Schnittpunkt 3er Ebenen

03.05.2011, 12:31

BTKA

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Schnittpunkt 3er Ebenen

Hallo zusammen

ich habe folgende aufgabe zu bewältigen. Es sind drei Ebenen gegeben

E1: A1=(0,0,0) B1=(1,0,0) C1=(1,1,0)
E2: A2=(0,0,1) B2=(0,0,2) C2=(0,1,2)
E3: A3=(0,1,0) B3=(0,2,-1) C3=(1,1,1)

Es soll der Schnittpunkt, falls vorhanden, berechnet werden.

Ok! Wie gehe ich da am besten vor? Habe mir gedacht erstmal die Ebenengleichungen aufzustellen und diese dann jeweils gleichzusetzten.

also E1=E2 , E2=E3 und E1=E3

Kann ich dann mit den sich ergebenden Werten also z.B s und t diese dann wieder in eine Ebenengleichung einsetzen und erhalte den Schnittpunkt?

Man kann das aber doch auch über die normalenvektoren bestimmen mit der Geraden, oder? soll heißen ich bestimme z.B erstmal von E1 und E2den Normalenvektor. wenn ich nun diese beiden Normalenvektoren von E1 und E1 wiederum als Kreuzprodukt berechne, bekomme ich ja den Richtungsvektor der Geraden, oder? Dann den Startpunkt nehmen und dieses Liniare Gleichungssystem lösen?

Wie würdet ihr da am besten vorgehen?

Gruß

03.05.2011, 12:37

riwe

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RE: Schnittpunkt 3er Ebenen
bestimme die koordinatenform der ebenen,
dann hast du ein lineares gls für die 3 koordinaten des schnittpunktes,
das du untersuchen kannst

wobei man hier schon beim hinschauen fündig werden kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2011, 13:11

BTKA

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Danke für die fixe Antwort. Also dann lege ich mal los

E1: A1=(0,0,0) B1=(1,0,0) C1=(1,1,0)

Vektor AB=B-A= (1,0,0)
Vektor AC=C-A= (1,1,0)

Ebenengleichung

r= (0,0,0)+s*(1,0,0)+t*(1,1,0)

-> Koordinatenform

x1=0+s+t x1=s+t
x2=0+t x2=t
x3=0 x3=s+t

Bei den anderen beiden Ebenen bin ich simultan vorgegangen

E2: r=(0,0,1)+u*(0,0,1)+v*(0,1,1)

Koordinatenform

x1=0
x2=v
x3=1+u+v u=x3-x2-1

E3: r=(0,1,0)+x*(0,1,-1)+y*(1,0,1)

Koordinatenform

x1=y
x2=1+x x=x2-1
x3=-x+y y=x3+(x2-1)

Und nu?

03.05.2011, 13:29

riwe

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ich verstehe nicht, was du da rechnest.

warum verwendest du einmal x_1, x_2... und dann x, y und z.

soweit ich sehe, stimmt da nix

z.b. lautet die koordinatenform von

$\begin{eqnarray*} E_1:\quad{ } z=0 \end{eqnarray*}$

03.05.2011, 13:40

BTKA

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r und s sind die Variablen der ersten Eben
u und v der zweiten
x und y der dritten

x1,x2,x3 stehen für x,y,z der koordinatenform

03.05.2011, 13:48

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
r und s sind die Variablen der ersten Eben
u und v der zweiten
x und y der dritten

x1,x2,x3 stehen für x,y,z der koordinatenform

zunächst ist das eine sehr schlechte wahl
und wo sind nun die koordinatenformen, die sollten so ausschauen

$\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_0 \end{eqnarray*}$

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03.05.2011, 14:01

BTKA

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Oki. Also das ich meine Ebene in diese Form bringe, richtig?

(x,y,z)=(x1,y1,z1)+s*(ax,ay,az)+t*(bx,by,bz)=(x1+s*ax+t*bx,y1+s*ay+t*by,z1+
s*az+t*bz)

03.05.2011, 15:08

riwe

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wie es scheint hast du noch nie von der koordinatenform gehört. unglücklich

unglücklich

also weg 2:
bestimme die schnittgeraden von E1 und E2 sowie E1 und E3.
anschließend schneide die beiden
(das ist in etwa der weg, den du anfangs gehen wolltest)

03.05.2011, 18:57

BTKA

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Oh. Ich war da auf einem völlig falschen Dampfer unterwegs.

Also nochmal zur Koordinatenform. Die sollte nun passen.

Habe für die einzelnen Ebenen nun raus...

E1: 0*x1+0*x2-x3=0 -> x3=0
E2: 0*(x1-0)+0*(x2-0)+0*(x3-1)=0 -> 0=0
E3: 1*(x1-0)-1*(x2-1)-1*(x3-1)= 0 -> x1-x2-x3+2=0

Wie gehe ich nun weiter vor? Das mit dem Normalenvektor würde ich auch noch gerne probieren. Poste ich dann nochmal.

