Vektorräume

01.05.2011, 19:05	mathe15	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume Meine Frage: Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe fest, bzw. weiß ich gar nicht genau, wie ich vorgehen soll. Und zwar soll gezeigt werden, dass die Menge aller Polynome vom Grad <= n, also $\begin{eqnarray} p_{n} \end{eqnarray}$ = { $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^n a_{i} x^{i} \end{eqnarray}$ \|a(i) e R für alle i=1,...n} ist ein Vektorraum. Meine Ideen: Als Tipp wurde uns gesagt, wir sollten uns im Vorlesungsskript genaustens die Einführung der Vektorräume anschauen. Deshalb denke ich, dass man die Frage irgendwie mit diesen Axiomen der Vektorrechnung lösen kann. Also angenommen a und b und c seien Vektoren: dann gilt a+b=b+a; (a+b)+c =a+(b+c) a+ Nullvektor = a a-a=0 (0Vektor); dann für die Skalarmultiplikation (l) lamda und my (m) e R dann gilt: l(ma)=lm(a); l(a+b) =la+lb und (l+m)a=la+ma; das sind zumindest die Regeln nachdem wir den Vektorrraum definiert haben. Allerdings hab ich glaube ich den Zusammenhang zu den Polynomen noch nicht so ganz verstanden. Wäre nett wenn ich einen Ansatz bekommen könnte.
01.05.2011, 19:08	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, na das klingt doch gut. Du musst nun diese Regeln zeigen. Wenn du also zwei Polynome hast und addierst sie, muss wieder ein Polynom herauskommen. Das zeigst du, indem du konkret die Koeffizienten angibst. Also $\begin{eqnarray} x = \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i, ~y = \sum_{i=0}^n b_i \cdot x^i \end{eqnarray}$ . Was ist dann x+ y und ist das in der Menge drin? Versuche dich auch an den anderen Regeln.
01.05.2011, 19:18	mathe15	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist das dann quasi ax+bx =x(b+a) in der Summe natürlich und mint indizes?
01.05.2011, 19:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Die jeweiligen a und b müssen aber dann vorne stehen. Die Frage ist nur, warum ist das wieder in der Menge enthalten? Dazu brauchst du nur ein Stichwort. Woraus sind die a und b? Und was gilt dort?
01.05.2011, 19:26	mathe15	Auf diesen Beitrag antworten »
a und b sind ja aus der menge der reellen zahlen, also gilt das distributivgesetz.
01.05.2011, 19:27	mathe15	Auf diesen Beitrag antworten »
aber nochmal zum verständnis a+b muss vor dem summenzeichen stehen? wieso?
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01.05.2011, 19:27	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht das, was ich hören wollte. Der Knackpunkt ist, dass a und b aus den reellen Zahlen kommen, warum ist dann a + b auch aus den reellen Zahlen? Was ist $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ? Algebraisch?
01.05.2011, 19:28	mathe15	Auf diesen Beitrag antworten »
eindimensional?
01.05.2011, 19:38	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Vektorraum gesehen ja. Ich meinte aber eher, dass IR ein Körper ist.
01.05.2011, 20:02	mathe15	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... hab das mal gerade bei wikipedia nachgeschaut. also körper ist mir zumindest mit der Definition nicht wirklich ein Begriff, naja jetzt bin ich schlauer :-D
01.05.2011, 20:57	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr führt Vekorräume ohne den Begriff des Körpers ein? Seltsam ... Na ja, die anderen Eigenschaften gehen ähnlich.

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