Teilmenge

02.05.2011, 15:49

Cheftheoretiker

Teilmenge

Hallo,

ich habe mal wieder ein Problem und zwar geht es um Teilmengen.

Die Teilmengenbeziehung wird folgendermaßen dargestellt,
$\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ Diese Bezeichnung wird auch Mengeninklusion genannt. Heißt das nun, dass B eine Teilmenge von A ist und A die Grundmenge? verwirrt

02.05.2011, 16:45

Pascal95

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Ja, $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nennt man aber nicht Grundmenge sondern Obermenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Die Mengeninklusion ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} X \subseteq Y \end{eqnarray*}$ " $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ."
bedeutet, dass jedes Element aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ liegt.

Siehe auch Wikipedia - Teilmenge

Wink

02.05.2011, 16:50

Cheftheoretiker

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Ja, danke Pascal, soweit habe ich das schonmal verstanden.

Eine Frage habe ich noch dazu, einmal wird von der Mengeninklusion gesprochen wobei $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ also B ist eine Teilmenge von A und einmal von $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ Wobei jetzt beschrieben wird, dass B eine echte Teilmenge von A ist. Wo liegt denn nun der Unterschied? verwirrt

02.05.2011, 16:53

Pascal95

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Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} X \subseteq Y \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ enthält (und darf auch mehr).

Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine echte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} X \subset Y \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ enthält und zwingend auch mehr.

Hast du das verstanden?

Dann machen wir mal eine Übung:
Was gilt immer?

a) $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$

Gilt a) oder b) oder keines oder beide?

02.05.2011, 16:58

Cheftheoretiker

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Ah okay, dass habe ich verstanden! Freude

a gilt immer, da die beiden Mengen gleich sind? verwirrt

02.05.2011, 17:00

Pascal95

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Zitat:

Original von hangman
a gilt immer, da die beiden Mengen gleich sind? verwirrt

Ja, die Mengen sind gleich. Deswegen heißt es ja beides mal $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist nur, ob man immer $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \end{eqnarray*}$ bei jeder beliebigen Menge sagen darf oder $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$ ?

02.05.2011, 17:01

Cheftheoretiker

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ich würde mal ja sagen Big Laugh

02.05.2011, 17:03

Pascal95

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Auf welche Frage hast du da geantwortet verwirrt

Naja, du kannst dich ja einfach auf die Definition stützen.

Als Tipp gebe ich dir mal:
Du hast es schon richtig gesagt: (a) gilt immer, (b) gilt nie. Das andere kommt nicht in Frage.

Es fehlt nur eine Begründung und ich rate dir, dass du die Definition als Grundlage nimmst, die ich dir gegeben habe smile

02.05.2011, 17:05

Cheftheoretiker

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Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält.

smile

02.05.2011, 17:07

Pascal95

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Genau! und es dürften auch noch mehr sein (aber das gehört nicht zur Definition, sondern zum Verständis)

Jetzt fragt sich, ob $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ immer alle Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält Big Laugh

JA ! Natürlich, das gilt immer, denn sie sind ja identisch!

Edit
Und warum darf man NIE $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$ schreiben?

02.05.2011, 17:14

Cheftheoretiker

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Okay, super! smile

Also kann ich das so Verstehen, dass bei einer Teilmenge nicht zwingend mehr Elemente vorhanden sein müssen und bei einer echten Teilmenge zwingend mehr Elemente vorhanden sein müssen? Wodran macht man das denn dann Fest, ob es eine Teilmenge ist oder eine echte Teilmenge? verwirrt

Zitat:

Edit Und warum darf man NIE $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$ schreiben?

Weil demnach A also die Obermenge mehr Elemente enthalten $\begin{eqnarray*} muss \end{eqnarray*}$ als die Teilmenge! Da sie aber gleich sind, ist das Kriterium nicht erfüllt.

02.05.2011, 17:23

Pascal95

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Zitat:

Original von hangman
Okay, super! smile

Jupp!

Zitat:

Original von hangman
Also kann ich das so Verstehen, dass bei einer Teilmenge nicht zwingend mehr Elemente vorhanden sein müssen und bei einer echten Teilmenge zwingend mehr Elemente vorhanden sein müssen?