Danke

03.05.2011, 19:15

riwe

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ich weiß nicht, wie du das gerechnet hast, aber:
E1 Freude

Freude

E2:

unglücklich

0 = 0 ist doch keine ebene
E3: unglücklich

unglücklich

also noch einmal an den start

03.05.2011, 19:25

BTKA

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Also bin so vorgegangen.

$\begin{eqnarray*} E=| \begin{pmatrix} b1-a1 & c1-a1 & x1-a1 \\ b2-a2 & c2-a2 & x2-a2 \\ b3-a3 & c3-a3 & x3-a3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ |=0

Da habe ich nun die Punkte der jeweiligen Ebene eingesetzt. Dann aus den ersten beiden Spalten das Kreuzprodukt gebildet und mit der dritten Spalte multipliziert.

Dabei bekomme ich dann die oben aufgeführten Werte bzw. Gleichungen raus. traurig

traurig

Bin ich da völlig auf dem Holzweg?

Gruß

03.05.2011, 19:43

riwe

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halzweg ist noch nett, ist schon mehr ein waldweg Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich mache es dir einmal für E1 vor:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} =\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
damit ist der normalvektor bestimmt
nun $\begin{eqnarray*} A (0/0/0) \end{eqnarray*}$ einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=0\cdot 0+0\cdot 0 +0\cdot 0 =a_0 \end{eqnarray*}$
daher lautet die ebenengleichung

$\begin{eqnarray*} E_1:\quad{ }x_3=0 \end{eqnarray*}$
zur probe kannst du nun B1 und C1 einsetzen,
die punkte A2....C3 haben doch in dieser ebene nix verloren

anmerkung: wenn du die z-koordinate der 3 punkte betrachtest, siehst du sofort die ebenengleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

so und nun bastle ebene 2 und 3.

03.05.2011, 21:39

BTKA

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Oki. Also für die anderen Ebenen habe ich

E2: n=(-1,-1,0)

-1*x1-1*x2+0*x3=a0
-1*0-1*0+0*1 =a0

und für E3

n=(1,-1,-1)

1*x1-1*x2-1*x3=a0
1*0-1*1-1*0=a0

Haut das so hin?

Gruß

03.05.2011, 22:11

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
Oki. Also für die anderen Ebenen habe ich

E2: n=(-1,-1,0)

-1*x1-1*x2+0*x3=a0
-1*0-1*0+0*1 =a0

und für E3

n=(1,-1,-1)

1*x1-1*x2-1*x3=a0
1*0-1*1-1*0=a0

Haut das so hin?

Gruß

ja das scheint so zu passen Freude

Freude

aber jetzt addiere doch und schreibe doch die ebenen auf!!!

03.05.2011, 22:22

BTKA

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Da hängt es ja gerade noch ein bissel.

Für E2:

-1*X1-1*X2+0*X3=ao
-1*0-1*0+0*1

Somit X1=-X2

E3:

1*X1-1*X2-1*X3=a0
1*0-1*1-1*0= a0

Somit x2=0

03.05.2011, 22:36

riwe

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heute büße ich wieder meine sünden. unglücklich

unglücklich

eins zurück:
deine normalenvektoren stimmen nicht.
wie hast du denn diese berechnet verwirrt

verwirrt

hermalen!

03.05.2011, 22:55

BTKA

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Die habe ich wie folgt gerechnet.

E2: n=ABxAC = (0,0,1)x(0,1,1)=(-1,-1,0)

E3: n=ABxAC = (0,1,-1)x(1,0,1)=(1,-1,-1)

Gruß

04.05.2011, 12:35

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
Die habe ich wie folgt gerechnet.

E2: n=ABxAC = (0,0,1)x(0,1,1)=(-1,-1,0)

E3: n=ABxAC = (0,1,-1)x(1,0,1)=(1,-1,-1)

Gruß

E2

unglücklich

E3

Freude

also weiter üben

04.05.2011, 13:11

BTKA

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Mist. Da habe ich mich vertüddelt.

Der Normalenvektor von E2 sollte n=(-1,0,0) sein.

Also fasse ich nochmal zusammen.

E1: 0*X1+0*X2+1*X3=a0
0*0+0*0+1*0=ao -> x3=0

E2: -1*X1+0*X2+0*X3=a0
-1*0+0*0+0*1 = a0 -> X1=0

E3: 1*X1-1*X2-1*X3=a0
1*0-1*1-1*0=a0 -> x2=0

Gruß

04.05.2011, 13:32

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
Mist. Da habe ich mich vertüddelt.

Der Normalenvektor von E2 sollte n=(-1,0,0) sein.

Also fasse ich nochmal zusammen.

