Gruppe zeigen

02.05.2011, 09:17

Rivaoh

Gruppe zeigen

Meine Frage:
hallo,
ich bin neu hier und habe gleich eine aufgabe die an sich nicht schwer sein kann, aber bei der ich nicht auf einen vernünftigen lösungsansatz komme.

Aufgabe: Seien (A,*) und (B,#) Gruppen. Wir definieren auf der menge A x B eine verknüpfung . durch: (A1, B1) . (A2,B2) = (A1*A2,B1#B2)

zu zeigen ist dass (AxB,.) eine Gruppe ist.

Meine Ideen:
mir ist klar dass ich dazu die drei axiome zu Gruppen verwenden muss nur versteh ich nicht wie ich a*(B*c)=(a*b)*c damit zeigen soll?

schon neinmal danke im vorraus

02.05.2011, 09:58

system-agent

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RE: Gruppe zeigen

Zitat:

Original von Rivaoh
mir ist klar dass ich dazu die drei axiome zu Gruppen verwenden muss nur versteh ich nicht wie ich a*(B*c)=(a*b)*c damit zeigen soll?

Das sollst du doch auch garnicht zeigen, denn das gilt bereits [ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe].
Vielmehr sollst du folgendes zeigen:
Seien $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3\in B \end{eqnarray*}$ , dann gilt
$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2))\cdot (a_3,b_3)=(a_1,b_1)\cdot ((a_2,b_2)\cdot (a_3,b_3)) \end{eqnarray*}$ ,
wobei " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " die Verknüpfung auf $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ bedeutet.

02.05.2011, 10:45

Rivaoh

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okay danke für die hilfe Freude

ich habe noch eine frage dazu, wenn ich nun zeigen will dass a*e=e*a=a gilt wäre doch mein a in dem fall (a1,b1) . (a2,b2) oder?

02.05.2011, 10:50

system-agent

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Nein. Nochmals, du musst sorgfältiger mit den Bezeichnungen sein. Das Symbol " $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ " steht für die Verknüpfung in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sonst nichts.
Beachte, du hast 2 Gruppen, und in beiden gibt es ein neutrales Element. Zb. heisst das neutrale Element in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} e_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_B \end{eqnarray*}$ könnte das neutrale Element aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bezeichnen.

Nun musst du dir erstmal überlegen, wie dann ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} e=(?,?)\in A\times B \end{eqnarray*}$ aussehen könnte.
Hast du das getan, musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a,b)\cdot e =(a,b) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ .

02.05.2011, 11:03

Rivaoh

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ich versthe schon prinzipiell was du meinst, auch wenn ich mich für meinen umgang mit den ausdrücken entschuldigen muss, als nicht mathematiker bin ich das so nicht gewohnt.

aber was heißt ich soll mir überlegen wie e \in AxB aussehen könnte? biser konnte man ich es immer leicht errechnen was sich aber in diesen fall als ehr schwierig erweist. geschockt

02.05.2011, 11:53

system-agent

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Zitat:

Original von Rivaoh
aber was heißt ich soll mir überlegen wie e \in AxB aussehen könnte? biser konnte man ich es immer leicht errechnen was sich aber in diesen fall als ehr schwierig erweist. geschockt

Da gibt es nichts zu berechnen. Eine Gruppe ist ein Objekt, das aus mehreren Angaben besteht:
(1) Eine Menge
(2) Eine Verknüpfung auf der Menge
(3) Ein Element der Menge das "neutrales Element" heisst.
Wenn du diese 3 Angaben hast, dann kann oder kann auch nicht diese angegebene Menge mit dieser angegebenen Verknüpfung und diesem angegebenem neutralen Element eine Gruppe sein.

Zb. ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+,0) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, aber $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+,2011) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,\cdot,0) \end{eqnarray*}$ sind keine Gruppen.

In deinem Fall ist die fragliche Menge durch $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ gegeben und die Verknüpfung " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " durch $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2):=(a_1*a_2,b_1 \wedge b_2) \end{eqnarray*}$ .
[ich habe hier mal die # durch $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ersetzt, denn sonst weiss ich grad nicht wie ich das in LaTeX schreiben soll Augenzwinkern

]
Damit nun das fragliche Ding eine Gruppe werden kann, muss man noch ein neutrales Element angeben. Sprich ein Element $\begin{eqnarray*} e=(?,??) \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} (a,b)\cdot e =(a,b) \end{eqnarray*}$ gilt, für alle $\begin{eqnarray*} (a,b)\in A\times B \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet ausgeschrieben es muss
$\begin{eqnarray*} a=a*? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=b\wedge ?? \end{eqnarray*}$ gelten.
Fällt dir ein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ ein? Fällt dir eines aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} ?? \end{eqnarray*}$ ein?

Nimm dann $\begin{eqnarray*} (?,??) \end{eqnarray*}$ als neutrales Element für die fragliche Gruppe $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ und du wirst sehen dass es wirklich eine Gruppe gibt.

02.05.2011, 12:06

Rivaoh

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ich würde jetzt im prinzip sagen dass e = (1,1) ist da nur dann gilt (a,b)*e=(a,b)
allerdings ist 1 kein element aus A und auch kein element aus B verwirrt

02.05.2011, 12:25

system-agent

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Da hast du Recht. Aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind Gruppen, das weisst du schon. Und welches Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erfüllt $\begin{eqnarray*} a*?=a \end{eqnarray*}$ ?

02.05.2011, 12:59

Rivaoh

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ich muss ehrlich sagen ich sehe keines unglücklich

02.05.2011, 13:04

system-agent

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Das neutrale Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Bezeichne das zb mit $\begin{eqnarray*} e_A \end{eqnarray*}$ .

02.05.2011, 14:11

Rivaoh

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also wäre e element AxB = (ea,eb)?

02.05.2011, 16:58

system-agent

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Wenn du damit $\begin{eqnarray*} e=(e_A,e_B) \end{eqnarray*}$ meinen solltest, dann ja.

03.05.2011, 13:29

Rivaoh

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RE: Gruppe zeigen
okay dass das so ist ist ja logisch nur ich fürchte ja das logisch für meinen prof nicht reicht, kann mir vllt jemand nen tipp geben wie ich mathematisch sauber zu e =(ea,eb) komme?

vielen lieben dank Gott

03.05.2011, 14:46

lgrizu

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RE: Gruppe zeigen
Das sollte unproblematischg sein, gesucht ist doch das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} A \times B \end{eqnarray*}$ , also ein Element $\begin{eqnarray*} e_{A \times B}=(a_1,b_1) \end{eqnarray*}$ , welches die Eigenschaft erfüllt, dass für alle $\begin{eqnarray*} (a,b) \in A \times B \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} (a,b) \circ (a_1,b_1)=(a,b) \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun benutze einfach die Definition des direkten Produktes und du erhälst dein gewünschtes neutrales Element.

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