)}=... \end{eqnarray*}$

01.05.2011, 17:17

MatheKind

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Zitat:

Original von Elvis
ad 1.)
Nutze die Bilinearität des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} -1=(a+b,a-2b)=... \end{eqnarray*}$ und des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{(a-2b,a-2b)}=... \end{eqnarray*}$

Stimmen überhaupt meine Umformungen?

$\begin{eqnarray*} (a+b, a-2b) = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a, b-2b) = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a, -b) = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{(a-2b,a-2b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{(a,-2b-2b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{(a,-4b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{-4} \end{eqnarray*}$ , was nun wiederum Unsinn ist.

Wo ist der Fehler?

Danke im Voraus.
MatheKind

01.05.2011, 18:35

Elvis

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Alles Unfug. Richtig ist
$\begin{eqnarray*} -1=(a+b,a-2b)=(a,a)+(b,a)-2(a,b)-2(b,b)=1-(a,b)-2=-(a,b)-1\Rightarrow (a,b)=0 \end{eqnarray*}$
Genauso kannst du die Bilinearität des Skalarprodukts unter der Wurzel nutzen.

01.05.2011, 19:25

MatheKind

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Hi Elvis,
danke, für deine Antwort. Das hat mir weitergeholfen!

Dass $\begin{eqnarray*} (a,a) = 1 \end{eqnarray*}$ ist deshalb so, weil $\begin{eqnarray*} ||a|| = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} ||a|| = 2 \end{eqnarray*}$ , dann wäre $\begin{eqnarray*} (a,a) = 4 \end{eqnarray*}$ , oder?

Danke, im Voraus.
MatheKind

01.05.2011, 19:27

Elvis

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Ja, genau so hängen Norm und Skalarprodukt zusammen.

01.05.2011, 20:08

MatheKind

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Hier meine Lösung:

a)

$\begin{eqnarray*} (a,b) = 0 \Rightarrow 90^\circ \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| = \sqrt{(a-2b, a-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| = \sqrt{(a,a) - (a, 2b) - (2b, a) + (2b, 2b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| = \sqrt{1 - 2(a, b) - 2(a, b) + 4(b, b)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| = \sqrt{1 + 4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||a-2b|| = \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Norm: $\begin{eqnarray*} \frac{a-2b}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Sind da irgendwelche Fehler drin?

Danke im Voraus!
MatheKind

01.05.2011, 21:25

MatheKind

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Weiß jemand, ob meine Vorgehensweise bei Aufgabe 2 richtig ist und wie man weiter vorgeht?

Danke, im Voraus!
MatheKind

02.05.2011, 18:14

Elvis

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Bis auf die letzte (unnötige)Zeile ist alles richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ . Was willst du mehr ?

Viel bessere Schreibweise anstelle einer Reihe von Gleichungen ist:
$\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt{(a-2b,a-2b))}=\sqrt{(a,a)-2(a,b)+4(b,b)}=\sqrt{1-0+4}=\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

Auch die Implikation " $\begin{eqnarray*} (a,b)=0\Rightarrow 90° \end{eqnarray*}$ " ist Unfug.

02.05.2011, 22:24

MatheKind

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Zitat:

Original von Elvis
Bis auf die letzte (unnötige)Zeile ist alles richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} ||a-2b||=\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ . Was willst du mehr ?

Es wird ja nach der Norm des Vektors gefragt. Die kriege ich heraus, wenn ich die Koordinaten eines Vektors durch seine Länge teile.

Zitat:

Auch die Implikation " $\begin{eqnarray*} (a,b)=0\Rightarrow 90° \end{eqnarray*}$ " ist Unfug.

a und b schließen doch $\begin{eqnarray*} 90° \end{eqnarray*}$ ein.

Liebe Grüße
matheKind

03.05.2011, 17:59

Elvis

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a) Die Norm eines Vektors ist die Länge eines Vektors. Du verwechselst das vielleicht damit, dass der zu einem Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ "normierte Vektor" $\begin{eqnarray*} \frac v {||v||} \end{eqnarray*}$ ein Vektor der Norm = Länge 1 ist.
b) $\begin{eqnarray*} (a,b)=0\Rightarrow cos(\angle (a,b))=\frac {(a,b)}{||a||\cdot ||b||}=0\Rightarrow \angle (a,b) =\frac {\pi} 2=90° \end{eqnarray*}$ ist eine sinnvolle Aussage für Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (a,b)=0 \Rightarrow 90° \end{eqnarray*}$ ist und bleibt sinnlos .

03.05.2011, 18:02

MatheKind

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OK, danke! smile

Liebe Grüße
MatheKind

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