Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

01.05.2011, 22:43

Lula90

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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Hallo,
ich habe ein paar Probleme bei Abbildungen.

Es sind 4 Teilaufgaben, die ich lösen soll. Ich soll untersuchen, welche der folgenden Abbildungen inj, surj, oder bij. sind!

a) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \Rightarrow \mathbb N , f(n):= n^{2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f: Q\Rightarrow Z , f(\frac{r}{s}) := r \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \Rightarrow \mathbb N , f(n) := n+1 \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} f: Q\Rightarrow Z, f(\frac{r}{s}) := s \end{eqnarray*}$

Bei a) denke ich, dass die Abb. bijektiv ist, da jedes x genau ein y besitzt, bei c) auch bijektiv aus demselben grund.

Nun machen mir aber b) und d) zu schaffen.
Ich verstehe schon die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(\frac{r}{s}) \end{eqnarray*}$ schon nicht.

Kann mir jemand helfen, wie ich an b) und d) herangehen soll?

Danke, Lula

01.05.2011, 22:44

Iorek

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Bevor du dir Gedanken zur b) und d) machst, solltest du a) und c) nochmal überprüfen. unglücklich

unglücklich

Wie ist die Bijektivität definiert? Was musst du überprüfen?

01.05.2011, 22:45

Cordovan

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Bei b) und d) bin ich auch verwirrt, das sind doch überhaupt keine Abbildungen...?

@Iorek:
Glückwunsch zum 9000ten Beitrag smile

smile

Cordovan

01.05.2011, 22:47

Lula90

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ich meinte injektiv bei a) und c) , sorry.

01.05.2011, 22:50

Iorek

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Dann solltest du die Injektivität noch formal nachweisen und evtl. ein Gegenbeispiel angeben um die Surjektivität zu widerlegen.

Danach können wir uns mal die b) angucken, wir haben eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wie lässt sich eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ denn schreiben?

01.05.2011, 22:52

Lula90

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meinst du damit, dass x ein bruch ist? sonst verstehe ich nicht, was du meinst.

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01.05.2011, 22:55

Iorek

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Ja, wir haben es mit rationalen bzw. Bruchzahlen zu tun, diese lassen sich als $\begin{eqnarray*} \frac rs \end{eqnarray*}$ schreiben mit $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb Z,~s\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ (Achtung: wie habt ihr die rationalen Zahlen definiert? Möglich wäre z.B. auch $\begin{eqnarray*} r,s\in\mathbb Z,~s\neq 0 \end{eqnarray*}$ , das ist wichtig für die Bearbeitung). Kannst du dir jetzt vorstellen, was die Funktion in b) macht?

01.05.2011, 23:02

Lula90

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Wir haben die rationalen Zahlen mit der 0 definiert.

Wieso $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb Z,~s\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ? Wieso nicht mehr $\begin{eqnarray*} \mathbb Q ,\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Nein, ich kann mir noch nicht vorstellen, was die Funktion macht verwirrt

verwirrt

01.05.2011, 23:05

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
Wir haben die rationalen Zahlen mit der 0 definiert.

Das beantwortet meine Frage nur indirekt.

$\begin{eqnarray*} r\in\mathbb Z,~s\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , irgendwo müssen diese Zahlen ja her kommen, jetzt kommt es eben darauf an, wie ihr die rationalen Zahlen eingeführt habt. Schlag diese Definition nach.

01.05.2011, 23:09

Lula90

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Solche Definitionen haben wir noch gar nicht geklärt.
Der Dozent hat nur gesagt, dass wir alle Zahlenbereiche mit der 0 definieren, mehr nicht.

Ist die Funktion b) eine Gerade? Ich stelle mir die Zahlen im Graphen so vor: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} ,\frac{2}{1} ,\frac{3}{1} \end{eqnarray*}$ , da ich ja nur den Wert von r ändern kann und s fest bleib?

01.05.2011, 23:24

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
Solche Definitionen haben wir noch gar nicht geklärt.

Finde ich sehr bedenklich diese Vorgehensweise. geschockt

geschockt

Nagut, dann schlage ich jetzt einfach mal vor, dass wir $\begin{eqnarray*} \mathbb Q=\{\frac rs~|~r\in\mathbb Z,~s\in\mathbb N\setminus\{0\}\} \end{eqnarray*}$ nehmen, das wäre eine Möglichkeit, wenn ihr die rationalen Zahlen doch irgendwie anders definiert habt, solltest du das jetzt anmerken.

