Gruppe, Ringe, Körper

03.05.2011, 13:53

Pascal95

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Gruppe, Ringe, Körper

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich diesem Skript, das ich im Internet gefunden habe.

Es geht um das 3. Beispiel der 3. Seite.

Dort heißt es:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} S(M) = \{ f: \ M \to M \ : \ f \text{ ist bijektiv} \} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} S(M) \end{eqnarray*}$ bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen " $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ " eine Gruppe.

Insgesamt ist mir dieses Beispiel gar nicht so unklar, so verstehe ich z.B. auch, wie in der nächsten Zeile gesagt wird, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ neutral ist, da man sie beliebig komponieren kann (den Begriff kenne ich auch), und es ändert nichts.
So wäre doch beispielsweise $\begin{eqnarray*} g(f(x)) = g(x) \end{eqnarray*}$ , wenn eben $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ gilt..

Die Frage ist nun einfach: Ist es das, was man unter Verknüpfung von Abbildungen versteht?
Das wäre dann eine etwas neuere Verknüpfung, die ich da kennengelernt habe.

Vielen Dank schon einmal.

03.05.2011, 13:57

zweiundvierzig

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RE: Gruppe, Ringe, Körper

Zitat:

Original von Pascal95
Die Frage ist nun einfach: Ist es das, was man unter Verknüpfung von Abbildungen versteht?
Das wäre dann eine etwas neuere Verknüpfung, die ich da kennengelernt habe.

Ja.

Für $\begin{eqnarray*} |M| = n < \infty \end{eqnarray*}$ ist außerdem $\begin{eqnarray*} S(M) = S_n \end{eqnarray*}$ , d.h. die symmetrische Gruppe.

03.05.2011, 14:07

Pascal95

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Ok, das stand auch im Skript smile

smile

Aber dort stand, dass $\begin{eqnarray*} M = \{ 1, 2, ...,n\} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke, es ist logischer, wie du es sagst.
Denn, wenn ich es richtig verstanden habe, ist ein Element daraus [edit,Hinzufügung: aus der Menge $\begin{eqnarray*} S(M) \end{eqnarray*}$ der Funktionen] dann eine [edit: mögliche] Permutation der Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
Und wenn ich wiederum das richtig verstanden habe, dann reicht es doch aus, wenn die Mengen gleichmächtig sind. Ich weiß: bijektiv induziert Gleichmächtigkeit, aber es heißt ja, es soll eine Abbildung von M auf M sein.

Wenn ich z.B. "Pascal" permutieren will, dann kann man doch schreiben:
[attach]19445[/attach]
Dann hätte ich eine Indexmenge {P,A,S,C,A,L} der die Position der Buchstaben angibt und dann die zugewiesenen Funktionswerte. Aber die Abbildung ist doch nicht biejktiv, weil sie m.E. nicht injektiv ist, weil A doppelt vorkommt...
Im Beispiel würde die Permutation so aussehen: A A C S L P
Stimmt das?

Das würde mich freuen, wenn ich das verstanden hätte smile

smile

......

03.05.2011, 15:12

Pascal95

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Jetzt bin ich ziemlich verwirrt.
Ist das nun so richtig, wie ich das meinte und muss wirklich $\begin{eqnarray*} M \to M \end{eqnarray*}$ aufeinander abgebildet werden ?

03.05.2011, 15:54

zweiundvierzig

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Naja, eine Permutation ist per Definition eine bijektive Selbstabbildung. Das Beispiel Deines Namens ist, wie Du schon bemerktest kein Beispiel dafür, da das Element $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ doppelt vorkommt. Mengen zählen Elemente überdies nicht doppelt, also $\begin{eqnarray*} \{ P, A, S, C, A, L \} = \{P, A, S, C, L\} \end{eqnarray*}$ .

03.05.2011, 16:00

Pascal95

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Ok, kannst du mir vielleicht ein Beispiel für eine Menge nennen und eine Permutation angeben und ich würde dann schreiben, wie diese zustande gekommen ist?

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03.05.2011, 16:02

zweiundvierzig

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Wenn ich Dir eine Permutation z.B. in Matrixschreibweise angebe, gibt es nicht mehr viel, über das D noch rätseln müsstest.

03.05.2011, 16:07

Pascal95

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Hmm, "Funktionswert Ã(x)" Edit: * heißt es da... Wie heißt denn die Funktion?
Ist das auch die Funktion, wie sie im Skript erwähnt wurde ein Element der Funktionen die es gibt, die bijektiv sind und M auf M abbilden.

*) Das sigma-Symbol wurde hier nicht richtig dargestellt: $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ geht aber in Latex Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2011, 19:47

zweiundvierzig

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Obendrüber steht es doch: $\begin{eqnarray*} \sigma \in S_n \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist eine Permutation von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen (was Du vermutlich auch meintest).

03.05.2011, 19:49

Pascal95

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Ok,
ist dann nur eine (mögliche) Permutation in der Matrix angegeben?

03.05.2011, 19:56

zweiundvierzig

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In dem Abschnitt, den ich speziell verlinkt habe wird nur die Schreibweise erläutert. Man kann für jede beliebige Permutation diese Matrixschreibweise bentzen. Es ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ja nur der Name einer Funktion. Man schreibt für Permutationen auf $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ dann eben $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, ~ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ usw.

03.05.2011, 19:59

Pascal95

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Aha, und dei Funktion $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ ordnet einem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ zu und umgekehrt?
Bijektiv! Richtig?