Ja, so habe ich es auch geschrieben. Allerdings kann man auch verkürzend schreiben:
A ist Teilmenge von B bedeutet, dass B alle Elemente von A enthält.
Man muss nicht extra sagen, dass B noch mehr Elemente enthalten darf, weil das auch niemand verbietet. Aber zum Verständnis ist das so völlig OK!

Zitat:

Original von hangman
Wodran macht man das denn dann Fest, ob es eine Teilmenge ist oder eine echte Teilmenge?

Das verstehe ich nicht ganz, was meinst du wodran man "das" festmacht?
Es ist viel mehr eine Sache der Definition.

Und Teilmenge und echte Teilmenge schließen sich NICHT aus.

Stell dir vor, es gilt: $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ , also ist A echte Teilmenge von B. Also enthält B alle Elemente von A und zwingend noch mehr. Gilt dann $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Pascal95: Und warum darf man NIE $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$ schreiben?

hangman:
Weil demnach A also die Obermenge mehr Elemente enthalten $\begin{eqnarray*} muss \end{eqnarray*}$ als die Teilmenge! Da sie aber gleich sind, ist das Kriterium nicht erfüllt.

Genau, und das geht ja nunmal nicht. Eine Menge kann ja nicht mehr Elemente als sie selbst enthalten...

02.05.2011, 17:34

Cheftheoretiker

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Okay, ich nehme das erstmal so hin. Noch eine Frage,

Innerhalb der Zahlenmengen gilt dann ja die Beziehung,

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \subset \mathbb{N_0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Wobei wir auch schon bei der nächsten Frage sind, ich habe das Thema Mächtigkeit einer Menge so verstanden, Nehmen wir als Beispiel,

$\begin{eqnarray*} A=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} |A|=3 \end{eqnarray*}$ Da die Menge A genau $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ Elemente enthält. Wird mit der Mächtigkeit also nur angegeben wieviele Elemente eine Menge enthält?

Zum Beispiel die Menge der Natürlichen Zahlen,

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N}=\{1,2,3...\} \end{eqnarray*}$

Die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} |\mathbb{N}|=\infty \end{eqnarray*}$

Bzw. ich habe es so verstanden, dass die Menge der Natürlichen Zahlen abzählbar unendlich sind.

Die einzigste Menge die überabzählbar unendlich ist, ist die Menge der Reellen Zahlen also,

$\begin{eqnarray*} |\mathbb{R}|=\infty \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin richtig? verwirrt

02.05.2011, 17:37

Pascal95

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Naja, erstmal wollte ich noch wissen:

Zitat:

Original von Pascal95
Stell dir vor, es gilt: $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ , also ist A echte Teilmenge von B. Also enthält B alle Elemente von A und zwingend noch mehr.
Gilt dann $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ ?

Dann komm ich auch zu deiner nächsten Frage...

02.05.2011, 17:40

Cheftheoretiker

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Ja, dann ist A eine Teilmenge von B.

02.05.2011, 17:46

Pascal95

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Jo genau

Nun zu deiner nächsten Frage:

Das könntest du schon fast in einem neuen Thread eröffnen, so umfangreich wie das ist.

Ich versuche mal, dir etwas dazu näherzubringen.

Grundsätzlich gilt:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , das ist korrekt.

Wenn man nun über die Mächtigkeit von endlichen Mengen spricht, so ist die Mächtigkeit von einer Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , also im Beispiel: $\begin{eqnarray*} |A| = 3 \end{eqnarray*}$ , korrekt Augenzwinkern

Zitat:

Die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} |\mathbb{N}|=\infty \end{eqnarray*}$

Bei unendlichen Mengen wird die Mächtigkeit ganz anders angegen.

Es gibt Stufen der Unendlichkeit. Es gibt also unterschiedliche Unendlichkeitsstufen.

Dazu sagt man dann die Mächtigkeit von N ist Aleph0, also abzählbar, von R ist es das Kontinuum, man darf NICHT sagen, dass |R|=Aleph1, weil man nicht weiß, ob sie direkt "danach" kommt -> Kontinuumshypothese.

Lies dich dazu mal auf Wiki ein, ich muss jetzt leider off...

Komme aber später wieder Wink

02.05.2011, 18:17

Cheftheoretiker

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Okay, ich werde dann später weitere Fragen stellen Big Laugh

02.05.2011, 18:27

Cel

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Kleiner Einwurf:

Zitat:

Original von Pascal95
Edit
Und warum darf man NIE $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$ schreiben?