Wir haben also eine Zahl $\begin{eqnarray*} \frac rs \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist. Unsere Abbildung in b) schickt jetzt die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac rs \end{eqnarray*}$ auf die Zahl, die im Zähler steht.

Du kannst natürlich auch den Wert von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ändern, der bleibt nicht fest stehen.

Nimm dir einfach mal ein paar Bruchzahlen und guck was die Funktion damit macht, vielleicht bekommst du damit direkt eine Aussage über die Injektivität, zur Surjektivität könnte dir damit vllt. auch schon was einfallen.

01.05.2011, 23:36

Lula90

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Wenn ich also bei b) z.b. den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist der Punkt im Koordinatensystem bei (1,5/3) ? Wenn das stimmt, dann ist b) doch gar keine Abbildung, weil ich die Brüche doch so gut wie überall "hinsetzen" kann.

01.05.2011, 23:38

Iorek

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Warum sollte das keine Abbildung sein? verwirrt

verwirrt

Versuch mal nicht "im Koordinatensystem" zu denken, das ist hier nicht hilfreich.

01.05.2011, 23:41

Lula90

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ich steh total auf dem schlauch irgendwie.

01.05.2011, 23:43

Iorek

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Dann würde es helfen, wenn du genau sagst wo du stehst.

Ist dir klar, warum das eine Abbildung ist? Wenn nein, was muss für eine Abbildung erfüllt sein, ist das hier erfüllt?

Dann zur Injektivität: wie lautet die Definition davon, wie lässt sich das hier anwenden?

01.05.2011, 23:48

Lula90

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Nein mir ist nicht klar, wieso das eine Abbildung ist.
Eine Abbildung ist, wenn jedes Element aus A ein Element aus B hat. Also es müssen alle Elemente aus getroffen werden.

Injektiv ist eine Abbildung, wenn jedes b aus B höchstens einmal getroffen wird.

01.05.2011, 23:51

Iorek

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Das sind zum Teil falsche und unvollständige Sätze. unglücklich

unglücklich

Dann schlag doch bitte zuerst einmal die genaue Definition einer Abbildung nach.

01.05.2011, 23:55

Lula90

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Die Definition für Abbildung hab ich aus meinem Ordner von LINA1. Mehr hab ich nie über eine Abbildung erfahren.

Irgendwie scheint mir der Dozent ziemlich inkompetent zu sein grad.

01.05.2011, 23:56

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
Eine Abbildung ist, wenn jedes Element aus A ein Element aus B hat. Also es müssen alle Elemente aus getroffen werden.

Auch wenn ich durchaus inkompetente Dozenten kenne, diese "Definition" wirst du doch wohl nicht so in dieser Form bekommen haben...

02.05.2011, 00:00

Lula90

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"Definition: EIne Zuordnung auf den Mengen A und B, bei dem zu jedem Element a aus A genau ein Element b aus B zugeordnet wird, nennt man Abbildung/Funktion f."

02.05.2011, 00:02

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
"Definition: EIne Zuordnung auf den Mengen A und B, bei dem zu jedem Element a aus A genau ein Element b aus B zugeordnet wird, nennt man Abbildung/Funktion f."

Da hätten wir den wichtigen Unterschied zu dem, was du oben geschrieben hast.

Dann die Frage: wird jeder Bruchzahl $\begin{eqnarray*} \frac rs \end{eqnarray*}$ genau eine ganze Zahl zugeordnet? Handelt es sich also um eine Abbildung?

02.05.2011, 00:04

Lula90

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Ja, doch nur r, oder nicht?

02.05.2011, 00:05

Iorek

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Also haben wir schon einmal eine Abbildung.

Jetzt zur Injektivität, wie lautet die Definition der Injektivität?

02.05.2011, 00:08

Lula90

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inj, wenn jedes b aus B maximal einmal getroffen wird. $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \Rightarrow a=b \end{eqnarray*}$

02.05.2011, 00:10

Lula90

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Na dann kann es ja nur injektiv sein? Weil ja nur auf eine Zahl abgebildet werden kann!