03.05.2011, 20:05

zweiundvierzig

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Jede Funktion ordnet einem Wert im Definitionsbereich genau einen Bildwert zu: sie guckt sich *jedes* Element an und sagt *eindeutig*, wohin es abgebildet wird. Das "und umgekehrt" ergibt sprachlich keinen Sinn, obwohl Du vielleicht die richtige Anschauung hattest. Bei einer Bijektion hat jedes Bild in der Zielmenge genau einen Urbildpunkt. Das ist eine andere Aussage als die davor.

Übrigens heißt die Abbildung selbst nicht $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ ist ein einzelnes Element, eben der Bildpunkt von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . In der Schule sagt man leider gerne "die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ", aber das macht es nicht besser, im Gegenteil. unglücklich

unglücklich

03.05.2011, 20:11

Pascal95

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Ok, danke sehr.

Die Matrizenschreibweise ist mir im Allg. sowieso nicht sehr geläufig. Daran müsste ich mich noch gewöhnen. Allerdings hat man hier eine schöne Übersicht.
Man kann das doch auch so sehen:
In der ersten Zeilen stehen die selben Elemente wie in der 2. ggf andere Reihenfolge, wenn man nun oben schaut, wo die 1 ist, ist dadrunter das erste Symbol der Permutation. Wenn oben eine 1 steht und unten eine 3 z.B., dann macht man das weiter (oben läuft dann der Index durch, natürliche Zahlen...).

Nur wie macht man das, wenn oben keine Reihenfolge ist, wie sortiert man dann.
Kann man dann auch einfach in die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Funktion einsetzen?
Die sollte ja so gebaut sein, dass sie bijektiv ist.

03.05.2011, 20:19

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Ok, danke sehr.

Die Matrizenschreibweise ist mir im Allg. sowieso nicht sehr geläufig. Daran müsste ich mich noch gewöhnen. Allerdings hat man hier eine schöne Übersicht.
Man kann das doch auch so sehen:
In der ersten Zeilen stehen die selben Elemente wie in der 2. ggf andere Reihenfolge, wenn man nun oben schaut, wo die 1 ist, ist dadrunter das erste Symbol der Permutation. Wenn oben eine 1 steht und unten eine 3 z.B., dann macht man das weiter (oben läuft dann der Index durch, natürliche Zahlen...).

Das ist ganz einfach: in der ersten Zeile steht ein Element, in der zweiten Zeile derselben Spalte, wohin es abgebildet wird. Worauf Du sonst noch hinauswillst, verstehe ich nicht. Übrigens gucken wir uns gerade Permutationen von endlichen Mengen an, also nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ (wobei man das natürlich auch machen kann, aber das nennt man dann halt nicht symmetrische Gruppe).

Zitat:

Original von Pascal95
Nur wie macht man das, wenn oben keine Reihenfolge ist, wie sortiert man dann.
Kann man dann auch einfach in die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Funktion einsetzen?
Die sollte ja so gebaut sein, dass sie bijektiv ist.

Die Frage ich verstehe ich nicht. Diese Matrixschreibweise ist eine Art, Permutationen zu definieren. Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hinschreibt, hat man eine bestimmte Permutation ausgewählt. Ergänzt werden muss da nichts. Du könntest natürlich auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für dieselbe Permutation schreiben, also einfach die Spalten tauschen, sodass in der ersten Zeile Unordnung herrscht. Die Abbildung bleibt die gleiche. Aber das wäre keine sinnvolle Konvention.

03.05.2011, 20:24

Pascal95

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Aha, beides Male 2,3,1.

Also kann man sagen, dass eine Permutation eine Funktion ist, bei der man {1,2,..,n} biejktiv auf {1,2,..,n} abbildet.
Denn im Skript steht ja sigma ist Element Sn (der Symmetriegruppe), ist also eine Funktion selber und S(M) ist eine Menge M, die alle bijektiven Funktionen die Definitionsbereich=Wertebereich haben , enthält.

So einigermaßen richtig (?)

03.05.2011, 20:32

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pascal95
Also kann man sagen, dass eine Permutation eine Funktion ist, bei der man {1,2,..,n} biejktiv auf {1,2,..,n} abbildet.

Eine Permutation der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ , ja. Wie schon gesagt, es gibt ja auch bijektive Selbstabbildungen auf unendlichen Mengen, aber die nennt man i.a. nicht Permutation.

Zitat:

Original von Pascal95
Denn im Skript steht ja sigma ist Element Sn (der Symmetriegruppe), ist also eine Funktion selber und S(M) von einer Menge M enthält alle bijektiven Funktionen die Definitionsbereich=Wertebereich haben

Naja, für alle Bijektionen stimmen Definitions- und Wertemenge überein. Die Menge $\begin{eqnarray*} S(M) \end{eqnarray*}$ enthält genau alle bijektiven Abbildungen $\begin{eqnarray*} M \to M \end{eqnarray*}$ .

03.05.2011, 20:37

Pascal95

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Ok, ich denke, dass es mir nun klarer wurde.

Ist es auch hier richtig, abelsch so zu verstehen: $\begin{eqnarray*} f(x) \circ g(x) = f(g(x)) = g(f(x)) = g(x) \circ f(x) \end{eqnarray*}$
Dann wäre ja logisch, dass da meistens nicht hinhaut.

03.05.2011, 20:49

zweiundvierzig

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Da $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die Gruppenverknüpfung ist, ist es genauso zu verstehen. smile

smile

03.05.2011, 22:06

Pascal95

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Danke

smile

Hast mir wieder sehr geholfen.

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