Ich darf das. smile

Und tue es auch. Man muss nur wissen, was das bedeutet.

Die Schreibweise der Teilmengen ist nicht festgesetzt. $\begin{eqnarray*} A \subset A \end{eqnarray*}$ hab ich schon oft geschrieben, da mein Dozent die Schreibweise auch benutzt. $\begin{eqnarray*} X \subset Y \end{eqnarray*}$ heißt also X ist Teilmenge von Y oder Y selbst.

Möchte man darauf hinweisen, dass es sich um echte Obermengen handelt, ist vor allem $\begin{eqnarray*} A \varsubsetneq B \end{eqnarray*}$ üblich.

02.05.2011, 18:31

Pascal95

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Und schon bin ich wieder da...

zuerst solltest du mal bei Wikipedia vorbeischauen...

Zitat:

Wird mit der Mächtigkeit also nur angegeben wieviele Elemente eine Menge enthält?

Wenn es sich um endliche Mengen (Mengen mit endlich vielen Elementen) handelt, dann ja.

Dann schau mal hier....

Ich will / kann jetzt nicht zu viel schreiben, aber Fragen sind immer willkommen.

Zitat:

Bzw. ich habe es so verstanden, dass die Menge der Natürlichen Zahlen abzählbar unendlich sind.

Ja, man kann sie in einer Liste anordnen und sagen: das ist die erste, das ist die zweite, das die dritte usw. ad infinitum.

Kann man sowas auch für die Menge der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ angeben? Ist sie also abzählbar?

Zitat:

Die einzigste Menge die überabzählbar unendlich ist, ist die Menge der Reellen Zahlen

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist tatsächlich überabzählbar, siehste hier.
Aber es sind nicht die einzigen!
Man glaubt es nicht, aber die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind genauso mächtig, also auch überabzählbar.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\mathbb{R}|=\infty \end{eqnarray*}$

So schreibt man das nicht, sondern sie bilden das Kontinuum.
Jeder reellen Zahl kann ein Platz auf dem Zahlenstrahl zugeordnet werden und umgekeht. Bijektion -> gleichmächtig. Die reellen Zahlen sind lückenlos, wie der Zahlenstahl, deswegen auch $\begin{eqnarray*} | \mathbb R | = \mathfrak c \end{eqnarray*}$ (c=Kontinuum)

Edit:
@Cel: Ja, ich kenne die verschiedenen Notationen. Ich wollte mich mit Hangman nur auf eine einigen, damit er nicht durcheinander kommt.

02.05.2011, 18:35

Cel

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Dann ist es ja gut. Leider gibt es in der Mathematik ja so gut wie keine festgelegte verbindliche Schreibweise für irgendwas. Habe das nur gesagt, damit hangman nicht verwirrt ist, wenn er irgendwo mal eine andere Aufgabe sieht, wo die andere Konvention benutzt wird. smile

Und schon bin ich wieder raus. Wink

02.05.2011, 19:43

Cheftheoretiker

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Ich habe jetzt noch die Komplementmengen gemacht, kurzes Fazit.
Eine Komplementenmenge ist eine Menge, die von der Grundmenge abhängig ist.

Bsp:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\{4,5,6\} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Komplementermenge $\begin{eqnarray*} \overline{A}=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Nun bin ich bei den Schnittmengen angelangt und da hänge ich ein bissel,

Schnittmenge ist nicht von der Grundmenge abhängig,

Bsp:
$\begin{eqnarray*} A=\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\{2,3,7\} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Schnittmenge,

$\begin{eqnarray*} A\cup B=\{2,3\} \end{eqnarray*}$

Nun geht es um folgende Notation, Formal wird die Schnittmenge der Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ bezeichnet mit

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \end{eqnarray*}$

Diese Schreibweise wird dafür genutzt, wenn es mehrere Schnittmengen sind?
Ich verstehe die Notation nicht... verwirrt

02.05.2011, 20:04

Pascal95

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Hallo,

Die Komplementmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ relativ zu $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , die nicht in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten sind.
Man schreibt dann: $\begin{eqnarray*} B \setminus A \end{eqnarray*}$ oder wenn klar ist bzgl. welcher Menge das Komplement gemeint ist, einfach nur $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ .
Aber dazu muss ich sagen, dass das der Wikipedia Artikel wirklich sehr gut beschreibt: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplement_...ives_Komplement .