02.05.2011, 00:12

Iorek

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Warum sollte es deshalb direkt injektiv sein? unglücklich

unglücklich

Jede Bruchzahl wird auf ihren Zähler geschickt, gibt es denn jetzt vielleicht verschiedene Brüche die trotz allem die gleiche Zahl im Zähler stehen haben?

02.05.2011, 00:17

Lula90

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Natürlich, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ usw. Jetzt denke ich, dass sie surjektiv ist, weil ja sozusagen mehrere Elemente aus A auf ein(gleiches) Element aus B abgebildet werden. Aber das kann natürlich auch wieder falsch sein verwirrt

verwirrt

02.05.2011, 00:22

Iorek

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Also hast du genügend Beispiele, um die Injektivität zu widerlegen.

Jetzt guck dir bitte mal die Definition der Surjektivität an, nur weil mehrere Elemente aus A auf ein Elemente aus B abgebildet werden ist eine Funktion nicht surjektiv.

02.05.2011, 00:25

Lula90

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Für alle b aus B gibt es mindestens ein a aus A.

02.05.2011, 00:28

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
Für alle b aus B gibt es mindestens ein a aus A mit f(a)=b.

Ich rate dir dringend mehr Sorgfalt an den Tag zu legen, besonders dann, wenn es um solche wichtigen Definitionen geht.

Wie sieht das denn hier aus, ist die Bedingung erfüllt und die Funktion surjektiv?

02.05.2011, 00:32

Lula90

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Ja, sie ist erfüllt.

02.05.2011, 00:33

Iorek

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Und wieso ist sie erfüllt? Ist das jetzt einfach nur eine Behauptung oder kannst du das nachweisen?

02.05.2011, 00:40

Lula90

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Ich kann es nicht nachweisen, aber wenn es nicht injektiv ist, kann es doch nur surjektiv sein? Wie kann ich denn so etwas nachweisen?

02.05.2011, 00:44

Iorek

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Warum sollte es direkt surjektiv sein, bloß weil es nicht injektiv ist? unglücklich

unglücklich

Gib zu einer beliebig gewählten ganzen Zahl $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine rationale $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ an, sodass $\begin{eqnarray*} f(q)=z \end{eqnarray*}$ ist.

Desweiteren rate ich dir, dich noch einmal intensiv mit den Begriffen Abbildung, injektiv und surjektiv vertraut zu machen, schlag noch einmal in deinem Skript nach, guck dir mögliche Beispiele an, die ihr dazu hattet, such dir ansonsten auch andere Beispiele und nimm die Aussagen dort nicht einfach so hin sondern versuch nach einer Begründung zu suchen, warum diese Funktionen (nicht) injektiv sind.

02.05.2011, 00:49

Lula90

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Okay, also als Nachweis einfach Zahlen einsetzen?

Macht es denn einen Unterschied ob die Funktion auf den Zähler oder Nenner abgebildet wird? Meiner Logik nach nicht.

02.05.2011, 00:52

Iorek

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Zitat:

Original von Lula90
Okay, also als Nachweis einfach Zahlen einsetzen?

Wenn du das wirklich mit allen ganzen Zahlen machst wäre das ein Nachweis, da dürfte deine Lebenszeit aber zu beschränkt für sein. Arbeite lieber mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und gib dafür eine Zahl $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ an, die auf diese Zahl abgebildet wird (arbeite dabei wieder über die Bruchdarstellung rationaler Zahlen).

Zitat:

Original von Lula90
Macht es denn einen Unterschied ob die Funktion auf den Zähler oder Nenner abgebildet wird? Meiner Logik nach nicht.

Damit wären wir jetzt wieder bei der Frage, wie ihr die rationalen Zahlen darstellt. Mit der von mir vorgeschlagenen Darstellung macht das nämlich sehr wohl einen Unterschied.

02.05.2011, 00:55

Lula90

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wieso macht es einen unterschied?

02.05.2011, 00:57

Iorek

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Das ist eine Frage die du dir selber beantworten kannst, wenn du dich mit den Aufgaben b) und d) auseinandergesetzt hast...

02.05.2011, 13:50

Lula90

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Ich denke, dass die Abbildung bijektiv ist. Stimmt das?

02.05.2011, 15:21

Iorek

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Du hattest doch schon gesagt, dass die Abbildung nicht injektiv ist, kann sie dann bijektiv sein?

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