E1: 0*X1+0*X2+1*X3=a0
0*0+0*0+1*0=ao -> x3=0

E2: -1*X1+0*X2+0*X3=a0
-1*0+0*0+0*1 = a0 -> X1=0

E3: 1*X1-1*X2-1*X3=a0
1*0-1*1-1*0=a0 -> x2=0
Gruß

wieso denn das verwirrt

verwirrt

E1 und E2 sind nun ok

$\begin{eqnarray*} 1\cdot x_1-1\cdot x_2 -1\cdot x_3=a_0 \end{eqnarray*}$

wenn du nun A_3(0/1/0) einsetzt erhältst du für a0 was, und wie heißt dann die ebene verwirrt

verwirrt

ein bißchen mehr mühe und sorgfalt wären angebracht unglücklich

unglücklich

04.05.2011, 18:05

BTKA

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Stehe gerade ein bissel aufem Schlauch. unglücklich

unglücklich

a0 = -1

So dass sich für die Ebene

E3: X1=0 X2=-1 X3=0

ergibt? Versteh das nicht so ganz... unglücklich

unglücklich

04.05.2011, 18:57

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
Stehe gerade ein bissel aufem Schlauch. unglücklich

unglücklich

a0 = -1

So dass sich für die Ebene

E3: X1=0 X2=-1 X3=0

ergibt? Versteh das nicht so ganz... unglücklich

unglücklich

du bist ein quäler unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_0 \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ sind die komponenten des normalenvektors

daher lautet die ebenegleichung WIE verwirrt

verwirrt

04.05.2011, 19:31

BTKA

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Verstehe es leider nicht richtig und dreh mich irgendwie im Kreis. Also nochmal. Ich nehme nun Ebene3. Dann habe ich ja...

1*X1-1*X2-1*X3=a0

So. Da nun z.B Punkt A einsetzen. A=(0,1,0)

Dann ergibt sich ja

1*0-1*1-1*0=a0

So. Also a0=-1

Wenn ich das wie du sagtest mit den anderen Punkten mache als Probe funktioniert das auch. Ok

Und das nun mit dem Normalenvektor multipliziert?

a0*n also a0*(1,-1,1) = -1*(1,-1,1) => X1=-1 X2=1 X3=-1
Hammer

Hammer

04.05.2011, 20:16

riwe

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hast du denn noch nie eine ebenegleichung aufgestellt unglücklich

unglücklich

da muß man doch den krempel zusammenfassen
$\begin{eqnarray*} E_3:\quad{ }-x_1+x_2+x_3=1 \end{eqnarray*}$

jetzt haben wir die 3 ebenen,
nun versuche daraus den schnittpunkt zu berechnen

04.05.2011, 22:04

BTKA

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Jetzt geht man doch hin und setzt den Punkt der zweiten Ebene in die dritte ein oder man nimmt einen Punkt als Null an. So dass ich in E3 für X2=1 erhalte.

Somit hätte ich doch dann die Punkte X1=0 X2=1 X3=0

Gruß

05.05.2011, 09:06

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
Jetzt geht man doch hin und setzt den Punkt der zweiten Ebene in die dritte ein oder man nimmt einen Punkt als Null an. So dass ich in E3 für X2=1 erhalte.

Somit hätte ich doch dann die Punkte X1=0 X2=1 X3=0

Gruß

das sind nicht punkte, das ist DER schnittpunkt

05.05.2011, 19:45

BTKA

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Super Riwe

Vielen Dank für deine Hilfe. Das war echt ne schwere Geburt. Zwei Fragen habe ich aber noch. LOL Hammer

LOL Hammer

Zu Bestimmung der Schnittgeraden, könnte ich doch nun das Kreuzprodukt zweier Ebenen nehmen in Verbindung mit meinem Schnittpunkt und so die Geradengleichung aufstellen, oder?

Und die zweite Frage die ich noch habe. Der Tip mit der Z-Koordinate, ist doch nur in dem Fall der E1 gültig, oder?

Gruß

05.05.2011, 21:10

riwe

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Zitat:

Original von BTKA
Super Riwe

Vielen Dank für deine Hilfe. Das war echt ne schwere Geburt. Zwei Fragen habe ich aber noch. LOL Hammer

LOL Hammer

Zu Bestimmung der Schnittgeraden, könnte ich doch nun das Kreuzprodukt zweier Ebenen nehmen in Verbindung mit meinem Schnittpunkt und so die Geradengleichung aufstellen, oder?

Und die zweite Frage die ich noch habe. Der Tip mit der Z-Koordinate, ist doch nur in dem Fall der E1 gültig, oder?

Gruß

zu 1:

Freude

zu 2: schau bei E2 die x1 koordinate an Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2011, 21:12

BTKA

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Oki habs nun verstanden. Vielen Dank nochmal :>

Gruß

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