Inweifern soll die von der Grundmenge abhängig sein?
Was meinst du damit?

"Schnittmenge ist nicht von der Grundmenge abhängig" verwirrt

Welche Grundmenge?
Sorry, wenn ich dir da nicht folgen kann...

Zitat:

Dann ist die Schnittmenge,
$\begin{eqnarray*} A\cup B=\{2,3\} \end{eqnarray*}$

Upps, falsches Symbol verwendet...

$\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ ist die Vereinigungsmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ist die Schnittmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Soweit verstanden?
Dann kommen wir zu $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \end{eqnarray*}$ ...

02.05.2011, 21:19

Cheftheoretiker

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Zitat:

Inweifern soll die von der Grundmenge abhängig sein? Was meinst du damit?

Ja, wenn es eine andere Grundmenge gibt, gibt es folglich auch eine andere Komplementenmenge.

Bei der Schnittmenge - sorry für die falsche Notation - meinte ich das es sich nicht auch die Grundmenge bezieht.

Nun zu dem Schnittmengenzeichen... Big Laugh

02.05.2011, 22:42

Pascal95

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Achso mit Grundmenge meintest du in diesem Fall $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ...

Hier $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i \end{eqnarray*}$ liest du ähnlich wie bei einem Summenzeichen. Der Index ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , wir starten bei $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ und "enden" bei $\begin{eqnarray*} i=\infty \end{eqnarray*}$ , also verknüpfen wir unendlich Mengen: $\begin{eqnarray*} A_1, \ A_2, \ A_3, \ \ldots \end{eqnarray*}$ ...

Und das ergibt wieder eine Menge, die Schnittmenge.

Wo hast du denn diese Notation gefunden?

03.05.2011, 14:39

Cheftheoretiker

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Hi, das mit der Notation mit dem Schnittmengenzeichen habe ich nun verstanden. Ich werde gleich weiter machen, schonmal danke bis hierhin! smile

03.05.2011, 14:43

Pascal95

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Ok bitte sehr.

Übung zum Verständnis:

Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ .
Was ist dann:
$\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2011, 14:55

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ Ist eine Vereinigungsmenge und
$\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ Ist eine Schnittmenge.

Noch eine Frage, sind zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie die selbe Anzahl an Elementen enthalten? verwirrt

03.05.2011, 15:06

Pascal95

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Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ Ist eine Vereinigungsmenge und
$\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ Ist eine Schnittmenge.

Das ist klar, nur was kommt stets 'raus? Beachte: $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von hangmanSind zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie die selbe Anzahl an Elementen enthalten?

Wenn du endliche Mengen betrachtest, ist die Antwort ganz einfach: JA.
Wenn du unendliche Mengen betrachtest, ist es etwas schwieriger, da man hier nicht wirklich von einer Anzahl an Elementen reden kann.
Dazu benötigst du den Begriff der Bijektion : (das gilt übringens auch in den endlichen Mengen) Die Mengen lassen sich eineindeutig aufeinander abbilden. Jeder hat genau einen Partner in der anderen Menge. Das geht witzigerweise sogar bei $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ (paarweise).

Wenn du noch fragen hast, dann bist du willkommen, aber hier steht wirklich auch einiges:

Zitat:

Cantor klassifizierte die Mengen, insbesondere die unendlichen, nach ihrer Mächtigkeit. Für endliche Mengen ist das die Anzahl ihrer Elemente. Er nannte zwei Mengen äquivalent (gleichmächtig), wenn sie sich bijektiv aufeinander abbilden lassen.

[Zitat: Wikipedia - Mengenlehre, 19. Jhdt.]

Hoffe, einige Fragen beantwortet zu haben...

03.05.2011, 15:11

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ dann ist A auch stets die Schnittmenge von B Schnittmenge.

Eine Disjunkte Menge ist doch eine Menge, deren Schnittmenge leer ist. Also zwei Mengen enthalten kein gemeinsames Element.

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i=\{\} \end{eqnarray*}$ Also in dem Fall stets die leere Menge. verwirrt

03.05.2011, 15:14

Pascal95

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Zitat:

Original von hangman
Ja dann ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ dann ist A auch stets die Schnittmenge von B Schnittmenge.

Das verstehe ich nicht.
Wie kann man das formal schreiben?
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \ \Rightarrow A \cup B = ... \end{eqnarray*}$

Zum anderen würde ich gerne später kommen...

03.05.2011, 15:28

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \ \Rightarrow A \cup B = A \cap B \end{eqnarray*}$

Ich werde mich dann später nochmal melden... smile

03.05.2011, 15:46

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \ \Rightarrow A \cup B = A \cap B \end{eqnarray*}$ ###

Nein, das ist falsch.
Ich weiß ja nicht, ob die Aufgabe irgendwie blöd (für dich) ist, aber es sollte eigentlich nur als Verständnisaufgabe zählen Big Laugh

Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} A= \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{ 5,100,7,99 \} \end{eqnarray*}$
Dann ist die Aussage wahr: $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ .
Was ist nun $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ ?
Was ist nun $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ ?
Und überlege dir dann nochmal, ob $\begin{eqnarray*} A \cup B = A \cap B \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

Ich werde mich dann später nochmal melden... smile

Ok, dann können wir den anderen Kram noch besprechen und wenn du einen großen Themen-Sprung machst, kannst du einen neuen Thread eröffnen.

03.05.2011, 16:05

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe ehrlich gesagt die Aufgabenstellung garnicht... verwirrt

03.05.2011, 16:11

Pascal95

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Ich wollte nur wissen, wie man $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ "vereinfachen" kann, wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ .

Versuchs mal am Beispiel:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A= \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{ 5,100,7,99 \} \end{eqnarray*}$
Dann ist die Aussage wahr: $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ .
Was ist nun $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ ?
Was ist nun $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ ?
Und überlege dir dann nochmal, ob $\begin{eqnarray*} A \cup B = A \cap B \end{eqnarray*}$ ...

03.05.2011, 16:35

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} A= \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{ 5,100,7,99 \} \end{eqnarray*}$

Schnittmenge lauter wie folgt,

$\begin{eqnarray*} A \cup B=\{5,100,7,99\} \end{eqnarray*}$

Vereinigungsmenge lautet dann,

$\begin{eqnarray*} A \cap B=\mathbb N \end{eqnarray*}$

So richtig? verwirrt

03.05.2011, 16:40

Pascal95

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Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} A= \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{ 5,100,7,99 \} \end{eqnarray*}$

Schnittmenge lauter wie folgt,

$\begin{eqnarray*} A \cap B=\{5,100,7,99\} \end{eqnarray*}$

Vereinigungsmenge lautet dann,

$\begin{eqnarray*} A \cup B=\mathbb N \end{eqnarray*}$

So richtig? verwirrt

So ist's gemeint
Symbole nicht verwechseln Augenzwinkern

Und wie kann man nun allgemein formulieren?
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} A \cup B = ? \end{eqnarray*}$ (Vereinigung)
und auch: $\begin{eqnarray*} A \cap B = ? \end{eqnarray*}$ (Schnitt)

03.05.2011, 16:45

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} A \cup B = B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$

So meinst du das? verwirrt

03.05.2011, 16:49

Pascal95

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Ja, das gilt aber eben nur dann, wenn
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ , sogar genau dann, wenn.

Deswegen schreibt man auch:
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A \cup B = B \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ darf man sogar schreiben.

03.05.2011, 18:41

Cheftheoretiker

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Es geht lustig weiter,

Gesetz von De Morgan besagt,

$\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \end{eqnarray*}$

Das heißt,

Grundmenge ohne die Mengen A und B

Ist das korrekt?

03.05.2011, 18:48

Pascal95

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Zitat:

Grundmenge ohne die Mengen A und B

So kann man es sagen...

Dieser Strich über dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ gibt dann das Komplement von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an, also sozusagen die Grundmenge ohne $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .
Wenn man die Grundmenge kennt, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , so ist:
$\begin{eqnarray*} Y \setminus X = X^C = \overline X \end{eqnarray*}$
" $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ "

Das "Gesetz von De Morgan" kann man mit Hilfe der Venn-Diagramme zeigen.
Einen Beweis könnte man dann mit logischen Operatoren machen.

Hattest du den Zusammenhang zwischen Vereinigungsmenge und der Disjunktion (logisches oder) schon behandelt?

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